AlgebraSD2008-2009.pdf

(1213 KB) Pobierz
677382304 UNPDF
Algebra
Wykłady dla Studiów Doktoranckich
2008–2009
Kazimierz Szymiczek
18.06.2009
Spis tre±ci
Przedmowa
v
1 Grupy 1
1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Definicja i przykłady grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Podgrupy i warstwy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Podgrupy normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Homomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Automorfizmy wewn¦trzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Twierdzenie Jordana-Holdera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Działanie grupy na zbiorze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Działanie grupy przez automorfizmy wewn¦trzne . . . . . . . . 14
1.2.2 Zastosowania w teorii grup sko«czonych . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Iloczyn prosty i półprosty grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Iloczyny wewn¦trzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Iloczyny zewn¦trzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Iloczyn prosty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Iloczyn półprosty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Holomorf grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Grupy wolne i kody genetyczne grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Monoidy wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Grupy wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.3 Własno±¢ uniwersalna grupy wolnej . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.4 Kod genetyczny grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Pier±cienie 33
2.1 Podstawowe poj¦cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Homomorfizmy i ideały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Ideały w pier±cieniach przemiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Ideały pierwsze i maksymalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Rozszerzenie i zw¦»enie ideału . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3 Twierdzenie chi«skie o resztach . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.4 Elementy nilpotentne i dzielniki zera . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Pier±cienie ułamków i lokalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 Konstrukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2 Własno±¢ uniwersalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
i
ii
SPIS TRECI
2.4.3 Ideały pier±cienia ułamków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Moduły 55
3.1 Definicje i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 Operacje na modułach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Homomorfizmy modułów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Rozszczepialne ci¡gi dokładne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Moduły wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Moduły projektywne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1 Bazy dualne modułów projektywnych . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.2 Moduły projektywne nad pier±cieniami lokalnymi . . . . . . . 75
3.5 Bimoduły i reprezentacje pier±cieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6 Iloczyn tensorowy modułów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.1 Rozszerzenie pier±cienia skalarów . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Moduły nad pier±cieniami ideałów głównych 85
4.1 Moduły torsyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Moduły sko«czenie generowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3 Grupy abelowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.1 Grupy abelowe wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Grupa abelowa wolna jako składnik prosty grupy abelowej . . 94
Generatory i relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2 Sko«czenie generowane grupy abelowe . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.3 Sko«czenie generowane beztorsyjne grupy abelowe . . . . . . . 98
4.3.4 Sko«czenie generowane mieszane grupy abelowe . . . . . . . . 98
4.3.5 Torsyjne grupy abelowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.6 Sko«czone grupy abelowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Kategorie 103
5.1 Obiekty i morfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.1 Monomorfizmy i epimorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2 Iloczyny obiektów kategorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Sumy obiektów kategorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4 Funktory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.1 Transformacja naturalna funktorów . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.2 Naturalna równowa»no±¢ funktorów . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4.3 Funktory sprz¦»one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 Funktor K 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.1 Grupa Grothendiecka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5.2 Funktor K 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.5.3 K − teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Pier±cienie noetherowskie 133
6.1 Moduły i pier±cienie noetherowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.1 Moduły noetherowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.1.2 Pier±cienie noetherowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.1.3 Moduły i pier±cienie artinowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
SPIS TRECI
iii
6.2 Rozkład prymarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.1 Ideały prymarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.2 Radykał ideału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2.3 Nota bibliograficzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3 Pier±cienie Dedekinda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3.1 Wymiar pier±cienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3.2 Elementy całkowite nad pier±cieniem . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3.3 Pier±cienie Dedekinda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.4 Inna charakteryzacja pier±cieni Dedekinda . . . . . . . . . . . 154
6.4 Pier±cienie liczb algebraicznych całkowitych . . . . . . . . . . . . . . 155
7 Afiniczne rozmaito±ci algebraiczne 161
7.1 Zbiory algebraiczne i ich ideały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2 Topologia Zariskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3 Rozmaito±ci algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4 Twierdzenie Hilberta o zerach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.5 Zastosowania twierdzenia Hilberta o zerach . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.5.1 Rozkład prymarny ideałów i rozkład zbioru algebraicznego na
sum¦ rozmaito±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.5.2 Ideały maksymalne pier±cienia wielomianów . . . . . . . . . . 175
7.5.3 Ideały radykalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.6 Ciało funkcji wymiernych na rozmaito±ci . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.6.1 Pier±cie« funkcji wielomianowych na zbiorze algebraicznym . . 180
7.6.2 Kategoria afinicznych zbiorów algebraicznych . . . . . . . . . . 184
7.6.3 Zbiory algebraiczne okre±lone nad podciałem . . . . . . . . . . 185
7.6.4 Punkty K − wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.6.5 Ciało funkcji wymiernych na rozmaito±ci . . . . . . . . . . . . 186
7.6.6 Wymiar rozmaito±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.6.7 Nieosobliwo±¢ rozmaito±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8 Algebra endomorfizmów 191
8.1 K − algebry: definicje i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2 Algebry z dzieleniem i algebry proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3 Centralno±¢ i prostota algebry endomorfizmów . . . . . . . . . . . . . 199
8.4 Wielomian minimalny endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.5 Endomorfizmy odwracalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.6 Rz¡d endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.7 Podobie«stwo endomorfizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9 Algebra liniowa:
Triangularyzacja i diagonalizacja 213
9.1 Warto±ci własne endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.2 Endomorfizmy diagonalizowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.3 Posta¢ kanoniczna trójk¡tna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.4 Diagonalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
iv
SPIS TRECI
10 Algebra liniowa: Postacie kanoniczne 227
10.1 Struktura K [ X ] − modułu V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.1.1 Rozkład prymarny modułu V . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.1.2 Rozkład modułu V na sum¦ prost¡ podmodułów cyklicznych 232
10.2 Endomorfizmy nilpotentne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.2.1 Posta¢ kanoniczna Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.2.2 Jednoznaczno±¢ postaci kanonicznej Jordana . . . . . . . . . . 237
10.3 Posta¢ kanoniczna Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.3.1 Posta¢ kanoniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.3.2 Jednoznaczno±¢ postaci kanonicznej . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.4 Wielomian charakterystyczny, wyznacznik, ±lad . . . . . . . . . . . . 245
10.4.1 Wielomian charakterystyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.4.2 Wyznacznik endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.4.3 Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.4.4 lad endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.5 Posta¢ kanoniczna Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.5.1 Podprzestrzenie cykliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.5.2 Posta¢ kanoniczna wymierna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.5.3 Jednoznaczno±¢ postaci kanonicznej . . . . . . . . . . . . . . . 254
10.6 Rozmaito±ci o endomorfizmach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.6.1 Podobie«stwo przy zw¦»aniu ciała . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.6.2 Charakteryzacja endomorfizmów nilpotentnych . . . . . . . . . 256
10.6.3 Transponowanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin