04 - funkcja_trygonom.pdf

(86 KB) Pobierz
404244065 UNPDF
1Funkcjetrygonometryczne.
Przygotowala Izabela Wardach 1
Definicje i wlasnosci funkcji trygonometrycznych
XOP, ktorego miara
jest. PunktP(x,y) lezy na koncu promienia wodzcegor. Funkcje trygonometryczne
kata (miary kata) okreslamy mastepujaco:
sin= y r ,
cos= x r ,
tg= y x ,
ctg= x y
Miara kata stopniowa -= [ o ] lub lukowa -= [1rad] przy czym:
[rad] = [ o ]
180 o
Pod nazwa funkcje trygonometryczne rozumiemy funkcje trygonometryczne zmiennej
rzeczywistej, tj. funkcje miary lukowej kata. Funkcje sinxi cosxokreslone na przedziale
(−1,+1) sa ograniczone tj.:
|sinx|1 cosx1.
Funkjatgxjest okreslona na zbiorze:
R− 2 +k , k2C
Funkjactgxjest okreslona na zbiorze:
R−{k}, k2C
1 napodstawie:
1.W.Leksi´nski,B.Macukow,W. ˙ Zakowski Matematyka dla maturzystow - definicje, twierdzenia, wzory,
przyklady,WNT,Warszawa1994.
2.W. ˙ ZakowskiMatematyka dla kandydatow na wyzsze uczelnie - algebra i analiza matematyczna,WNT,
Warszawa1994.
1
Niech b{cdzie dany na plaszczyznieXOYdowolny kat skierowany ~
404244065.040.png
Wybrane wartosci funkcji trygonomertycznych:
x sinx cosxtgxctgx
0
0
1
0 −
6
1
2
p
3
p
3
p 3
2
3
4
p 2
2
2 1
1
3
p 3
2
1
2
p
3
p 3
3
2 1
0 − 0
0 −1
0 −
2 −1
0 − 0
2 0
1
0 −
Funkcje trygonometryczne sa okresowe. Okresem podstawowym funkcji sinxi cosxjest 2:
sin (x+ 2k) = sinx, cos (x+ 2k) = cosx,
zas funkcji tanxictgxliczba:
tg(x+k) =tgx, ctg(x+k) = ctg(x), k2C.
Funkcja cos(x) jest parzysta:
cos(−x) = cos(x),
zas pozostale sa nieparzyste:
sin(−x) =−sin(x), tg(−x) =−tgx, ctg(−x) =−ctgx.
Podstawowe zwiazki trygonometryczne:
sin 2 x+ cos 2 x= 1, tgx= sinx
cosx , ctgx= cosx
sinx .
Znaki funkcji trygonomertycznych przybierane w odpowiednich przedzialach:
OXY sinx cosxtgxctgx
I´cw. + + + +
II´cw. + −−−
III´cw.−− + +
IV´cw. − + −−
Wzory redukcyjne:
Uwaga: przy redukcjach katow bierzemy pod uwage polozenie kata w ukladzie wspolrzednych
2
p 2
3
404244065.041.png 404244065.042.png 404244065.043.png 404244065.001.png 404244065.002.png 404244065.003.png
oraz wielokrotnosc kata 2 . Przy nieparzystej wielokrotnosci funkcja przechodzi w kofunkcje:
sin 2 +x = cosx cos 2 +x =−sinx
sin 2 −x = cosx cos 2 −x = sinx
sin (+x) =−sinx cos (+x) =−cosx
sin (−x) = sinx cos (−x) =−cosx
sin 3 2 +x =−cosx cos 3 2 +x = sinx
sin 3 2 −x =−cosx cos 3 2 −x =−sinx
sin (2+x) = sinx cos (2+x) = cosx
sin (2−x) = sin(−x) =−sinx cos (2−x) = cos(−x) = cosx
tg 2 +x =-ctgx
ctg 2 +x =-tgx
tg 2 −x =ctgx
ctg 2 −x =tgx
tg(+x) =tgx
ctg(+x) =ctgx
tg(−x) =-tgx
ctg(−x) =-ctgx
tg 3 2 +x =-ctgx
ctg 3 2 +x =-tgx
tg 3 2 −x =ctgx
ctg 3 2 −x =tgx
tg(2+x) =tgx
ctg(2+x) =ctgx
tg(2−x) =tg(-x)=-tgx
ctg(2−x) =ctg(-x)=-ctgx
Funkcje trygonometryczne sumy dwoch zmiennych:
sin (x+y) = sinxcosy+ cosxsiny. (1)
Podstawiajac we wzorze (1)y= 2 +zotrzymamy:
cos (x+z) = cosxcosz−sinxsinz. (2)
Dzielac (1) przez (2) otrzymamy:
tg(x+y) = tgx+tgy
1−tgx·tgy ,
a (2) przez (1) otrzymamy:
ctg(x+y) = ctgx·ctgy−1
ctgx+ctgy ,
3
404244065.004.png 404244065.005.png 404244065.006.png 404244065.007.png 404244065.008.png 404244065.009.png 404244065.010.png 404244065.011.png 404244065.012.png 404244065.013.png 404244065.014.png 404244065.015.png 404244065.016.png 404244065.017.png 404244065.018.png 404244065.019.png 404244065.020.png 404244065.021.png 404244065.022.png 404244065.023.png 404244065.024.png 404244065.025.png 404244065.026.png 404244065.027.png 404244065.028.png 404244065.029.png 404244065.030.png 404244065.031.png 404244065.032.png 404244065.033.png 404244065.034.png 404244065.035.png 404244065.036.png 404244065.037.png
Funkcje trygonometryczne roznicy dwoch zmiennych:
Podstawiajac we wzorach (1) i (2)y=−zotrzymamy:
sin (x−z) = sinxcosz−cosxsinz,
cos (x−z) = cosxcosz+ sinxsinz.
Dzielac odpowiednie wyrazenia przez siebie otrzymamy:
tg(x−z) = tgx−tgz
1 +tgx·tgz ,
ctgy−ctgx .
Funkcje trygonometryczne wielokrotnosci kata:
ctg(x−z) = ctgx·ctgy+ 1
Podstawiajac we wzorach (1) i (2)y=xotrzymamy:
sin (2x) = 2 sinxcosx,
cos (2x) = cos 2 x−sin 2 x.
Dzielac odpowiednie wyrazenia przez siebie otrzymamy:
tg(2x) =
2tgx
1−tg 2 x ,
ctg(2x) = ctg 2 x−1
2ctgx .
Sumy i r oznice funkcji trygonometrycznych:
Dodajac stronami wzory na sin (x+y) oraz sin (x−y) otrzymamy:
sin+ sin= 2 sin +
2
cos −
2 ,
gdzie:
=x+y, =x−y.
Podobnie otrzymamy:
sin−sin= 2 cos +
2
sin −
2 ,
cos+ cos= 2 cos +
2
cos −
2 ,
cos−cos=−2 sin +
2
sin −
2 ,
tg+tg=
sin (+)
coscos ,
tg−tg=
sin (−)
coscos ,
4
404244065.038.png
sinsin ,
ctg−ctg=− sin (−)
sinsin ,
Rownania i nierownosci trygonometryczne :
r´ownanie rozwi ¸ azanie
sinx=ax 1 =x 0 + 2kx 2 =−x 0 + 2k
cosx=ax 1 =x 0 + 2kx 2 =−x 0 + 2k
tgx=a x=x 0 +k
ctgx=a x=x 0 +k
5
ctg+ctg= sin (+)
404244065.039.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin