Anna Grynfelder
III MF
Wyrażenia algebraiczne. Równania. (szkoła podstawowa)
· W którym miejscu jest wprowadzone, co jest potrzebne aby je wprowadzić?
- „Matematyka z plusem” – klasa VI;
- „Mogę zostać Pitagorasem” S. Durydiwka, S. Łęski – klasa VI;
- „Matematyka jest wszędzie” T.Orłowska – klasa VI.
We wszystkich omawianych przeze mnie podręcznikach dane zagadnienie umieszczone jest po rozdziale „Liczby wymierne”, a przed rozdziałem poświęconym układowi współrzędnych. W podręczniku „Matematyka z plusem” i „Mogę zostać Pitagorasem” równania są omawiane w oddzielnym rozdziale razem z nierównościami, natomiast w podręczniku „Matematyka jest wszędzie” równania pojawiają się w jednym rozdziale „Wyrażenia algebraiczne”.
Umiejętności potrzebne przy realizacji tematu:
Podstawową umiejętnością potrzebna przy realizacji tematu jest znajomość praw działań oraz sprawne i racjonalne stosowanie ich. Uczeń umie dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby, uwzględniając kolejność działań.
· Sposoby wprowadzenia.
„Matematyka z plusem”
Na początku działu „Wyrażenia algebraiczne” umieszczona jest informacja o firmie produkującej samochodziki oraz polecenia związane z tymi informacjami.
Firma Aucik produkuje samochodziki zabawki.
Samochodziki składane są z kilku elementów:
nadwozia, podwozia i 4 kółek.
1. Ile kółek musi wyprodukować Dział Kół, aby Dział Montażu mógł złożyć:
a) 7 samochodzików,
b) 150 samochodzików,
c) n samochodzików?
2. Ile waży samochodzik, jeśli:
a) podwozie waży 20 gramów, nadwozie waży 30 gramów, a kółko waży 5 gramów,
b) podwozie waży x gramów, nadwozie waży y gramów, a kółko waży z gramów?
Uczniowie na podstawie takiego ciekawego przykładu są wprowadzeni w świat wyrażeń algebraicznych.
Dział jest podzielony na następujące rozdziały. Przedstawię ich wprowadzenie.
Zapisywanie wyrażeń algebraicznych.
Uczeń na podstawie ćwiczeń poznaje czym jest wyrażenie algebraiczne oraz sposoby zapisywania wyrażeń algebraicznych.
Ćwiczenie A. Do podanych określeń dopasuj wyrażenia w kółkach.
Liczba o 5 większa od 8 Liczba 5 razy większa od 8 5 · 8 8 + 5
Liczba o 5 mniejsza od 8 Liczba 5 razy mniejsza od 8 8/5 5:8
Liczba o 8 mniejsza od 5 Liczba 8 razy mniejsza od 5 8 – 5 5 – 8
Ćwiczenie B. Liczbę uczniów klas szóstych pewnej szkoły oznaczono literą x.
a) W klasach piątych jest o 5 uczniów więcej niż z klasach szóstych. Zapisz używając litery x, ilu uczniów jest w klasach piątych.
b) Wszystkich uczniów w szkole jest 7 razy więcej niż uczniów klas szóstych. Ilu uczniów jest w tej szkole?
Ćwiczenie C. Liczbę drzew liściastych w pewnym lesie oznaczono literą m, a liczbę drzew iglastych – literą k. Zapisz, używając liter m i k, odpowiedzi na poniższe pytania.
a) Ile wszystkich drzew jest w tym lesie?
b) Dęby stanowią 1/5 drzew liściastych. Ile jest dębów?
c) Sosen jest 10 razy mniej niż wszystkich drzew. Ile jest sosen?
d) Drzew liściastych jest więcej niż iglastych. O ile więcej?
Odpowiedziami na pytania z ćwiczeń B i C były wyrażenia, w których obok liczb i znaków działań występowały litery. Takie wyrażenia nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.
Poniższe przykłady pokazują, jak tworzy się proste wyrażenia algebraiczne.
liczba o 2 większa od m suma liczb a, b i c
m + 2 a + b + c
liczba o 7 mniejsza od x iloczyn liczb 3 i x + 1
x – 7 3 · (x + 1)
Zaznaczone jest, że zapisując wyrażenia typu 3m, xy, 3(x + 1) możemy pominąć znak mnożenia.
Kropki nie możemy pominąć natomiast, gdy po tej kropce występuje liczba zapisana cyframi, np. a · 5, (x + y) · 7.
Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych.
Na początku jest przykład wyjaśniający obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych.
Przykład: Pan Aleksander korzysta z telefonu komórkowego w sieci Klasyk. Abonament miesięczny w tej sieci wynosi 25 zł, a jedna minuta rozmowy kosztuje 2 zł. Miesięczna opłata za telefon w sieci Klasyk wynosi zatem 25 + n · 2 złotych, litera n oznacza, ile minut trwały rozmowy.
25 + 150 · 2 = 325 W lutym pan Aleksander telefonował wiele razy. Rozmowy trwały łącznie 150 minut. Aby obliczyć wysokość jego rachunku telefonicz-nego za luty, należy w wyrażeniu 25 + n · 2 w miejsce litery n wstawić liczbę 150.
Ćwiczenie A. Jaki rachunek zapłacił pa Aleksander za marzec, a jaki za kwiecień, jeżeli w
marcu rozmawiał przez 80 minut, a w kwietniu przez 125 minut (nie licząc rozmów z
osobami, które dzwoniły do niego).
Jeżeli w miejsce liter występujących w wyrażeniu algebraicznym wstawiamy liczby, to po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy wartość wyrażenia algebraicznego.
Wspomniane jest, że wartości wyrażeń algebraicznych obliczane były już wcześniej. Na przykład pole trójkąta długości 5 cm i wysokości 4 cm to tyle centymetrów kwadratowych, ile wynosi wartość wyrażenie a·h/2 dla a = 5 i h = 4.
Sumy algebraiczne. Redukcja wyrazów podobnych.
Wprowadzone jest pojęcie sum algebraicznych i przykłady.
a + 3 2x + 3y + (-2) Każde z wyrażeń zapisanych obok składa się z kilku
3t + 5b + z 2x + (-y) + 3 składników. Wyrażenia tego typu nazywamy sumami
algebraicznymi.
Zauważone jest, że wyrażenie 2x – 1 oznacza to samo co 2x + (-1). Zatem wyrażenie
2x – 1 tez możemy nazwać sumą algebraiczną.
Podane są przykłady sum algebraicznych.
Składniki sum algebraicznych nazywamy wyrazami sumy lub jednomianami.
Suma algebraiczna: Suma algebraiczna:
3t + 5b + z 2x – 1
Wyraz sumy: Wyraz sumy:
3t, 5b, z 2x, -1
Wyraz sumy algebraicznej, w którym nie występuje żadna litera (np. liczbę 3 w sumie 2x + 3), nazywamy wyrazem wolnym.
Część liczbową każdego z wyrażeń typu 2x, -3y, 4xb (czyli jednomianów) nazywamy współczynnikiem liczbowym. Na przykład współczynnik liczbowy wyrażenia 2x to 2, a wyrażenia -3y to -3.
x = 1x W wyrażeniu typu x, ab, t² współczynnik liczbowy jest równy 1.
-t = (-1)t W wyrażeniach typu –x, -cd, -r³ współczynnik liczbowy równy
jest -1.
Wyrażenie
3x
-2a
y
-u
0,3ab
Współczynnik liczbowy
3
-2
1
-1
0,3
Składniki sum algebraicznych możemy przestawiać, ale zmieniając ich kolejność, nie wolno zapominać o znakach współczynników liczbowych.
Następnie omówiona jest redukcja wyrazów podobnych na podstawie obwodów trójkątów i wielokąta.
Przyjrzyj się rysunkom przedstawionym poniżej. Litera a oznacza długość żółtego patyczka, a litera b – zielonego.
Trójkąt równoboczny zbudowany z 3 żółtych patyczków o długości a ma obwód równy 3a. Obwód ten można zapisać tez w postaci sumy a + a + a. Wynika stąd równość: a + a + a = 3a.
Kolejny trójkąt ułożono z 9 żółtych patyczków o długości a. Jego obwód jest zatem równy 9a. Wynika stąd równość: 2a + 3a + 4a = 9a.
Czworokąt ułożono z 5 żółtych patyczków o długości a i 3 zielonych o długości b. Jego obwód jest zatem równy 5a + 3b. Możemy zapisać równość: 2a + b + 3a + 2b = 5a + 3b.
Wprowadzenie do redukcji wyrazów podobnych:
Niektóre sumy algebraiczne możemy zapisać w prostszej postaci, dodając do siebie wyrazy podobne, czyli te, które mają taką samą część literową.
Takie upraszczanie sumy nazywamy redukcją wyrazów podobnych. Gdy sumy są skomplikowane, warto przed redukcją pogrupować wyrazy podobne lub podkreślić je w jednakowy sposób.
Przedstawiony jest prosty przykład redukcji wyrazów podobnych, w którym wyrazy podobne podkreślone są w jednakowy sposób.
Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez liczby.
Na początku umieszczone są rysunki kwadratów ułożonych z dwóch rodzajów patyczków, na podstawie których wyjaśnione jest mnożenie sum algebraicznych przez liczby. Litera x oznacza długość żółtego patyczka, a litera y – zielonego.
Pierwszy kwadrat ułożono z 8 patyczków o długości x, Jego obwód jest równy 8x. Obwód ten możemy zapisać także w postaci iloczynu 4 · 2x. Wynika stąd równość: 4 · 2x = 8x.
Drugi kwadrat ułożono z 4 żółtych i 8 zielonych patyczków. Jego obwód jest więc równy
4x + 8y. Możemy zatem zapisać równość: 4(x + 2y) = 4x + 8y.
Następnie jest ćwiczenie związane ze znajdowaniem obwodu kwadratu oraz ze znajdowaniem długości boku na podstawie danego obwodu.
Ćwiczenie A.
a) Obwód pewnego kwadratu jest równy 60x. Jaką długość ma bok tego kwadratu?
b) Obwód pewnego kwadratu jest równy 4a + 20b. Jaką długość ma bok tego kwadratu?
W dalszej części są przykłady pokazujące, jak mnożymy lub dzielimy wyrażenia algebraiczne przez liczby.
4 · 3x = 12x 5(3b – a) = 15b -5a
4 · 3 Mnożymy przez 5 każdy składnik sumy.
3x · (-6) = -18x -2(4x – 5y + 3) = -8x + 10y - 6
3 · (-6) Mnożymy przez -2 każdy składnik sumy.
10b : (-2) = -5b (-6t + s – 3):3 = -2t +1/3s - 1
10 · (-2) Dzielimy przez 3 każdy składnik sumy.
Wyjaśnione jest, że jeżeli przed nawiasem znajduje się znak minusa, to opuszczając nawias, zmieniamy znak każdego składnika na przeciwny.
Równania
Równania są wprowadzone w oddzielnym dziale razem z nierównościami.
Pojęcie równania jest wprowadzone za pomocą przykładu wagi.
1. Wagi na rysunka...
maksiulo