07.2 - Rząd macierzy.pdf
(
76 KB
)
Pobierz
24821204 UNPDF
1
Wydział:WiLi,Budownictwo,sem.1
drJolantaDymkowska
Rz¡dmacierzy
Definicja
•
Podmacierz¡
macierzy
A
nazywamydowoln¡macierzpowstał¡zmacierzy
A
wwyniku
skre±leniapewnejilo±ciwierszyi(lub)kolumn.Wyznacznikzpodmacierzykwadratowejnazywamy
minorem
.
•
Rz¦demmacierzy
nazywamyliczb¦
r
,tak¡»eistniejeminorstopnia
r
ró»nyodzera,a
wszystkieminorystopnia
r
+1jakieistniej¡wdanejmacierzys¡równezero.
Przyjmujemydodatkowo,»erz¡dmacierzyzerowejjestrównyzero.
Rz¡dmacierzy
A
oznaczamy
R
(
A
).
WniosekJe»eli
A
jestmacierz¡wymiaru
m
×
n
,to
R
(
A
)jestliczb¡całkowit¡tak¡,»e
0
6
R
(
A
)
6
min
{
m,n
}
.
Przykład
Znajd¹rz¡dmacierzy
A
:
A
=
2
6
4
2 34
1
−
10
4 14
3
7
5
Rozwi¡zanie
Macierz
A
jestwymiaru3
×
3,st¡d0
6
R
(
A
)
6
3.Cowi¦cej,poniewa»
tylkomacierzzerowamarz¡d0,to1
6
R
(
A
)
6
3.
Sprawdzamy,czy
R
(
A
)=3?
det
A
=
2 34
1
−
10
4 14
2 3
1
−
1
4 1
=
−
8+0+4+16
−
0
−
12=0
Poniewa»wyznacznikstopnia3(jedynyistniej¡cywmacierzy
A
)jestrówny0,to
R
(
A
)
6
=3.
Sprawdzamy,czy
R
(
A
)=2,awi¦cpytamy,czypotrafimywmacierzy
A
wskaza¢wyznacznik
(minor)stopnia2ró»nyod0.Odpowied¹brzmi:tak,bo:
2 3
1
−
1
=
−
2
−
3=
−
5
6
=0
Zatem
R
(
A
)=2.
2
Własno±cirz¡dumacierzy
•
Transponowaniemacierzyniezmieniarz¦dumacierzy,tymsamymwszystkiewłasno±ciprawdziwe
dlawierszys¡równie»prawdziwedlakolumn.
•
Skre±leniewmacierzywierszasamychzerniezmieniajejrz¦du.
•
Je»eliwmacierzyistniej¡dwawierszeproporcjonalne(równe),toskre±leniejednegoznichnie
zmieniarz¦dumacierzy.
•
Przestawieniedowolnychdwóchwierszyniezmieniarz¦dumacierzy.
•
Pomno»eniewierszaprzezliczb¦ró»n¡odzeraniezmieniarz¦dumacierzy.
•
Je»elidodowolnegowierszamacierzydodamyinnywierszpomno»onyprzezliczb¦,torz¡d
macierzyniezmienisi¦.
Uwaga
Dowoln¡macierzniezerow¡
A
=[
a
ij
]wymiaru
m
×
n
mo»nazapomoc¡przekształce«
niezmieniaj¡cychrz¦dumacierzysprowadzi¢dopostaci:
2
c
11
c
12
c
13
... c
1
r
c
1
,r
+1
... c
1
n
0
c
22
c
23
... c
2
r
c
2
,r
+1
... c
2
n
0 0
c
33
... c
3
r
c
3
,r
+1
... c
3
n
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0
... c
rr
c
r,r
+1
... c
rn
0 0 0
...
0 0
...
0
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0
...
0 0
...
0
3
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
gdzieelementy
c
ii
s¡ró»neodzeradlaka»dego
i
=1
,
2
,...,r
.Rz¡dmacierzy
A
jestwówczas
równy
r
.
Zauwa»myprzytym,»e
•
je»eli
r
=
m
,towierszr-tyjestostatnimwierszem,
•
je»eli
r
=
n
,tokolumnar-tajestostatni¡kolumn¡.
Przykład
Wykorzystuj¡cwłasno±cirz¦dumacierzyiostatni¡uwag¦znajd¹rz¡dmacierzy
A
:
2
211 1
−
2
123
−
1 2
301
−
3
−
2
246
−
2 4
3
A
=
6
6
6
4
7
7
7
5
3
Rozwi¡zanieMacierz
A
sprowadzimydopostaciwskazanejwpowy»szejuwadze:
2
211 1
−
2
123
−
1 2
301
−
3
−
2
246
−
2 4
3
2
123
−
1 2
211 1
−
2
301
−
3
−
2
246
−
2 4
3
R
(
A
)=
R
6
6
6
4
7
7
7
5
=
R
6
6
6
4
7
7
7
5
=
W
2
−
2
W
1
W
3
−
3
W
1
W
4
−
2
W
1
=
R
2
6
6
6
4
1 2 3
−
12
0
−
3
−
5 32
0
−
6
−
8 04
0 0 0 00
3
7
7
7
5
=
R
2
6
6
6
4
1 2 3
−
12
0
−
3
−
5 32
0 0 2
−
60
0 0 0 00
3
7
7
7
5
=
=
R
2
6
4
1 2 3
−
12
0
−
3
−
5 32
0 0 2
−
60
3
7
5
=3
bo:
1 2 3
0
−
3
−
5
0 0 2
=1
·
(
−
3)
·
2=
−
6
6
=0
Komentarz:
W
1
$
W
2
oznacza”zamieniamymiejscamiwiersze1i2”,
W
2
−
2
W
1
oznacza”do
wierszadrugiegododajemywierszpierwszypomno»onyprzez(-2)”.
W
1
$
W
2
W
3
−
2
W
2
Plik z chomika:
aneciakurczaczek
Inne pliki z tego folderu:
01.0 - Granice i ciągłość funkcji.pdf
(111 KB)
02.1 - Pochodna funkcji.pdf
(112 KB)
02.2 - Twierdzenie Tolle'a i Lagrange'a.pdf
(90 KB)
02.3 - Twierdzenie de L'Hospitala.pdf
(92 KB)
02.4 - Przebieg zmienności funkcji.pdf
(100 KB)
Inne foldery tego chomika:
Wykłady - Matematyka podstawowa
Zadania - Matematyka wyższa
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin