Dyskretny nieliniowy ukŕad semidynamiczny na pŕaszczyŻnie.pdf

UNIWERSYTET JAGIELLOSKI

Wydziaª Matematyki i Fizyki

Kierunek: Matematyka

Sekcja teoretyczna

PRACA MAGISTERSKA

DYSKRETNY NIELINIOWY

UKAD SEMIDYNAMICZNY

NA PASZCZYNIE

Zbigniew Galias

opiekun: doc. Jerzy Ombach

Kraków, rok 1992.

Spis tre±ci

1 WSTP

1.1 Sformuªowanie zagadnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 ANALIZA UKADU LINIOWEGO

3 UKAD NIELINIOWY | ANALIZA SYMBOLICZNA 11

3.1 Wyznaczanie orbit okresowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Stabilno±¢ orbit okresowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Punkty staªe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Orbity okresowe o okresie 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5 Orbity okresowe o okresie 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.6 Orbity o okresie 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7 Orbity okresowe | podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.8 Algorytm wyznaczania orbit okresowych . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 ZBIORY GRANICZNE TRAJEKTORII 27

4.1 Zbiory graniczne dla (a;b) 2 T 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Zbiory graniczne dla (a;b) 2 T 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Zbiory graniczne dla (a;b) 2 Q 1 [ P 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4 Zbiory graniczne dla (a;b) 2 Q 2 [ P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Zbiory graniczne dla (a;b) 2 Q 4 [ P 3 [ P 4 . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 REDUKCJA UKADU DO ODWZOROWANIA OKRGU 41

5.1 Zbiór niezmienniczy homeomorczny z okr¦giem . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Zbiór W 1 w postaci sze±ciok¡ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3 Liczba obrotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 J¦zyki Arnolda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

SPIS TRECI

Rozdziaª 1

WSTP

Tematem niniejszej pracy jest analiza dyskretnego ukªadu semidynamicznego opisa-

nego równaniem (1.1). Ukªad ten jest podstawowym blokiem, sªu»¡cym do budowy

ltrów cyfrowych. Z uwagi na swoje szerokie zastosowania jego zachowanie byªo wie-

lokrotnie badane. W pracy [5] przedstawiona jest analiza ukªadu opisanego równa-

niem (1.1) z charakterystyk¡ modularn¡ (1.3) dla parametrów poªo»onych na brzegu

obszaru stabilno±ci. Wykazano, »e system tego typu jest chaotycznym ukªadem dy-

namicznym o trajektoriach wykazuj¡cych fraktaln¡ geometri¦. W pracy [6] podany

jest warunek konieczny i wystarczaj¡cy na to, aby ukªad (1.1) z charakterystyk¡ mo-

dularn¡ byª stabilny. Wykazano równie», »e przy charakterystyce nasyceniowej (1.2)

stabilno±¢ ukªadu pokrywa si¦ ze stabilno±ci¡ ukªadu liniowego.

W niniejszej pracy przeprowadzono analiz¦ zachowania ukªadu (1.1), (1.2) poza

obszarem stabilno±ci. Niektóre rezultaty byªy uprzednio opublikowane w pracach [7]{

[10].

Rozwa»any ukªad posiada dwa parametry a i b, od warto±ci których zale»y jego za-

chowanie. W rozdziale 2 przeprowadzona zostaªa peªna analiza ukªadu liniowego (2.1)

skojarzonego z rozwa»anym ukªadem nieliniowym. Sklasykowane zostaªy trajektorie

ukªadu dla ró»nych warto±ci parametrów a i b. W rozdziale 3 wprowadzono metod¦

analizy rozwa»anego ukªadu za pomoc¡ sekwencji symboli. W rozdziale 3.1 udowod-

niono twierdzenie 3.1 pozwalaj¡ce u»ywaj¡c analizy symbolicznej na wyznaczanie

orbit okresowych o danym okresie. W rozdziale 3.2 podano twierdzenia sªu»¡ce do

badania stabilno±ci orbit okresowych. W rozdziaªach 3.3{3.6 na podstawie twierdze-

nia 3.1 wyznaczono wszystkie orbity okresowe o okresach 1{4 dla dowolnych warto±ci

parametrów a i b. Ich stabilno±¢ rozstrzygni¦to na podstawie twierdze« 3.2 i 3.3.

W rozdziale 4 przedstawiono wyniki analizy dynamiki ukªadu dla ró»nych para-

metrów. Dla (a,b) nale»¡cych do T 1 , T 2 , P 1 , P 2 , Q 4 (rys. 2.3) przeprowadzono peªn¡

klasykacj¦ zbiorów granicznych trajektorii. Dla (a;b) nale»¡cych do Q 1 i Q 2 wyzna-

czono zbiory graniczne trajektorii dla jbj 1. Dla jbj < 1 wykonano eksperymenty

potwierdzaj¡ce przypuszczenie, »e w tym przypadku charakteryzacja jest taka jak dla

jbj 1.

Rozdziaª 5 zostaª po±wi¦cony analizie ukªadu dla parametrów nale»¡cych do Q 3 .

ROZDZIA 1. WSTP

f(x)

Rysunek 1.1: Charakterystyka nasyceniowa

Udowodniono twierdzenie o istnieniu zbioru niezmienniczego w postaci brzegu abso-

lutnie wypukªego wielok¡ta pochªaniaj¡cego wszystkie niezerowe trajektorie ukªadu.

W celu przeprowadzenia analizy ukªadu podano uogólnienie twierdzenia o istnieniu

liczby obrotu dla homeomorzmu okr¦gu na odwzorowania okr¦gu sªabo monotonicz-

ne. Udowodniono równie» twierdzenie o zbie»nosci trajektorii takiego odwzorowania

okr¦gu dla przypadku gdy liczba obrotu jest wymierna. Na podstawie tych twierdze«

podano cz¦±ciow¡ analiz¦ dynamiki badnego ukªadu dla (a,b) nale»¡cych do Q 3 .

1.1 Sformuªowanie zagadnienia

Rozwa»any dyskretny ukªad semidynamiczny opisany jest równaniem:

x 1 [k + 1]

x 2 [k + 1]

x 2 [k]

f(b x 1 [k] + a x 2 [k])

x[k + 1] =

(1.1)

z warunkiem pocz¡tkowym x[0] = (x 1 [0];x 2 [0]) T

= I 2

fx = (x 1 ;x 2 ) T

x 1 ;x 2 2 [1; 1]g, gdzie f jest charakterystyk¡ nasyceniow¡:

f(x) =

2 (jx + 1j jx 1j):

(1.2)

Cz¦sto stosuje si¦ charakterystyk¦ modularn¡:

h(x) = (x + 1) mod 2 1:

(1.3)

Wprowad¹my oznaczenia:

g(x) = g((x 1 ;x 2 ) T ) := b x 1 + a x 2 ;

F(x) = F((x 1 ;x 2 ) T ) := (x 2 ;f(bx 1 + ax 2 )) T ;

0 1

b a

G(x) = G((x 1 ;x 2 ) T ) := (x 2 ;bx 1 + ax 2 ) T

x =: Ax

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: