matematyka finansowa - rozwiązania.pdf - Matematyka(1) - deCassinni

Matematyka nansowa

1.Procent,StopaProcentowa

De nicja1.1Procentemnazywamysetn¡czƒ–¢ca“o–ci.

Przyk“ad1.1Mamynainwestycji5000z“.zarobi¢ 8% ,tzn.

8% 5000=0 ; 08 5000=400 z“.

Przyk“ad1.2Cenaproduktuuleg“apodwy»ceo 25% iwynosi 250 j.p.(jednostek

pieniƒ»nych).Wyznaczy¢poprzedni¡cenƒtegoproduktu.

Ustalamyproporcje

100%

250 125%

Wtedy x = 250

125%

100%=200 j.p.

Przyk“ad1.3Cenaproduktuuleg“aobni»ceo 25% .Wyznaczycpierwotn¡cenƒ

towaru,je–licenaobecnawynosi250j.p.

100%

250

75%

Awiƒc x = 250

75%

100%=333 ; 33 j.p.

De nicja1.2Okresowastopaprocentowajesttostosunekcenypo»yczonegoka-

pita“unadanyokresdowarto–citegokapita“u.

Wpraktycenajczƒ–ciejmamydoczynieniazestopamiustalonymidlaokresuroczne-

goiwtedym ó wimyorocznejstopieprocentowej.Stosujesiƒr ó wnie»stopyp ó “roczne,

kwartalneimiesiƒczne.

Stopaprocentowazale»yodpoziomuin acji,ryzykapo»yczeniapieniƒdzyiodmar-

»y(zysku)po»yczaj¡cego.

De nicja1.3Odsetkamiuzyskanymizkwoty K 0 jednostekpieniƒ»nychzadany

okres(rok,kwarta“,miesi¡c)przyokresowejstopieprocentowejrnazywamyiloczyn

O = rK 0 .

De nicja1.4Punktemprocentowym(pp.)nazywamybezwzglƒdn¡r ó »nicƒmiƒ-

dzywielko–ciamiwyra»onymiprocentowo.

Zak“adaj¡c,»estopabezrobociawynosi 10% ,akilkalatwcze–niejwynosi“a 20%

mo»napowiedzie¢,»eobni»y“asiƒonaopo“owƒ,awiƒco 50% .Mo»nar ó wnie»po-

wiedzie¢,»eobni»y“asieo 10 pp.

Rodzajest ó pprocentowych.

De nicja1.5Nominalnastopaprocentowa( r )jesttostopapodawanaprzezbanki

lubinneinstytucje nansowe.

Obserwowanywrzeczywisto–cipoziomst ó pprocentowychzale»yodpoziomuin-

acji.Powyeliminowaniuczynnikain acjiotrzymamystopƒrealn¡.

De nicja1.6Stoparealna( r r )jesttostopanominalnapomniejszonaowp“yw

in acji.

Zachodzinastƒpuj¡cywz ó rFishera:

r = r r + r i + r r

r i lub r r = r

r i

1+ r i

gdzie r i oznaczastopƒin acji.

Przyk“ad1.4Wyznaczy¢realnastopƒprocentow¡,je»elistopanominalnabanku

wynosi 5% ,arocznastopain acji 3% .

Rozwi¡zanie. r r = 0 ; 05 0 ; 03

De nicja1.7Faktycznastopaprocentowa r f jesttostopauwzglƒdniaj¡capodatek

dochodowyodzysk ó wzinwestycjikapita“owych.

1+0 ; 03 = 0 ; 02

1 ; 03 =0 ; 0194 .

Realnastopaprocentowawynosi r r =1 ; 94% .

T ) ,gdzie T jeststop¡podatkudochodowegoodzysk ó wzinwestycji

kapita“owychiwPolsce T =19% .

Przyk“ad1.5Obliczy¢faktycznastopƒprocentow¡,je–li r =4% .

Rozwi¡zanie. r f =4%

0 ; 19)=3 ; 24% .

De nicja1.8.Oprocentowaniejesttoczynno–¢okresowapolegaj¡canadodawaniu

odsetekzposiadanegokapita“udotegokapita“u.

De nicja1.9Oprocentowanieprostepoleganatym,»eodsetkiuzyskanewokre-

sachpoprzednichniepodlegaj¡oprocentowaniuwokresienastƒpnym,s¡tylkodo-

dawanewka»dymokresiedokapita“u.

Oprocentowanieprostestosujesiƒwobliczeniachdotycz¡cychbankowychtrans-

akcjikr ó tkoterminowychorazum ó wzawieranychpozasfer¡bankow¡.

Kapita“przysz“y K p n orazkwotƒodsetek O n po n okresachnaliczaniaodsetek

obliczamyzewzor ó w:

K p n = K 0 (1+ nr ) ; O n = K 0 nr; K p n = K 0 + O n :

Gdystopyprocentowes¡zmiennewtedystosujemywz ó r:

K p n 1 + n 2 + ::: + n m = K 0

(1+ n 1

r 1 + n 2

r 2 + :::n m

r m )

Przyk“ad1.6Wbanku,wkt ó rymrocznastopaprocentowa r =4% z“o»onokwotƒ

5000 z“.Obliczy¢warto–¢kapita“upoa)roku,b)dw ó chlatach,c)p ó “roku,d)9-ciu

miesi¡cach,e)108-miudniach.

Rozwi¡zanie.

Obliczamyfaktyczn¡stopƒprocentow¡ r f =4% (1 0 ; 19)=3 ; 24% .

a) K p 1 =5000(1+1

0 ; 0324)=5162 z“.

b) K p 2 =5000(1+2 0 ; 0324)=5324 z“.

c) K p 1 = 2 =5000(1+ 1 2 0 ; 0324)=5081 z“.

d) K p 9 = 12 =5000(1+ 9 12 0 ; 0324)=5121 ; 5 z“.

Warto–ci 1 2 0 ; 0324 oraz 9 12 0 ; 0324 nosz¡nazwyst ó psr ó dokresowych(lubpod-

okresowych)odpowiedniop ó “rocznejimiesiƒcznej.

r f = r

Og ó lniestopa–r ó dokresowa i k = a

r ,gdy r jestnaog ó “roczn¡stop¡procentow¡

oraz a czƒ–ci¡roku.

e)Wpraktycebankowejprzyjmujesiƒ,»erokma360dni,aka»dymiesi¡c30dni.

K p =5000(1+ 108

360

0 ; 0324)=5048 ; 6 z“.

Przyk“ad1.7Obliczy¢stankapita“uporoku,je–liwarto–¢kapita“upocz¡tkowe-

gowynosi1000z“.przyza“o»eniu,»erocznastopaprocentowawpierwszych4-ch

miesi¡cachwynosi 12% ,wdw ó chkolejnychm-cach 10% ,aw6-ciunastƒpnych 9% .

Rozwi¡zanie.Obliczamyfaktycznestopyprocentowe.

r 1 =12% 0 ; 81=9 ; 72% r 2 =10% 0 ; 81=8 ; 1% r 3 =9% 0 ; 81=7 ; 29%

Poszczeg ó lne–r ó dokresys¡r ó wne n 1 = 4 12 ;n 2 = 2 12 ;n 3 = 6 12 :

Zatem

K p =1000(1+ 1

0 ; 0972+ 1

0 ; 081+ 6

0 ; 0729)=1082 ; 35 z“

De nicja1.10Przeciƒtn¡stop¡procentow¡( r )wokresie n = n 1 + n 2 + ::: + n m

nazywamytak¡roczn¡stopƒprocentow¡,przykt ó rejdowolnykapita“pocz¡tkowy

osi¡gniepookresientak¡sam¡warto–¢przysz“¡,kt ó r¡osi¡gaprzyzr ó »nicowanych

stopachprocentowych r 1 ;r 2 ;:::;r m ,tzn.musiby¢spe“nioneponi»szer ó wnanie

K 0 (1+ rn )= K 0 (1+ n 1 r 1 + n 2 r 2 + ::: + n m r m )

Przeciƒtnastopaprocentowa

r = 1

∑

n j r j = n 1 r 1 + n 2 r 2 + ::: + n m r m

n 1 + n 2 + ::: + n m

j =1

Przyk“ad1.8Napodstawiedanychzpoprzedniegoprzyk“aduobliczy¢ r .

Rozwi¡zanie.

r =

0 : 12+ 1 6

0 ; 10+ 1 2

0 ; 09

=0 ; 1017

3 + 1 6 + 1 2

Awiƒc r =10 ; 17% .

De nicja1.11Dyskontowanieprostejesttoobliczaniewarto–cikapita“upocz¡t-

kowego K 0 napodstawiewarto–cikapita“uko«cowego K n .Stosujemywz ó r

K 0 = K p n

1+ nr

Dyskontemprostymnazywamyr ó »nicƒ D = K n K 0 .

Przyk“ad1.9Za30dnimamyotrzyma¢zap“atƒzadostarczonetowarywwyso-

ko–ci2000z“.Obliczy¢bie»¡c¡warto–¢tejkwotyprzyza“o»eniunominalnejstopy

procentowej r =32% .

360 0 ; 32 =1948 ; 05 z“.

De nicja1.12Dyskontemhandlowymnazywamyop“atƒpobieran¡zg ó ryzaprawo

korzystaniazcudzegokapita“unaliczan¡wstosunkudokapita“uko«cowego.

Stosunekdyskontahandlowegodokwotynale»nejwierzycielowipoup“ywieroku

nazywamyroczn¡stop¡dyskontow¡ioznaczamyprzez d .

Warto–¢dyskontahandlowegozaczasnjestokre–lonawzorem

D H = K n

Kwotakapita“u,kt ó r¡d“u»nikotrzymuje"dorƒki"stanowiwarto–¢zdyskontowan¡:

K 0 = K n

D H = K n (1

dn )

Przyk“ad1.13Bior¡c K n i K 0 zprzyk“adupoprzedniegoobliczmystopƒdyskon-

tow¡ d .

Rozwi¡zanie.Najpierwobliczamydyskontohandlowe

D H = K n

K 0 =2000

1948 ; 05=51 ; 95 :

d = D H

K n n = 51 ; 95

2000

360

=0 ; 3117

Stopadyskontowawynosi 31 ; 17% ,awiƒcjestni»sza(wtymprzypadku)odstopy

procentowej.

Rozwi¡zanie. K 0 = 2000

1+ 30

matematyka finansowa - rozwiązania.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: