13. Ekstrema lokalne(1).pdf
(
122 KB
)
Pobierz
Ekstrema lokalne
EKSTREMA LOKALNE
Silne ekstrema lokalne
Definicja
Niech
X
– przestrzeń topologiczna,
f
:
0
X
X
R
,
x
.
z
def
.
1°
f
ma w
silne minimum lokalne
x
:
V
*
Top
*
(
x
)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
dla
x
V
*
0
0
istnieje takie
sąsiedztwo
punktu x
0
x
z
def
.
2°
f
ma w
silne maksimum lokalne
:
V
*
Top
*
(
x
)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
dla
x
V
*
0
0
Słabe ekstrema lokalne
Definicja
1°
f
ma w
słabe minimum lokalne
x
:
V
*
Top
*
(
x
)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
dla
x
V
*
0
0
2°
f
ma w
słabe maksimum lokalne
x
:
V
*
Top
*
(
x
)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
dla
x
V
*
0
0
Niech * oznacza następujące ogólne założenia
U
Top
R
n
*
f
:
U
R
x
0
U
Twierdzenie
(
warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
)
Zakładamy, że zachodzi * oraz dodatkowo:
, tzn.
f
jest różniczkowalna w
i
f
ma ekstremum lokalne w
x
0
.
Teza:
D
(
x
)
x
d
x
0
f
0
(pierwsza różniczka funkcji
f
w punkcie
x
0
jest równa 0).
Uwaga
Macierz pochodnych cząstkowych odpowiadająca danej różniczce jest równa zero wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pochodne cząstkowe tworzące macierz są równe zero,
d
f
0
f
0
j
1
,...,
n
x
0
x
j
Definicja
Punktem stacjonarnym
funkcji różniczkowalnej
f
nazywamy taki punkt
x
0
, w którym różniczka jest
równa 0; czyli
d
x
0
f
0
1
f
Dygresja (przypomnienie z algebry)
Definicja
Niech - przestrzeń unormowana nad ciałem
K
,
g
:
K
X
.
Wtedy
g
jest
formą kwadratową
, jeśli
G
L
2
(
X
,
K
),
G
symetryczn
ie
takie,
że
g
(
h
)
G
(
h
,
h
)
h
X
.
Definicja
g
–
określona dodatnio
g
–
określona ujemnie
g
–
półokreślona dodatnio
g
–
półokreślona ujemnie
g
(
h
)
0
h
X
\
0
0
g
(
h
)
0
h
X
\
g
(
h
)
0
h
X
g
(
h
)
0
h
X
Twierdzenie Sylwestera
(
o określoności formy kwadratowej
)
Zał:
A
– macierz formy kwadratowej
g
A
ij
i
,
j
1
,...,
n
,
gdzie
a
ij
R
dla
i
,
j
1
,...,
n
d
k
det
a
ij
i
,
j
1
,...,
k
dla
k
1
,...,
n
minory wyznaczniki
główne podmacierzy
Teza: 1° forma
g
– jest określona dodatnio
(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)
k
1
,...,
n
:
d
k
0
2° forma
g
jest
określona ujemnie
k
1
,...,
n
:
(
1
k
d
0
k
Twierdzenie
(
o półokreśloności formy kwadratowej
)
Zał:
A
– macierz formy kwadratowej
A
a
ij
i
,
j
1
,...,
n
,
gdzie
a
ij
R
dla
i
,
j
1
,...,
n
d
k
det
a
ij
i
,
j
1
,...,
k
dla
k
1
,...,
n
Teza: 1°
g
– półokreślona dodatnio
2°
g
– półokreślona ujemnie
k
1
,...,
n
:
d
k
0
k
1
,...,
n
:
(
1
k
d
0
k
Koniec dygresji
2
X
a
Twierdzenie
(
warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
)
Zał: Zachodzi * oraz
tzn. funkcja
f
jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie
x
0.
D
2
(
0
x
)
Teza: 1° Jeśli określona dodatnio
f
ma w
x
0
minimum lokalne
.
d
x
0
0
f
f
d
x
2
0
2° Jeśli określona ujemnie
f
ma w
x
0
maximum lokalne
.
d
x
0
0
f
f
d
2
0
Dowód (szkic):
Ad. 1°,
1
f
(
x
h
)
f
(
x
)
d
f
(
h
)
d
2
f
(
h
)
o
h
2
0
0
x
0
2
x
0
z zał.=0
0
f
(
x
h
)
f
(
x
)
1
d
2
f
(
h
)
o
h
2
0
0
2
x
0
jest określona dowodzi się
dodatnio >0 że jest >0
więc w punkcie jest ekstremum (minimum) lokalne.
x
□
Wniosek
(
warunek wystarczjący istnienia ekstremum lokalnego
)
Zał: Zachodzi
*
oraz
f
C
2
m
U
,
j
1
,...,
2
m
1
:
d
j
x
0
f
0
Teza: 1° Jeśli jest określona dodatnio, to
f
ma w punkcie
x
0
minimum lokalne
.
d
m
x
2
0
f
2° Jeśli jest określona ujemnie, to
f
ma w punkcie
x
0
maksimum lokalne
.
Twierdzenie
(
silny warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
)
Zał:
d
m
x
2
0
f
Zachodzi
*
oraz
f
D
2
(
x
)
.
0
Teza: 1°
f
ma minimum w półokreślona dodatnio)
x
d
f
0
d
2
f
0
(
tzn.
d
2
f
0
x
0
x
0
x
0
2°
f
ma maksimum w półokreślona ujemnie)
x
d
f
0
d
2
f
0
(
d
2
f
0
x
0
x
0
x
0
Wniosek
Jeśli jest nieokreślona w punkcie stacjonarnym , to wtedy w nie istnieje ekstremum
lokalne funkcji
f.
f
x
x
Uwaga
Z półokreśloności formy
d
x
2
0
f
nie
wynika
istnienie
ekstremum
lokalnego
w
x
0
.
3
f
x
d
x
2
0
Przykład
Zbadać określoność drugiej różniczki funkcji
w punkcie
P
(3,1).
f
(
x
,
y
)
x
3
xy
2
y
2
7
x
5
y
3
f
3
x
2
y
7
x
f
x
4
y
5
y
2
f
f
6
x
x
2
x
x
2
f
f
4
y
2
y
y
2
f
f
f
2
f
1
x
y
x
y
y
x
y
x
Niech
h
h
1
,
h
2
,
h
0
.
Wtedy
2
f
2
f
2
f
d
2
f
(
h
)
(
P
)
h
2
1
2
(
P
)
h
h
(
P
)
h
2
18
h
2
1
2
h
h
4
h
2
P
x
2
x
y
1
2
y
2
2
1
2
2
bo zakładaliśmy, że
17
h
2
h
2
2
h
h
h
2
3
h
2
h
h
2
3
h
2
0
h
2
h
.
1
1
1
2
2
2
1
2
2
0
0
Z powyższych rozważań wynika że, jest formą określoną dodatnio.
Przykład
Zbadać ekstrema funkcji:
d
2
f
1)
f
x
,
y
y
x
4
4
Pierwsza różniczka funkcji
f
musi być równa 0 (szukamy punktów stacjonarnych):
f
4
x
3
x
f
4
y
3
y
4
x
3
0
(
x
,
y
)
(
0
P
0
0
punkt
stacjonarn
y
4
y
3
0
0
Obliczamy drugie pochode cząstkowe
2
f
12
x
2
x
2
2
f
12
y
2
y
2
2
f
2
f
0
x
y
y
x
4
17
0
1
Stąd
12
x
2
0
d
2
f
P
0
12
y
2
oraz
forma kwadratowa drugiej różniczki jest półokreślona w punkcie
P
0
, więc
może tam istnieć ekstremum. Aby je znaleźć sprawdzamy czy:
d
2
0
f
0
0
P
0
0
f
(
x
,
y
)
f
(
0
(
x
,
y
)
(
0
).
Ponieważ
x
4
y
4
0
(
x
,
y
)
(
0
zatem w
P
0
istnieje minimum lokalne funkcji
f.
2)
f
(
x
,
y
)
x
3
y
3
Postępujemy tak jak w przykł 1).
f
3
x
2
x
f
3
y
2
y
3
x
2
0
(
x
,
y
)
(
0
P
0
punkt
stacjonarn
y
3
y
2
0
0
2
f
6
x
x
2
2
f
6
y
y
2
2
f
2
f
0
x
y
y
x
d
2
f
6
x
0
P
0
6
y
forma kwadratowa jest półokreślona w punkcie
P
0
d
0
f
2
0
0
P
0
0
w
P
0
może istnieć ekstremum, więc wracamy do badania funkcji z definicji
5
?
Plik z chomika:
dill8
Inne pliki z tego folderu:
Matematyka 2004 (gimnazjum - liceum).rar
(31977 KB)
Pitagoras Gimnazjum.rar
(20159 KB)
Matematyk krok po kroku - poradnik metodyczny - klasa II gimnazjum.pdf
(12904 KB)
Matematyk krok po kroku - poradnik metodyczny - klasa III gimnazjum.pdf
(17945 KB)
Matematyk krok po kroku - poradnik metodyczny - klasa I gimnazjum.pdf
(16476 KB)
Inne foldery tego chomika:
Chemia
Ekonomia
Fiza
PKM
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin