Mechanika ciała sztywnego.pdf

R o z d z i a ł 4

MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO

4.1. Bryła sztywna

W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy wszystkie otaczające nas ciała jako

punkty materialne lub zbiory punktów materialnych. Jest to oczywiście uproszczenie, które w

dalszych wykładach zastąpimy modelem ciała rozciągłego. W modelu tym ciało rozpatrujemy

jako układ punków materialnych. Rozważane ciało dzielimy w myśli na elementy tak małe, że

można każdy z nich traktować jako punkt materialny.

Ciała rzeczywiste występują w bardzo różnych postaciach. W tym rozdziale zajmiemy

się najprostszym przykładem ciał rozciągłych, a mianowicie bryłami sztywnymi.

Bryłą sztywną będziemy nazywali takie ciało, w którym wszystkie punkty mają

względem siebie stałe odległości, które nie zmieniają się pod wpływem sił zewnętrznych

działających na ciało.

Rys.4.1. Bryła sztywna

Warunek ten możemy zapisać następująco

−

(

,...,

)

(4.1)

gdzie

r G

są to wektory wodzące i-tego i j-tego punktu w obranym układzie odniesienia,

natomiast r ij jest stałą liczbą wyrażającą odległość między tymi punktami.

Ciało sztywne nie podlega żadnym odkształceniom pod wpływem działających sił, tzn. w

bryle sztywnej odległości dwóch dowolnych punktów pozostają zawsze stałe, pomimo

działania na to ciało różnych sił.

4.2. Rodzaje ruchów bryły sztywnej

Odróżniamy dwa rodzaje ruchu bryły sztywnej: ruch postępowy i ruch obrotowy.

Ruchem postępowym ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym dowolna prosta

przeprowadzona przez to ciało przesuwa się równolegle do samej siebie (wektory prędkości

wszystkich punktów ciała są w danej chwili jednakowe).

Ciało porusza się ruchem obrotowym, jeżeli wszystkie punkty ciała poruszają się po

okręgach, których środki leżą na jednej prostej. Prostą tą nazywamy chwilową osią obrotu. Oś

obrotu może mieć stałe położenie; mówimy wtedy o stałej osi obrotu.

Rys.4.2. Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej

4.3. Moment siły

Aby spowodować ruch obrotowy bryły sztywnej niezbędna jest siła, podobnie jak w

ruchu postępowym. Z doświadczenia wiemy jednak, że nie każda siła może wywołać ruch

obrotowy. Aby wprawić na przykład w ruch koło, ustawionego do góry kołami roweru, trzeba

podziałać na nie siłą styczną do opony. Aby zatrzymać koło, działamy siłą styczną o

przeciwnym zwrocie. Siła działająca prostopadle, tzn. w kierunku osi, nie spowoduje zmian w

ruchu koła. Przykładając siłę nie do opony koła, a do łańcucha, możemy także wprawić koło

w obrót, ale stwierdzimy, że wtedy przyspieszenie będzie mniejsze. Przykład ten wykazuje,

że w ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość siły, ale także jej kierunek i punkt

przyłożenia. Wielkość wywołująca ruch obrotowy nazywamy momentem siły, który

definiujemy następująco:

Momentem siły M względem punktu 0 (osi obrotu) nazywamy iloczyn wektorowy wektora

wodzącego r G (początek r G leży w punkcie 0) i F G .

Zatem

G =

(4.2)

Moment siły nazywany też bywa momentem obrotowym. Zgodnie z definicją iloczynu

wektorowego wartość bezwzględna momentu siły wynosi

sin

⊥

⋅

(4.3)

Rys.4.3. Moment siły G

Odległość prostej działania siły F G od osi obrotu 0, oznaczona na rys.4.3 symbolem r ,

nazywa się ramieniem siły. Moment siły jest wektorem, skierowanym wzdłuż osi obrotu;

wektor prostopadły do płaszczyzny rysunku oznacza się umownie znakiem ⊙ , jeżeli wektor

ten jest zwrócony do patrzącego na rysunek, a znakiem ⊗ , jeżeli wektor ten jest zwrócony za

płaszczyznę rysunku (na rys.4.3b moment siły jest zwrócony za płaszczyznę rysunku).

Jednostką momentu siły jest niutonometr [N⋅m].

4.4. Moment bezwładności

W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę odgrywa sposób rozmieszczenia masy

bryły wokół osi obrotu. Wielkością charakteryzującą tę własność bryły jest moment

bezwładności.

Rozważmy bryłę sztywną będącą zbiorem punktów materialnych

...

których odległości od osi obrotu wynoszą odpowiednio

...

Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas

poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi, a więc

∑

i r

(4.4)

W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy, dzielimy ją w myśli na nieskończenie

małe części i sumowanie we wzorze (4.4) zastępujemy całkowaniem. Otrzymujemy wtedy

∫ = dm

(4.5)

Wyniki obliczeń momentów bezwładności różnych brył względem ich osi symetrii są

zestawione w tabl. 4.1. Jak widać z tej tablicy, moment bezwładności ciał o tej samej masie i

tym samym promieniu zależy od ich kształtu.

Moment bezwładności dowolnego ciała można wyrazić w postaci wzoru

I = (4.6)

w którym k jest ramieniem bezwładności. Ramię bezwładności możemy obliczyć, korzystając

z momentów bezwładnościowych zestawionych w tabl. 4.1.

Jednostką momentu bezwładności jest [ ]

k1 ⋅ .

Tabela 4.1 Momenty bezwładności względem pewnych osi dla kilku ciał o prostych

własnościach geometrycznych

4.5. Twierdzenie Steinera

Zastanówmy się obecnie, czy istnieje jakiś związek pomiędzy momentem

bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, a momentem

bezwładności względem dowolnej innej osi równoległej do tamtej.

Na rys.4.4. oznaczamy przez S punkt przecięcia płaszczyzną rysunku osi prostopadłej

do tej płaszczyzny i przechodzącej przez środek masy ciała; przez 0 punkt przecięcia osi

równoległej do tamtej i znajdującej się w odległości h od niej. Oznaczmy dalej przez

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: