Macierze i układy równań

Ciąg ( skończony )

Ciągi ( podwójne ) =: macierze

awk       -   Element macierzy A

w Є { 1,2, ..... m } – wiersze

k Є  { 1,2, ..... n } – kolumny

a43       -   Element macierzy A znajdujący się w 4 wierszu i 3 kolumnie

   -  Przykład macierzy

macierz kwadratowa – gdy  w = k

DZIAŁANIA NA MACIERZACH

Dodawanie ( warunek równości wymiarów )

Macierz zerowa – wszystkie elementy równe 0 ( element metody dodawania )

Transponowanie macierzy ( AT ) – zamiana wiersz na kolumny

( A + B )T = AT + BT

MNOŻENIE PRZEZ LICZBY

Liczba mnożona jest przez wszystkie elementy macierzy

( a * A )T = aT * AT

MNOŻENIE MACIERZY

Definicja mnożenia macierzy

Mnożenie macierzy nie jest przemienne

I3- macierz jednostkowa  3-go stopnia

Macierz jednostkowa stopnia 2-go

Stopień macierzy – ilość jedynek po przekątnej

MACIERZE KWADRATOWE

Wyznacznik macierzy

Schemat Sarrusa ( tylko do wyznaczników stopnia trzeciego )

Algorytm CHIO

Rozwinięcie Laplase’a

Algorytm CHIO

Wyznaczniki w arkuszach kalkulacyjnych

Excel

Berive

ZASTOSOWANIA

Odwracanie macierzy

Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jej wyznacznik jest różny od 0

determinanta

Macierz dołączona

Ad, AD, adj A

Wzór

Mrs – minor ( wyznacznik ) bez r-tego wiersza s-tej kolumny

A – macierz nie jest odwracalna ( det A = 0 )

B – macierz jest odwracalna ()

Sprawdzenie wyniku

RÓWNANIA LINIOWE

2x-y=2 - wykresem jest prosta ( w R2 )

2x+y+3z=5 – wykresem jest płaszczyzna ( w R3 )

- wykresem jest płaszczyzna w ( Rn-1)

Inny zapis ( macierzowy )

- układ równań liniowych

- macierz rozszerzona

Układy Cramera

wyrazy wolne

- postać macierzowa

macierz kwadratowa

- mam dwie metody

1. metoda wzorów Cramera
2. metoda wzorów macierzowych

- kolumnę pierwszą zamieniamy kolumną wyrazów wolnych

- kolumnę drugą zamieniamy kolumną wyrazów wolnych

- kolumnę trzecią zamieniamy kolumną wyrazów wolnych

Wzory Cramera

Metoda macierzy odwrotnych

Eliminacja Gaussa

Operacje elementowe

- zamiana r-tego równania z s-tym

- r-te równanie pomnożone przez

- r-te równanie pomnożone przez dodajemy do s-tego

- macierz rozszerzona
Macierz występuje w postaci normalnej jeżeli:

-        pierwszy niezerowy element wiersza jest

-        jeżeli w kolumnie jest to pozostałe elementy tej kolumny są zerami

-        przemieszcza się schodkowo w prawo

-        wiersze zerowe są po niezerowych

- macierz jest w postaci normalnej

- postać normalna

Rząd macierzy

1. Liczba niezerowa wierszy w postaci normalnej tych macierzy
2. w macierzy A istnieje niezerowy minor stopnia K oraz nie istnieją niezerowe minory stopnia wyższego

Odp: rząd macierzy równy 3

Przykład:

   - wszystkie macierze 3-go stopnia są zerowe

Odp: rząd macierzy = 2 rzB=2

Twierdzenie ( Konecker, Capelli)

Układ równań A*X=B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy

2000-09-15

Przestrzenie liniowe

- zbiór macierzy K=1 ( kolumnowy )

R3

Macierz kolumnowa – wektor

- C jest kombinacją liniową wektorów a i b

skalary

wtedy i tylko wtedy gdy istnieją liczby itakie, że

              - współczynniki kombinacji

Przedstaw wektor w postaci kombinacji liniowej wektorów

Przestrzenie z iloczynem skalarnym

1. - długość ( norma )
2. - ortogonalność
3. 
   
    
4. 
   
   
   
    
5. 
   
   
   
   
   
                                                       
   
   
   
    

Pole równe jest pierwiastkowi z wyznacznika

Ortogonalizacja bazy metodą Gramma – Smidtha

-  baza

Czy to jest baza ?

( największy niezerowy minor macierzy )

w kolumnach są generatory

Jeżeli rząd macierzy jest równy liczbie generatorów to jest to baza, jeżeli rząd macierzy jest mniejszy od liczby generatorów to nie jest to baza.

Nowa baza ( ortogonalna )

1. I wektor
   O1 wybieramy dowolnie spośród wektorów bazy B. Np.
2. II wektor O2 określa się następująco
   z warunkiem ( ortogonalny )