PAcw2.pdf

Modelowanie uk“ad ó w dynamicznych

PRZYK Š AD 1 - Zbiornik

² Na rys. 1 pokazany jest schemat zbiornika przep“ywo-

wego.

Rysunek 1: Schemat zbiornika przep“ywowego.

² Zak“ada siƒ, i»:

do zbiornika wp“ywa i wyp“ywa ze« nie–ci–liwa ciecz,

przekr ó j poprzeczny zbiornika ma powierzchniƒ S ,

–ciany zbiornika s¡ sztywne.

² Wyznacz zale»no–¢ pomiƒdzy

ci–nieniem p ( t )a natƒ»eniami objƒto–ciowych prze-

p“yw ó w - wej–ciowego q 1 ( t )oraz wyj–ciowego q 2 ( t ).

Rozwi¡zanie

² Z warunku ci¡g“o–ci rozwa»anych strumieni wynika, »e

q 1 ( t ) ¡q 2 ( t )= S¢ dh ( t )

(1)

h ( t ) ¡ poziom cieczy w zbiorniku.

² Ci–nienie p ( t )zwi¡zane jest z poziomem cieczy nastƒpuj¡c¡

zale»no–ci¡

p ( t )= ½gh ( t ) (2)

gdzie ½ oznacza gƒsto–¢ cieczy, za– g jest przyspieszeniem

ziemskim.

² Wynika st¡d, »e

dt = ½g

S ¢ ( q 1 ( t ) ¡q 2 ( t )) (3)

co oznacza, i»

p ( t ) ¡p ( t 0 )= ½g

Z t

S ¢

( q 1 ( ¿ ) ¡q 2 ( ¿ ))d ¿: (4)

t 0

² Rozwa»any zbiornik mo»na traktowa¢ jako element ca“-

kuj¡cy.

² Wielko–¢ C = S ½g to pojemno–¢ hydrauliczna.

dp ( t )

PRZYK Š AD 2 (Wymiana ciep“a)

² Rozpatrzmy prosty zlinearyzowany model proces ó w

wymiany ciep“a, (opis przybli»ony - sta“e skupione).

² Za“ ó »my zatem (rys. 2),

i» w komorze termicznej znajduje siƒ „r ó d“o strumienia ener-

gii cieplnej o warto–ci q ( t ).

² Niech

T 1 ( t ) temperatura panuj¡ca w komorze,

T 2 ( t ) temperatura –cian komory,

T 3 ( t ) temperatura otoczenia.

Rysunek 2: Schematyczne przedstawienie komory termicznej

² Strumie« energii cieplnej przep“ywaj¡cej miƒdzy wnƒtrzem

komory a jej –cianami:

q 1 ( t )= T 1 ( t ) ¡T 2 ( t )

(5)

gdzie przez R 1 oznaczono odpowiedni¡ rezystancjƒ ciepln¡.

R 1

² Bilans energetyczny dla wnƒtrza komory ma posta¢

r ó wno–ci:

C 1 dT 1 ( t )

dt = q ( t ) ¡ T 1 ( t ) ¡T 2 ( t )

R 1

(6)

gdzie C 1 oznacza pojemno–¢ ciepln¡ komory.

² Model procesu wymiany ciep“a miƒdzy –cianami ko-

mory a otoczeniem:

q 2 ( t )= T 2 ( t ) ¡T 3 ( t )

R 2

(7)

dt = T 1 ( t ) ¡T 2 ( t )

R 1 ¡ T 2 ( t ) ¡T 3 ( t )

R 2

(8)

gdzie

R 2 oznacza odpowiedni¡ rezystancjƒ ciepln¡,

C 2 jest pojemno–ci¡ ciepln¡ –cian komory.

² Zak“adaj¡c sta“e warto–ci parametr ó w R 1 i R 2 oraz

C 1 i C 2 , wyznacz transmitancje operatorowe, opisuj¡ce:

wp“yw wielko–ci dostarczanego strumienia energii cieplnej

oraz wp“yw temperatury otoczenia na temperaturƒ w ko-

morze.

Rozwi¡zanie

² Z bilansu energetycznego dla wnƒtrza komory wynika

nastƒpuj¡ca operatorowa relacja:

1+ R 1 C 1 s ¢Q ( s )+ 1

1+ R 1 C 1 s ¢T 2 ( s ) (9)

C 2 dT 2 ( t )

T 1 ( s )= R 1

za– z bilansu energetycznego dla –cian komory otrzymu-

jemy

T 2 ( s )= 1

1+ R 1 / R 2 + R 1 C 2 s ¢T 1 ( s ) (10)

+ R 1 / R 2

1+ R 1 / R 2 + R 1 C 2 s ¢T 3 ( s ) :

² Na tej podstawie uzyskujemy poszukiwan¡ zale»no–¢

T 1 ( s )= G q ( s ) ¢Q ( s )+ G T 3 ( s ) ¢T 3 ( s ) (11)

przy czym transmitancje G q ( s )oraz G T 3 ( s )zde niowane s¡

w spos ó b nastƒpuj¡cy:

Q ( s ) = R 1 + R 2 + R 1 R 2 C 2 s

1+( R 1 C 1 + R 2 C 1 + R 2 C 2 ) s + R 1 C 1 R 2 C 2 s 2

(12)

T 3 ( s ) = 1

1+( R 1 C 1 + R 2 C 1 + R 2 C 2 ) s + R 1 C 1 R 2 C 2 s 2 :

(13)

G q ( s )= T 1 ( s )

G T 3 ( s )= T 1 ( s )

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: