LOGARYTMY, SUWAK LOGARYTMICZNY I INNE MASZYNY DO LICZENIA
Powodów dla których chemik zdecydował się na zajęcie tematem zarezerwowanym dla matematyków, jest kilka. Uważam, że należy wykazać, że temat ten nie tylko nie jest trudny, ale może być interesujący; a praktyczne jego zastosowania są wręcz fascynujące (w szczególności dla słuchaczy głośnej muzyki i dla pirotechników). Uzasadniam to szerzej w opracowaniu w odsyłaczu, i ciekaw jestem, czy podzielicie moje zdanie?
Logarytm dziesiętny - to po prostu wykładnik potęgi do której należy podnieść liczbę 10 aby uzyskać liczbę logarytmowaną...
lg a = x a = 10x
po co wynaleziono logarytmy?
Logarytmy są wynalazkiem Napiera (1616 r).
"Wiedząc, że nie ma niczego, co byłoby tak kłopotliwe w praktyce matematycznej, co mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie dużych liczb, - żmudne, czasochłonne, a przy tym często podatne na niebezpieczne błędy - zacząłem w głębi ducha rozważać, za pomocą jakiego sposobu mógłbym usunąć te przeszkody."
Matematyk Briggs specjalnie pojechał do Szkocji, aby poznać Napiera:
"drogi Panie, przedsięwziąłem tę długą podróż po to, by Cię zobaczyć i dowiedzieć się, za jakiego sprytu i dowcipu sprawą pomyślałeś jako pierwszy o tej prześwietnej pomocy dla astronomii... Ciekaw jestem, dlaczego nikt inny nie wpadł na to wcześniej; wszak, gdy się już rzecz pozna, wydaje się taka prosta"
Rozpowszechnienie tablic logarytmicznych wiąże się z rozwojem obserwacji astronomicznych, i kłopotliwością astronomicznych obliczeń. Obliczenia te zajmowały siedemnastowiecznym astronomom ogromnie wiele czasu. http://www.wiw.pl/nowinki/astronomia/200112/logarytmy.asp Niżej wykażemy, że zastosowanie logarytmów może znacznie ułatwić proste nawet rachunki. W tym opracowaniu zajmuję się jedynie logarytmami przy podstawie 10, czyli logarytmami dziesiętnymi (briggsowskimi).
Kolejne praktyczne zastosowanie logarytmów wiąże się z fizjologią (!). Prawo Webera-Fechnera ma zastosowanie praktyczne dla muzyków oraz pirotechników (a jego nieświadomość może u tych ostatnich skończyć się zdekompletowaniem palców...). Odsyłam tu do F opracowania o pH. Genialne wręcz praktyczne zastosowanie do budowy najprostszej maszyny rachunkowej opiszę nieco dalej. To tylko dzisiejsi uczniowie uważają, że logarytmy wynaleziono dla większego tylko jeszcze udręczenia młodzieży...
krzywa logarytmiczna i właściwości funkcji logarytmicznej
Zamiast abstrakcyjnych wywodów przytaczam po prostu wykres funkcji logarytmicznej (swoją drogą: mam wrażenie, że w szkołach już przestano uczyć czytania wykresów. O poprawnym rysowaniu wykresów już nawet nie wspominam. A przecież wykres jest najbardziej obrazową formą przedstawiania zależności... Dlaczego to zrobiono uczniom?).
Logarytm - to po prostu wykładnik potęgi, do której podniesiono liczbę 10. Dziesięciokrotna zmiana wartości zmiennej powoduje zmianę wartości jej logarytmu - o jeden... (stukrotna - o dwa; tysiąckrotna - o trzy. Proste?)
No, to zadanie. Są dwa roztwory: I pH = 2 oraz II pH = 12. W którym stężenie kwasu jest większe, i ile razy? [no, szybciutko: 10 razy (12-2), czy 6 razy (12:2) ?]
Policzmy... pH = - lg [H+] [H+] = 10-pH
[H+]I = 10-2 [H+]II = 10-12
[H+]I / [H+]II = 10 000 000 000 razy...
Przecież przed chwilą powiedziano, że zmiana logarytmu (tu: pH) o jedną jednostkę, odpowiada dziesięciokrotnej zmianie liczby logarytmowanej. A zmiana pH o dziesięć jednostek - zmianie stężenia kwasu dziesięć miliardów razy. Pamiętajmy o tym przy czytaniu wykresu miareczkowania alkacymetrycznego...
jak zestawiono tablice logarytmiczne?
Obliczanie logarytmów jest proste jedynie dla liczb będących „okrągłymi potęgami” dziesięciu. Logarytm - to po prostu wykładnik potęgi, do której podniesiono liczbę 10 (a więc: lg 1000 = lg 103 = 3; lg10 = lg 101 = 1; lg1 = lg 100 = 0 itd.). Obliczenie logarytmów innych liczb jest dość żmudne (do znakomitego opisu tworzenia tablic logarytmicznych odsyłam nieco dalej.
Na co dzień mamy do dyspozycji tablice z wartościami logarytmów kolejnych liczb. Teoretycznie tablice logarytmiczne powinny być nieskończenie wielkie (bo każdej liczbie odpowiada jej logarytm, a liczb jest nieskończenie wiele). Zastosowano jednak prosty trick wynikający z właściwości logarytmów. Studenci bardzo nie lubią wprowadzenia pojęcia cechy i mantysy logarytmu; uważają, że są to zbędne komplikacje, skoro jest do dyspozycji kalkulator... Proszę jednak docenić, jak bardzo wynalazek cechy i mantysy uprościł kiedyś konstrukcje tablic logarytmicznych oraz praktyczne zastosowania rachunku logarytmicznego!
Tu wprowadzam pierwsze prawo rachunków z logarytmami:
lg (a · b) = lg a + lg b
Natychmiast wynika z niego, że lg an = lg (a · a · a · .... a) = lg a + lg a + lg a + ...... lg a = n lg a A także: lg a/b = lg (a · b-1) = lg a - lg b. Każdą liczbę można zapisać w postaci iloczynu potęgowego liczby zawartej pomiędzy 1 a 10, oraz odpowiedniej potęgi liczby 10.
Np. 200 = 2 · 102 0,2 = 2 · 10¾1 1324 = 1,324 · 103
Logarytm każdej liczby składa się więc z sumy (bo logarytm iloczynu jest sumą logarytmów) dwóch części, pierwszej: liczby zawartej pomiędzy 1 a 10 (logarytm ten zawarty jest więc pomiędzy 0 a 1). Ta część nazywana jest mantysą logarytmu; odczytuje się ją z tablic logarytmicznych. Mantysy są zawsze liczbami dodatnimi. Druga część, to logarytm drugiego czynnika iloczynu potęgowego - czyli logarytm potęgi dziesięciu. Jest on równy po prostu wykładnikowi potęgi dziesięciu! Tę część logarytmu nazywa się cechą logarytmu; i jest ona obliczana w pamięci. Np. lg 102 = 2; lg 10¾1 = -1. Zatem:
lg 200 = lg (2 · 102) = lg 2 + lg 102 = 0,3 + 2 = 2,3
lg 0,2 = lg (2 · 10¾1) = lg 2 + lg 10¾1 = 0,3 + (-1) = -0,7
Do obliczenia logarytmów liczb: 2; 20000; 0,02 itp, niezbędna jest jedynie wartość mantysy liczby 2.
Logarytm każdej liczby składa się z części całkowitej, zwanej cechą: jest to całkowita część logarytmu, a wyznaczana jest ona w pamięci. Dla liczb z zakresu 1-10 jest ona równa 0; dla liczb z zakresu 10-100 równa jest 1 itd...
mantysa: ułamkowa, dodatnia część logarytmu, odczytywana z tablicy logarytmicznej. Mantysy liczb np. 2,53 25,3 2530 są identyczne, logarytmy tych liczb różnią się jedynie cechą.
lg 2,53 = 0,40lg 25,3 = lg (2,53 · 101)= 1,40lg 0,253 = lg (2,53 · 10-1) = *1,40 = -1 + 0,4 = - 0,6 * nad cechą logarytmu wpisać znak: “minus”lg 20 = lg (2 · 101) = 0,30 + 1 = 1,30lg 2 = 0,30lg 0,2 = lg (2 · 10-1) = -1 + 0,3 = -0,7 = *1,30 ...
Tak więc tablice logarytmiczne zawierają jedynie logarytmy liczb z zakresu 1 - 10. To, jak są te tablice obszerne - zależy od dokładności tablic. Dla liczb z zakresu 1 - 10 z dokładnością do 1 - jest ich zaledwie 10 (1 2 3 ... 10). Dla dokładności 0,1 jest ich już 100 (1,0 1,1 1,2 ... 9,8 9,9 10,0). Dla dokładności 0,01 jest ich 1000, a dla dokładności 0,001 - aż 10 000. W potocznym zastosowaniu często nie uwzględnia się więc w ogóle przecinka dziesiętnego, a liczby: 0,01324 oraz 132,4 czyta się identycznie: „jeden-trzy-dwa-cztery”.
W powszechnym użytku są tablice logarytmiczne czterocyfrowe.
jak kiedyś obliczono wartości logarytmów „na piechotę”?
Do znakomitego opisu tworzenia tablic logarytmicznych z dowolną dokładnością odsyłam do Wykładów z Fizyki P. Feynmana (Feynmana Wykłady z Fizyki, tomI cz.I, str. 319, PWN, 1971). Podaje on tam kapitalną procedurę obliczania logarytmów, z dowolną dokładnością. W pomysłowy sposób wykorzystano prawidłowości pojawiające się przy operacjach obliczania kolejnych pierwiastków kwadratowych z 10.
przybliżone tablice logarytmiczne jednocyfrowe do podręcznego użytku...
Proponuję zapamiętanie przybliżonych wartości logarytmów jedynie dwóch liczb:
lg 2 = 0,3010 (ok. 0,3)
lg 3 = 0,4771
Sami łatwo obliczymy stąd, że:
lg 4 = lg 22 = 2 lg 2 = 0,6020
lg 8 = lg 23 = 3 lg 2 = 0,9030
lg 5 = lg (10 : 2) = lg 10 - lg2 = 1 - 0,3010 = 0,699 (ok. 0,7)
lg 2,5 = lg (5 : 2) = 0,699 - 0,301 = 0,398 (ok. 0,4)
lg 1,5 = lg (3 : 2) = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761
lg pierwiastek 2 = lg 21/2 = 1/2 lg2 = 0,1505
lg 6 = lg (2 · 3) = 0,3010 + 0,4771 = 0,7780
lg 16 = lg 42 = 2 lg 4 = 1,2040 [inaczej: lg 16 = lg (2 · 8) = 0,3010 + 0,9030 = 1,2040]
jeśli tak, to: lg 1,6 = lg (16 : 10) = 1,2040 - 1 = 0,2040
lg 9 = lg 32 = 2 · lg 3 = 0,9542
Dla rozrywki (bo dlaczego się nie pobawić logarytmami?) proponuję zadanie: logarytmy (mantysy) jakich innych liczb można jeszcze łatwo obliczyć w podobny sposób?
Do kompletu należałoby może zapamiętać jeszcze jedną wartość: lg 7 = 0,845
Kolejny problem: należy zapisać liczbę: 10-4,7 w postaci iloczynu potęgowego.10-4,7 = 10(-4-0,7) = 10(-4-1-0,7+ 1) = 10(-5 + 0,3) = 10-5 · 100,3 = 2 · 10-5bo: ...100,3 = ?, ... Po zlogarytmowaniu:0,3 lg 10 = lg ? ... (lg 10 = 1) 0,3 = lg ? ... ... logarytm jakiej liczby równy jest 0,3 ? Jest to liczba 2. ... Zatem: 100,3 = 2
dodawanie i odejmowanie zamiast mnożenia i dzielenia ...
phredka