Rozklad_normalny Gaussa.pdf

Rozkład normalny – Wikipedia, wolna encyklopedia

Page 1 of 7

Rozkład normalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Rozkład normalny , zwany te Ň

rozkładem Gaussa lub krzyw Ģ

dzwonow Ģ jest jednym z

najwa Ň niejszych rozkładów

prawdopodobie ı stwa. Odgrywa

wa Ň n Ģ rol ħ w statystycznym opisie

zagadnie ı przyrodniczych,

przemysłowych, medycznych,

socjalnych itp.

Rozkład normalny

G ħ sto Ļę prawdopodobie ı stwa

Przyczyn Ģ jest jego cz ħ sto Ļę

wyst ħ powania w naturze. Je Ļ li jaka Ļ

wielko Ļę jest sum Ģ lub Ļ redni Ģ

bardzo wielu drobnych losowych

czynników, to niezale Ň nie od

rozkładu ka Ň dego z tych czynników,

jej rozkład b ħ dzie zbli Ň ony do

normalnego [2] , st Ģ d mo Ň na go bardzo

cz ħ sto zaobserwowa ę w danych [3] .

Ponadto rozkład normalny ma

interesuj Ģ ce wła Ļ ciwo Ļ ci

matematyczne, dzi ħ ki którym oparte

na nim metody statystyczne s Ģ do Ļę

proste obliczeniowo [4] .

Czerwona linia odpowiada standardowemu rozkładowi normalnemu.

Dystrybuanta

Kolory odpowiadaj Ģ wykresowi powy Ň ej

Parametry Ⱥ poło Ň enie (liczba rzeczywista)

Ŏ 2 > 0 podniesiona do kwadratu

skala (liczba rzeczywista)

No Ļ nik

G ħ sto Ļę

prawdopodobie ı stwa

Dystrybuanta

Warto Ļę oczekiwana

( Ļ rednia)

Mediana

Moda

Wariancja

Współczynnik

sko Ļ no Ļ ci

http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny

2010-07-01

Rozkład normalny – Wikipedia, wolna encyklopedia

Page 2 of 7

Kurtoza

Entropia

Funkcja generuj Ģ ca

momenty

Funkcja

charakterystyczna

Odkrywca

Abraham de Moivre (1733) [1]

¡ 2.5 Niesko ı czona

podzielno Ļę

¡ 3 Wyst ħ powanie

¡ 3.1 Inteligencja

¡ 3.2 Wzrost

¡ 3.3 Nat ħŇ enie Ņ ródła

Ļ wiatła

¡ 3.4 Bł ħ dy pomiaru

¡ 4 Przypisy

¡ 5 Zobacz te Ň

¡ 6 Literatura

Definicja rozkładu normalnego

Istnieje wiele równowa Ň nych sposobów zdefiniowania rozkładu normalnego. Nale ŇĢ do nich:

funkcja g ħ sto Ļ ci, dystrybuanta, momenty, kumulanty, funkcja charakterystyczna, funkcja tworz Ģ ca

momenty i funkcja tworz Ģ ca kumulanty. Wszystkie kumulanty rozkładu normalnego wynosz Ģ 0

oprócz pierwszych dwóch.

Funkcja g ħ sto Ļ ci

Funkcja g ħ sto Ļ ci rozkładu normalnego ze Ļ redni Ģ Ⱥ i odchyleniem standardowym Ŏ (równowa Ň nie:

wariancj Ģ Ŏ 2 ) jest przykładem funkcji Gaussa . Dana jest ona wzorem:

si ħ cz ħ sto . Je Ļ li Ⱥ = 0 i Ŏ = 1, to rozkład ten nazywa si ħ standardowym rozkładem

normalnym , jego funkcja g ħ sto Ļ ci opisana jest wzorem:

Obrazek u góry artykułu przedstawia wykres funkcji g ħ sto Ļ ci rozkładu normalnego dla Ⱥ = 0 (w

jednym przypadku Ⱥ = -2) i kilku ró Ň nych warto Ļ ci Ŏ . Im wi ħ ksze Ŏ tym bardziej płaski jest wykres.

We wszystkich rozkładach normalnych funkcja g ħ sto Ļ ci jest symetryczna wzgl ħ dem warto Ļ ci

http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny

2010-07-01

Fakt, i Ň zmienna losowa X ma rozkład normalny z warto Ļ ci Ģ oczekiwan Ģ Ⱥ i wariancj Ģ Ŏ 2 zapisuje

Rozkład normalny – Wikipedia, wolna encyklopedia

Page 3 of 7

Ļ redniej rozkładu. Około 68,3% pola pod wykresem krzywej znajduje si ħ w odległo Ļ ci jednego

odchylenia standardowego od Ļ redniej, około 95,5% w odległo Ļ ci dwóch odchyle ı standardowych i

około 99,7% w odległo Ļ ci trzech (reguła trzech sigm). Punkt przegi ħ cia krzywej znajduje si ħ w

odległo Ļ ci jednego odchylenia standardowego od Ļ redniej.

Dystrybuanta

Dystrybuanta jest definiowana jako prawdopodobie ı stwo tego, Ň e zmienna X ma warto Ļ ci mniejsze

b Ģ d Ņ równe x i w kategoriach funkcji g ħ sto Ļ ci wyra Ň ana jest (dla rozkładu normalnego) wzorem:

Całki powy Ň szej nie da si ħ obliczy ę dokładnie metod Ģ analityczn Ģ . W konkretnych zagadnieniach do

obliczenia warto Ļ ci dystrybuanty stosuje si ħ zatem tablice statystyczne (b Ģ d Ņ te Ň odpowiednie

kalkulatory czy oprogramowanie komputerów). Tablice zawieraj Ģ dane dla dystrybuanty

standardowego rozkładu normalnego, tradycyjnie oznaczanej jako Ŋ i zdefiniowanej jako rozkład o

parametrach Ⱥ = 0 i Ŏ = 1:

Zwi Ģ zek dystrybuanty Ŋ i dystrybuanty rozkładu normalnego X o dowolnie zadanych parametrach Ⱥ

i Ŏ otrzymuje si ħ za pomoc Ģ standaryzowania rozkładu (zob. te Ň poni Ň ej).

Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego mo Ň e by ę wyra Ň ona poprzez funkcj ħ specjaln Ģ

(nieelementarn Ģ , przest ħ pn Ģ ), tzw. funkcj ħ bł ħ du jako:

Funkcje tworz Ģ ce

Funkcja tworz Ģ ca momenty

Ta sekcja jest zal ĢŇ kiem. Je Ļ li mo Ň esz, rozbuduj j Ģ .

Funkcja charakterystyczna

Funkcj Ģ charakterystyczn Ģ rozkładu normalnego jest

http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny

2010-07-01

Rozkład normalny – Wikipedia, wolna encyklopedia

Page 4 of 7

W przypadku standardowego rozkładu normalnego ma ona posta ę :

Własno Ļ ci

1. Je Ļ li

oraz

s Ģ liczbami rzeczywistymi, to

2. Je Ļ li

oraz zmienne

s Ģ niezale Ň ne, to

3. Je Ļ li s Ģ niezale Ň nymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie

normalnym, to zmienna

ma rozkład chi-kwadrat z stopniami swobody.

Parametry rozkładu

¡ warto Ļę oczekiwana:

¡ mediana:

¡ wariancja:

¡ odchylenie standardowe:

¡ sko Ļ no Ļę :

¡ kurtoza: (lub 3, przyjmuj Ģ c dawniej u Ň ywan Ģ definicj ħ ).

Standaryzowanie zmiennych losowych o rozkładzie normalnym

Konsekwencj Ģ własno Ļ ci 1 jest mo Ň liwo Ļę przekształcenia wszystkich zmiennych losowych o

rozkładzie normalnym do standardowego rozkładu normalnego.

Je Ļ li X ma rozkład normalny ze Ļ redni Ģ Ⱥ i wariancj Ģ Ŏ 2 , wtedy:

Z jest zmienn Ģ losow Ģ o standardowym rozkładzie normalnym N(0, 1). Wa Ň n Ģ konsekwencj Ģ jest

posta ę dystrybuanty:

Odwrotnie, je Ļ li Z jest zmienn Ģ losow Ģ o standardowym rozkładzie normalnym, to:

jest zmienn Ģ o rozkładzie normalnym ze Ļ redni Ģ Ⱥ i wariancj Ģ Ŏ 2 .

Standardowy rozkład normalny został stablicowany i inne rozkłady normalne s Ģ prostymi

transformacjami rozkładu standardowego. W ten sposób mo Ň emy u Ň ywa ę tablic dystrybuanty

rozkładu normalnego do wyznaczenia warto Ļ ci dystrybuanty rozkładu normalnego o dowolnych

http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny

2010-07-01

Rozkład normalny – Wikipedia, wolna encyklopedia

Page 5 of 7

parametrach.

Generowanie warto Ļ ci losowych o rozkładzie normalnym

W symulacjach komputerowych zdarza si ħ , Ň e potrzebujemy wygenerowa ę warto Ļ ci zmiennej

losowej o rozkładzie normalnym. Istnieje kilka metod, najprostsz Ģ z nich jest odwrócenie

dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego. S Ģ jednak metody bardziej wydajne, jedn Ģ z nich

jest transformacja Boxa-Mullera, w której dwie zmienne losowe o rozkładzie jednostajnym (prostym

do wygenerowania — patrz generator liczb losowych) s Ģ transformowane na zmienne o rozkładzie

normalnym.

Transformacja Boxa-Mullera jest konsekwencj Ģ własno Ļ ci 3 i faktu, Ň e rozkład chi-kwadrat z dwoma

stopniami swobody jest rozkładem wykładniczym (łatwym do wygenerowania).

Centralne twierdzenie graniczne

Jedn Ģ z najwa Ň niejszych własno Ļ ci rozkładu normalnego jest fakt, Ň e, przy pewnych zało Ň eniach,

rozkład sumy du Ň ej liczby zmiennych losowych jest w przybli Ň eniu normalny. Jest to tak zwane

centralne twierdzenie graniczne.

W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie je Ļ li chcemy u Ň y ę rozkładu normalnego jako

przybli Ň enia dla innych rozkładów.

¡ Rozkład dwumianowy z parametrami jest w przybli Ň eniu normalny dla du Ň ych i

nie le ŇĢ cych zbyt blisko 1 lub 0. Przybli Ň ony rozkład ma Ļ redni Ģ równ Ģ

i odchylenie

standardowe

¡ Rozkład Poissona z parametrem jest w przybli Ň eniu normalny dla du Ň ych warto Ļ ci .

Przybli Ň ony rozkład normalny ma Ļ redni Ģ

i odchylenie standardowe

Dokładno Ļę przybli Ň enia tych rozkładów zale Ň y od celu u Ň ycia przybli Ň enia i tempa zbie Ň no Ļ ci do

rozkładu normalnego. Zazwyczaj takie przybli Ň enia s Ģ mniej dokładne w ogonach rozkładów.

Niesko ı czona podzielno Ļę

Rozkład normalny nale Ň y do rozkładów maj Ģ cych własno Ļę niesko ı czonej podzielno Ļ ci.

Wyst ħ powanie

Rozkład normalny (lub wielowymiarowy rozkład normalny) jest cz ħ sto stosowanym zało Ň eniem, w

praktyce jednak nigdy nie jest Ļ ci Ļ le realizowany. Rozkład normalny ma bowiem niezerow Ģ g ħ sto Ļę

prawdopodobie ı stwa dla dowolnej warto Ļ ci zmiennej losowej, podczas gdy w rzeczywisto Ļ ci

zmienne s Ģ zawsze ograniczone, a cz ħ sto nieujemne.

Mimo to rzeczywisty rozkład jest cz ħ sto bardzo zbli Ň ony do normalnego, st Ģ d zwykle zakłada si ħ , Ň e

zmienna ma rozkład normalny. Nie nale Ň y jednak robi ę tego bez sprawdzenia jak wielkie s Ģ

rozbie Ň no Ļ ci. Rozkłady dalekie od normalnego (np. z elementami odstaj Ģ cymi) mog Ģ sprawi ę , Ň e

wyniki metod statystycznych b ħ d Ģ mylnie interpretowane.

Przykładem s Ģ tu metody regresji liniowej oraz korelacji Pearsona, które, cho ę zdefiniowane dla

http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny

2010-07-01

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: