5. Badanie moduiłu sztywności przy pomocy wahadła torsyjnego.doc

Teoria:

II zasada dynamiki Newtona

Jeżeli na ciało o pewnej masie m działają zewnętrzne siły F1, F2, F3, F4 ..., to pod wpływem tych sił ciało to porusza się z przyspieszeniem takim, że:

            czyli:

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Mówi ona, że jeśli na pewne ciało, które posiada pewien swój moment bezwładności I zadziałają zewnętrzne siły, które wywrą na to ciało pewien wypadkowy moment siły M, to w wyniku tego działania ciało będzie obracać się z przyspieszeniem kątowym takim, że:

Moment bezwładności ciała I zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar . Zwykle mierzy się go w kg·m².

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy m

i kwadratu odległości od osi obrotu r:

Wypadkowy moment siły M działającej na ciało, to wielkość wektorowa określona przez iloczyn wektorowy działającej siły F  i  promienia r.

Wektor momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektor siły F  i wektor r,

a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Zgodnie z tą regułą, jeśli będziemy obracali

po najkrótszej drodze pierwszy wektor (tu: r) tak, aby pokrył się z drugim (tu: F), to obracana

w tym samym kierunku śruba prawoskrętna będzie przesuwać się (będzie wkręcana lub wykręcana) w kierunku określającym zwrot wektora M

Prędkość kątowa obracającej się bryły to charakterystyczna dla ruchu obrotowego wielkość określająca kąt zakreślany przez bryłę w określonym czasie:

Każdy punkt obracającej się bryły ma inną prędkość liniową, natomiast prędkość kątowa wszystkich punktów bryły jest taka sama. Punkt odległy od osi obrotu o r ma prędkość liniową v taką, że

Przyspieszenie kątowe obracającej się bryły określamy jako zmianę prędkości kątowej tej bryły w czasie.

Każdy punkt obracającej się bryły ma inne przyspieszenie liniowe, natomiast przyspieszenie kątowe                 wszystkich punktów bryły jest takie samo.

Punkt odległy od osi obrotu o r ma przyspieszenie liniowe a takie, że:

Odkształcenie ciała jest spowodowane działaniem zrównoważonych sił lub zrównoważonych momentów sił. Odkształcenie znikające z chwilą usunięcia sił odkształcających nazywamy odkształceniem sprężystym,

a zjawisko sprężystością. Siły odkształcające mogą działać prostopadle albo stycznie do powierzchni ciała.

Siły deformujące działające stycznie do powierzchni ciała S tworzą parę sił scharakteryzowaną momentem M. Działanie tych sił jest zrównoważone momentem sił reakcji podłoża. Stosunek siły stycznej Fs do powierzchni S, na którą ona działa nazywamy naprężeniem stycznym. Efekt działania takiego naprężenia nazywamy ścinaniem prostym

Miarą odkształcenia jest tzw. odkształcenie względne, w przypadku sił stycznych rolę względnego odkształcenia spełnia tzw. kąt ścinania γ.

Odkształceniami sprężystymi ciał stałych rządzi prawo Hooke’a, które mówi, że naprężenie jest wprost proporcjonalne do odkształcenia. Dla naprężenia stycznego prawo Hooke’a wyraża się wzorem:

τ = Gγ

Wahadło torsyjne składa się z czterech ramion, na których znajdują się ciężarki oraz metalowego pręta na którym wisi cała konstrukcja. W wahadle torsyjnym ruch spowodowany jest siłą skręcającą. Aby dokonać pomiaru długości okresu takiego wahadła należy wprawić wahadło w ruch skręcając pręt, a następnie zmierzyć około dwudziestu okresów (czyli czterdziestu przejść wahadła przez maksymalne wychylenia).

Wzór określający okres drgań wahadła torsyjnego jest analogiczny do równania opisującego ruch wahadła matematycznego, co nie znaczy identyczny.

D -określone jest w następujący sposób:

gdzie G- współczynnik sprężystości, który należy       wyznaczyć

Podstawiając powyższą równość do równania na okres drgań otrzymujemy:

Stąd możemy wyznaczyć współczynnik sprężystości G:

gdzie L- długość pręta, r –promień pręta

Ruch drgający harmoniczny/prosty jest to ruch, którego wykresem jest sinusoida, która w interpretacji matematycznej jest funkcją harmoniczną. Jest to ruch okresowy, jako że powtarza się w regularnych odstępach czasu. Mamy z nim do czynienia wtedy, gdy na ciało działa siła proporcjonalna do wychylenia. Z prawa Hook'a mamy:

F= -kx

gdzie:

F- siła

k- współczynnik sprężystości

x- wychylenie z położenia równowagi

Równaniem ruchu opisuje wzór:

x(t)= A.sin(w.t)

gdzie:

x(t)- wychylenie z położenia równowagi w chwili t

A- amplituda, maksymalne wychylenie

Tabela obliczeniowa: