09.6 - Powierzchnie stopnia drugiego.pdf
(
61 KB
)
Pobierz
6860327 UNPDF
1
Wydział:WILi,BudownictwoiTransport,sem.2
drJolantaDymkowska
Powierzchniestopniadrugiego
Definicja
Powierzchni¡stopniadrugiego
nazywamyzbiórpunktówprzestrzenitrójwymiarowej,
którespełniaj¡równanie:
Ax
2
+
By
2
+
Cz
2
+
Dxy
+
Exz
+
Fyz
+
Gx
+
Hy
+
Iz
+
K
=0
,
gdzie
A,B,...,K
s¡stałymi.Ponadtoprzynajmniejjednazestałych
A,B,C,D,E,F
musi
by¢róznaodzera.Jesttoogólnerównaniepowierzchnistopniadrugiego.
Przykład
Równanie
x
2
+
y
2
+
z
2
=1opisujesfer¦o±rodkuwpunkcie
O
(0
,
0
,
0)i
promieniu1.Równanie
x
2
+
y
2
+
z
2
+2
x
−
6
z
+6=0opisujesfer¦o±rodkuwpunkcie
S
(
−
1
,
0
,
3)ipromieniu2.
TwierdzenieKa»d¡powierzchni¦stopniadrugiegomo»natakobróci¢iprzesun¡¢,aby
miałaonajednoznast¦puj¡cychrówna«:
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1 -elipsoida
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=1 -hiperboloidajednopowłokowa
a
2
−
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=1 -hiperboloidadwupowłokowa
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=0 -sto»ek
a
2
+
y
2
b
2
=2
pz
-paraboloidaeliptyczna
a
2
−
y
2
b
2
=2
pz
-paraboloidahiperboliczna
a
2
+
y
2
b
2
=1 -waleceliptyczny
a
2
−
y
2
b
2
=1 -walechiperboliczny
•
x
2
=2
py
-walecparaboliczny
•
x
2
•
x
2
•
x
2
•
x
2
•
x
2
•
x
2
•
x
2
•
x
2
2
Równaniapowy»szenazywamyrównanianmikanonicznymipowierzchnistopniadrugiego
(niezdegenerowanych).
Wniektórychprzypadkachogólnerównaniepowierzchnistopniadrugiegomo»eprzedstawia¢
zbiórpunktówprzestrzeni,b¦d¡cyzbiorempustym,zbioremjednopunktowym,prost¡,sum¡
dwóchprostych,płaszczyzn¡,sum¡dwóchpłaszczyzn.Powierzchnietakienazywamyzdegenerowanymi.
Uwaga
Kształtpowierzchniopisanychwtwierdzeniumo»naoceni¢napodstawieich
przekrojówzpłaszczyznamirównoległymidopłaszczyznukładuwspółrz¦dnych.
Rysunkipodstawowychpowierzchnistopniadrugiegoprzedstawiłamnaosobnejkartce(kartk¦
t¡mo»namie¢nakolokwiumiegzaminie).
Definicja
Powierzchni¦utworzon¡przezrodzin¦prostychrównoległychdodanejprostej
iprzechodz¡cychprzezpunktykrzywej
L
nazywamy
powierzchniawalcow¡
.Krzyw¡
L
b
2
=1napłaszczy¹nieOXYopisujeelips¦,wprzestrzenirównanie
toopisujepowierzchni¦walcow¡,którejkierownic¡jestelipsaatworz¡ces¡równoległedoosi
a
2
+
y
2
OZ.Powierzchni¦t¡nazywamywalcemeliptycznym.
wiczenieNarysujpowierzchnie:
•
x
2
+
y
2
+2
z
2
=4
•
x
2
+2
y
2
=
z
2
•
x
2
+
y
2
+
z
2
=2
z
•
x
2
+
z
2
=4
z
•
y
=3
x
2
+1
•
y
=ln
x
nazywamykierownic¡,aka»d¡prost¡ztejrodziny-tworz¡c¡powierzchniwalcowej.
Naprzykładrównanie
x
2
Plik z chomika:
aneciakurczaczek
Inne pliki z tego folderu:
01.0 - Granice i ciągłość funkcji.pdf
(111 KB)
02.1 - Pochodna funkcji.pdf
(112 KB)
02.2 - Twierdzenie Tolle'a i Lagrange'a.pdf
(90 KB)
02.3 - Twierdzenie de L'Hospitala.pdf
(92 KB)
02.4 - Przebieg zmienności funkcji.pdf
(100 KB)
Inne foldery tego chomika:
Wykłady - Matematyka podstawowa
Zadania - Matematyka wyższa
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin