Maria Balcerowicz-Szkutnik Podstawy statystyki w przyk�adach i zadaniach Statystyka opisowa elementy wnioskowania statystycznego Bytom 2004 Redakcja: Magdalena Goik Recenzent: dr hab. Zygmunt Przybycin Spis tre�ci ISBN 83-88587-86-2 Przedmowa ............. Rozdzia� I Analiza struktury zjawisk........ Zadania do samodzielnego rozwi�zywania Rozdzia� III Elementy teorii wsp�zale�no�ci cech .... Zadania do samodzielnego rozwi�zywania Rozdzia� III Analiza dynamiki zjawisk........ Zadania do samodzielnego rozwi�zywania Rozdzia� IV Wybrane zagadnienia statystyki matematycznej Zadania do samodzielnego rozwi�zywania Rozdzia� V Przyk�adowe zadania testowe ...... Bibliografia 36 55 65 85 92 102 108 126 Copyright by Wv7c y sza Szko�a Ekonomii i Administracji w By tomiu Przedmowa Przedstawiony skrypt stanowi opracowanie b�d�ce, w swoim zamierzeniu uzupe�nieniem istniej�cej szerokiej literatury przedmiotu o now� pozycj�, kierowan� przede wszystkim do student�w uczelni ekonomicznych. Skrypt obejmuje zakres statystyki opisowej prezentowanej w ramach wyk�adu ze statystyki dla studi�w licencjackich i magisterskich uczelni ekonomicznych, g��wnie studiuj�cych w trybie zaocznym i wieczorowym. W prezentowanej wersji skryptu pomini�to tre�ci teoretyczne, zwracaj�c uwag� na techniki rozwi�zywania zada� jako, �e ten element wraz z umiej�tno�ci� aplikacji teoretycznych aspekt�w statystyki sprawia studentom najwi�cej trudno�ci. Z tego te� wzgl�du szczeg�ln� uwag� skierowano na przedstawienie typowych i wariantowych sposob�w rozwa�ania problem�w statystycznych w licznych rozwi�zanych w skrypcie przyk�adach. Opracowanie podzielono na cztery zasadnicze cz�ci (zgodnie z wymogami przedmiotu) i w ka�dej z nich przedstawiono kilkana�cie zada� rozwi�zanych w szczeg�owy spos�b z podaniem pe�nej postaci wykorzystanych wzor�w i warunkami ich zastosowania oraz od 25 do 30 zada� do samodzielnego rozwi�zania. Osobn� cz�� stanowi propozycja 50 zada� testowych (ka�de do rozwi�zania w ci�gu przeci�tnie 3 minut) jako, �e te formy sprawdzania wiedzy student�w ciesz� si� coraz wi�ksz� popularno�ci�. Zdecydowana cz�� zada� ma charakter autorski i tylko nieliczne s� modyfikacjami zada� zamieszczonych w ju� istniej�cych podr�cznikach. Jako podr�czniki, uzupe�niaj�ce wyk�ady o charakterze teoretycznym, student mo�e wykorzysta� dowolny podr�cznik z zamieszczonego spisu literatury, a g��wnie z podr�cznika Mieczys�awa Sobczyka. Niniejszy skrypt stanowi tylko cz�� temat�w realizowanych w ramach przedmiotu statystyka. W zamierzeniu autora jest przygotowanie cz�ci II, w kt�rej zamieszczone b�d� podstawy teoretyczne wszystkich temat�w obj�tych gramem studi�w ze statystyki wraz z zagadnieniami nie zamieszczonymi :m opracowaniu, a dotycz�cymi temat�w z zakresu rachunku prawdopodo-istwa, estymacji parametr�w zbiorowo�ci statystycznej i weryfikacji hipotez ystycznych. Rozdzia� I Analiza struktury zjawisk 3 Zadanie 1. W sze�cioosobowej grupie pracownik�w wp�aty do urz�d�w skarbowych z tytu�u podatku dochodowego od os�b fizycznych by�y za rok 1999 nast�puj�ce: 2039,40 z�; 2699,40 z�; 3670,20 z�; 2236,80 z�; 1602,30 z; 2963,70 z�. Jaka by�a warto�� przeci�tna wp�aconego do urz�d�w skarbowych podatku? vr Rozwi�zanie. Dla ustalenia warto�ci przeci�tnej w przypadku szeregu wyliczaj�cego wykorz-stuje si� wz�r w nast�puj�cej postaci: X, +x- ' J.J. gdzie odpowiednio: x - oznaczenie warto�ci przeci�tnej (warto�ci �redniej) x. - realizacja cechy statystycznej n - liczba realizacji cechy statystycznej W naszym przypadku __ 2039,4 + 2699,4 + 3670,2 + 2236,8 + 1602,3 + 2963,7 [1] co oznacza, �e przeci�tna wp�ata podatku dochodowego od os�b fizycznych do urz�du skarbowego w tej grupie pracownik�w by�a r�wno 2535,3 z�. 3 Zadanie 2. Ustali� �redni wzrost 10-letniego ch�opca w szko�ach podstawowych miasta Siemianowice dysponuj�c danymi uzyskanymi z kart lekarskich piel�gniarek szkolnych. 7 Rozdzia� I t Rozwi�zanie. Ze wzgl�du na posta� szeregu statystycznego (szereg punktowy), w kt�rym zaprezentowano dane do oceny poziomu przeci�tnego wykorzystamy �redni� wa�on� zgodnie z wzorem: Wzrost w cm 150 151 152 153 154 155 156 Razem Liczba dzieci 25 35 40 45 40 30 20 235 �r�d�o: dane umowne X = x1n1 +x2n2 [2] ni +n2 i-l gdzie: x x. n. oznaczenie warto�ci przeci�tnej (przeci�tnej); realizacja cechy statystycznej; liczebno�� cz�stkowa realizacji x., czyli liczba jej powt�rze�; liczba r�nych realizacji cechy statystycznej. W naszym przypadku otrzymujemy: - 150-25+ 151-35+ 152-40 + 153-45+ 154-40 + 155-30+ 156-20 _ 35330 = 1J2 89 _ 153cm 25 + 35 + 40 + 45 + 40 + 30 + 20 35 ' Cm O Zadanie 3. Dla cel�w sprawozdawczo�ci finansowej ustali� �rednie wynagrodzenie w pierwszym kwartale 1999 r. pracownik�w sp�ki akcyjnej �Ania" w Bia�ej Podlaskiej dysponuj�c danymi. Wynagrodzenie w z� (xid'x�) Liczba pracownik�w ni 1000-1200 65 1200-1400 110 1400-1600 42 1600-1800 83 300 ,f Zrodlo: dane umowne Rozwi�zanie. Ze wzgl�du na posta� szeregu statystycznego (szereg przedzia�owy) w postaci, 8 kt�rego przedstawiono dane �r�d�owe do wyznaczenia miary poziomu przeci�tnego wykorzystamy �redni� wa�on� w postaci: x2n k In, i 2n2 xnn n"k n, +n2 [3] Izie: x X - oznaczenie miernika; - �rodek przedzia�u klasowego wyznaczamy jako �rednie arytmetyczne granic przedzia�u (x.d - dolna granica przedzia�u i x. � g�rna granica , . , > � Xid + Xig przedzia�u) x =----------- ; n. - liczebno�ci cz�stkowe, czyli liczba element�w przedzia�u o numerze �i"; k - liczba przedzia��w klasowych szeregu. W naszym przypadku warto�� �rednia jest r�wna: 1100-65+ 1300-110+ 1500-42+ 1700-83 418600 65 + 110 + 42 + 83 300 = 1395,33 co oznacza, �e �rednia p�aca pracownika sp�ki akcyjnej �Ania" w pierwszym kwartale 1999 roku by�a r�wna 1395,33 z�. O Zadanie 4. Na podstawie informacji zamieszczonych w szeregu statystycznym, przedstawionym w postaci poni�szej tablicy, ustali� poziom �redni cechy, wska�niki struktury oraz dokona� prezentacji graficznej przedstawionego materia�u statystycznego. Tablica Zak�ady us�ugowe w Gda�sku wed�ug obrot�w osi�gni�tych w styczniu 1999 r. i i Obroty w z� (**-*,.) 10 000-14 000 14 000-18 000 18 000-22 000 22 000-26 000 26 000-30 000 Razem Liczba Zak�ad�w 306 408 629 272 85 1700 Rozdzia� I Analiza struktury zjawisk. 1r Rozwi�zanie. Dla wyznaczenia warto�ci �redniej wykorzystamy wz�r na �redni� wa�on� (patrz zad. 3), czyli otrzymamy: _ 12000-306+ 16000-408+ 20000-629+ 24000-272+ 2800-85 3168800 ,�� , x =------------------------------------------------------------------------=----------= 18640 z� 1700 1700 co oznacza, �e �redni poziom obrot�w w rozwa�anej grupie zak�ad�w us�ugowych jest r�wny 18 640 z�. Wska�niki struktury lub inaczej cz�sto�ci wyznaczamy jako ilorazy liczebno�ci cz�stkowych i liczebno�ci og�lnej przyjmuj�c oznaczenie: n j =� przy czym n =1 Otrzymujemy odpowiednio: 306 406 n-,A 629 w, =^- = 0,18; w2= �= 0,24; w3=-------- 1700 1700 1700 1700 w5 = 1700 co oznacza, �e 18% zak�ad�w us�ugowych mia�o obroty w wysoko�ci od 10 tys. do 14 tys. z�; 24% zak�ad�w mia�o obroty w wysoko�ci od 14 tys. z� do 18 i dalej interpretuj�c 5% zak�ad�w mia�o obroty od 26 tys. do 30 tys. z�. Do prezentacji graficznej mo�emy wybra� dowoln� posta� wykresu statystycznego: wykres powierzchniowy (ko�o) lub s�upkowy, czyli klasyczny histogram. Wykres ko�owy b�dzie mia� posta�: Natomiast histogram przedstawiony w uk�adzie wsp�rz�dnych w( (100%) 40 - 30 -20 - 10 - obroty w tys. 10 14 18 22 26 30 Rys. 1 Na podstawie histogramu mo�emy wyznaczy� diagram jako �aman� ��cz�c� punkty o wsp�rz�dnych (x,n.) lub (x, w.). Wyg�adzona posta� diagramu tworzy krzyw� liczebno�ci, kt�rej kszta�t pozwala na okre�lenie rodzaju asymetrii rozk�adu analizowanej cechy. W przypadku analizowanej cechy stwierdzamy asymetri� lewostronn�. 3 Zadanie 5. Akcje Sp�ki Akcyjnej �Kant" w czasie kolejnych notowa� gie�dowych w roku 1999 osi�gn�y nast�puj�ce warto�ci (w z�): 26, 18, 30, 20, 23, 25, 19, 28, 20, 24, 18, 28, 21, 26, 25, 23, 21, 26, 20, 28, 25, 21, 26, 20, 19, 19, 20, 22, 23, 18, 19, 31, 23, 28, 25, 19, 21, 26, 26, 20, 25, 26, 20, 21, 2.6, 21, 20, 21, 26, 30, 21, 21, 20, 29, 28, 20, 21, 18, 20, 22, 21, 26, 19, 31, 25, 26, 26, 25, 20, 21, 26, 30, 28, 26, 30, 22, 28, 25, 23, 21, 20, 26, 20, 21, 26, 20, 21, 20, 21,29,21. Wska� dominuj�c� cen� akcji Sp�ki �Kant" na gie�dzie. ^ Rozwi�zanie. Warto�� dominuj�ca dla szeregu wyliczaj�cego lub punktowego jest realizacj� cechy statystycznej o najwi�kszej liczbie powt�rze� lub najwi�kszej liczebno�ci cz�stkowej. Zatem najwa�niejszym elementem pracy b�dzie uporz�dkowanie szeregu w spos�b monotoniczny i okre�lenie warto�ci dominuj�cej. Wybieramy najpierw najmniejsz� (xmjn) i najwi�ksz� (xmax) realizacj� cechy x_,_ = 18 i x_... = 31 10 11 Rozdzia� I Analiza struktury zjawisk i porz�dkujemy szereg monotonicznie: 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 30, 30,31,31. Okaza�o si�, �e najcz�ciej w roku 1999 notowania akcji Sp�ki �Kant" osi�gn�y cen� 21 z� i t� warto�� uznajemy za dominant�. O Zadanie 6. Na podstawie informacji zawartej w tablicy okre�li� dominuj�cy wiek pracownika zatrudnionego na stanowisku kierowniczym w przedsi�biorstwach budowlany...
karol.sta