11.5 - Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych.pdf

(75 KB) Pobierz
6859951 UNPDF
1
Wydział:WILi,Budownictwo,sem.2
drJolantaDymkowska
Ró»niczkan-tegorz¦dufunkcjidwóchzmiennych
Definicja Niechfunkcja f mawotoczeniupunktu( x 0 ,y 0 )pochodnecz¡stkowedorz¦dun
wł¡cznie. Ró»niczk¡n-tegorz¦dufunkcjifwpunkcie ( x 0 ,y 0 )nazywamyfunkcj¦ d n f ( x 0 ,y 0 )
zmiennych x i y okre±lon¡wzorem:
@x x + @
! n
( x 0 ,y 0 )
d n f ( x 0 ,y 0 )( x, y )=
@y y
f
Wewzorzetymsymbole @ @x i @ @y oznaczaj¡odpowiedniooperacjeró»niczkowaniapozmiennych
x i y ,natomiastpot¦g¦traktujemyformalniedootrzymaniapochodnychcz¡stkowychwy»szych
rz¦dów.
Ró»niczk¡n-tegorz¦dufunkcji f oznaczamykrótko d n f .
Wszczególno±ciró»niczkarz¦dunmaposta¢:
• n =1,to
df ( x 0 ,y 0 )( x, y )= @f
@x ( x 0 ,y 0 ) x + @f
@y ( x 0 ,y 0 ) y
• n =2,to
d 2 f ( x 0 ,y 0 )( x, y )= @ 2 f
@x 2 ( x 0 ,y 0 )( x ) 2 +2 @ 2 f
@x@y ( x 0 ,y 0 ) x y + @ 2 f
@y 2 ( x 0 ,y 0 )( y ) 2
• n =3,to
d 3 f ( x 0 ,y 0 )( x, y )= @ 3 f
@x 3 ( x 0 ,y 0 )( x ) 3 +3 @ 3 f
@x 2 @y ( x 0 ,y 0 )( x ) 2 y +
+3 @ 3 f
@x@y 2 ( x 0 ,y 0 ) x ( y ) 2 + @ 3 f
@y 3 ( x 0 ,y 0 )( y ) 3
WzórTayloradlafunkcjidwóchzmiennych
TwierdzenieNiechfunkcja f mawotoczeniupunktu( x 0 ,y 0 )pochodnecz¡stkowedorz¦du
nwł¡cznieorazniech( x,y )b¦dziedowolnympunktemztegootoczenia.Wówczasnaodcinku
ł¡cz¡cympunkty( x 0 ,y 0 )i( x,y )istniejepunkt( x c ,y c )taki,»e
f ( x,y )= f ( x 0 ,y 0 )+ 1
1! df ( x 0 ,y 0 )( x − x 0 ,y − y 0 )+ 1
2! d 2 f ( x 0 ,y 0 )( x − x 0 ,y − y 0 )+
+ ... + 1
( n − 1)! d n − 1 f ( x 0 ,y 0 )( x − x 0 ,y − y 0 )+ 1
n ! d n f ( x c ,y c )( x − x 0 ,y − y 0 )
@
6859951.003.png 6859951.004.png 6859951.005.png 6859951.006.png
2
Równo±¢powy»sz¡nazywamywzoremTayloradlafunkcjidwóchzmiennych.Ostatnikskładnikw
tymwzorzenazywamyn-t¡reszt¡ioznaczamy R n .
Je»elipunkt( x 0 ,y 0 )=(0 , 0)towzórTayloranazywamywzoremMaclaurina.
Przykład Napisa¢wzórTaylorazreszt¡ R 2 dlafunkcji f ( x,y )= x 2 y wotoczeniupunktu
( − 1 , 1).
Rozwi¡zanie WzórTaylorawotoczeniupunktu( − 1 , 1)zreszt¡ R 2 maposta¢:
f ( x,y )= f ( − 1 , 1)+ 1
1! df ( − 1 , 1)( x +1 ,y − 1)+ 1
2! d 2 f ( x c ,y c )( x +1 ,y − 1)
gdziepunkt( x c ,y c )jestpunktemodcinkał¡cz¡cegopunkty( − 1 , 1)i( x,y ).
Obliczamywi¦ckolejno:
• f ( − 1 , 1)=1
• f x ( x,y )=2 xy f x ( − 1 , 1)= − 2
f y ( x,y )= x 2 f y ( − 1 , 1)=1
• df ( − 1 , 1)( x +1 ,y − 1)= − 2( x +1)+( y − 1)
• f xx ( x,y )=2 y f xy ( x,y )=2 x
f yx ( x,y )=2 x f yy ( x,y )=0
• d 2 f ( x c ,y c )( x +1 ,y − 1)=2 y c ( x +1) 2 +4 x c ( x +1)( y − 1)
ZatemwzórTaylorazreszt¡ R 2 dlafunkcji f ( x,y )= x 2 y wotoczeniupunktu( − 1 , 1)przyjmie
posta¢:
x 2 y =1 − 2( x +1)+( y − 1)+ y c ( x +1) 2 +2 x c ( x +1)( y − 1) .
Przykład Napisa¢wzórMaclaurinazreszt¡ R 3 dlafunkcji f ( x,y )= e x +2 y .
Rozwi¡zanie WzórMaclaurinazreszt¡ R 3 maposta¢:
3! d 3 f ( x c ,y c )( x,y )
gdziepunkt( x c ,y c )jestpunktemodcinkał¡cz¡cegopunkty(0 , 0)i( x,y ).
Obliczamywi¦ckolejno:
f ( x,y )= f (0 , 0)+ 1
1! df (0 , 0)( x,y )+ 1
2! d 2 f (0 , 0)( x,y )+ 1
• f (0 , 0)= e 0 =1
• f x ( x,y )= e x +2 y f x (0 , 0)= e 0 =1
f y ( x,y )=2 e x +2 y f y (0 , 0)=2 e 0 =2
• df (0 , 0)( x,y )= x +2 y
•
f xx ( x,y )= e x +2 y f xx (0 , 0)= e 0 =1
f xy ( x,y )=2 e x +2 y f xy (0 , 0)=2 e 0 =2
f yx ( x,y )=2 e x +2 y f yx (0 , 0)=2 e 0 =2
f yy ( x,y )=4 e x +2 y f yy (0 , 0)=4 e 0 =4
• d 2 f (0 , 0)( x,y )= x 2 +4 xy +4 y 2
6859951.001.png 6859951.002.png
3
•
f xxx ( x,y )= e x +2 y f xxy ( x,y )=2 e x +2 y
f xyx ( x,y )=2 e x +2 y f xyy ( x,y )=4 e x +2 y
f yxx ( x,y )=2 e x +2 y f yxy ( x,y )=4 e x +2 y
f yyx ( x,y )=4 e x +2 y f yyy ( x,y )=8 e x +2 y
• d 3 f ( x c ,y c )( x,y )= e x c +2 y c x 3 +6 e x c +2 y c x 2 y +12 e x c +2 y c xy 2 +8 e x c +2 y c y 3
ZatemwzórMaclaurinazreszt¡ R 3 dlafunkcji f ( x,y )= e x +2 y przyjmieposta¢:
e x +2 y =1+ x +2 y + 1
2 x 2 +2 xy +2 y 2 + 1
6 e x c +2 y c x 3 + e x c +2 y c x 2 y +2 e x c +2 y c xy 2 + 4
3 e x c +2 y c y 3 .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin