07.1 - Rachunek prawdopodobieństwa - pojęcia wstępne.pdf

(179 KB) Pobierz
35156678 UNPDF
Wydział:WiLi,Transport,sem.2
drJolantaDymkowska
RACHUNEKPRAWDOPODOBIESTWA-POJCIAWSTPNE
MATERIAŁYPOMOCNICZE-TEORIA
Przestrze«probabilistyczna
Modelemmatematycznym(tj.teoretycznym,wyidealizowanym,abstrakcyjnym)realnegodoswiadczenialosowego
(eksperymentulosowego)jesttzw.przestrze«probabilistyczna(skrótp.p.).
P.p.eksperymentulosowegostanowiukład3poj¦¢oznaczanyprzez(,S,P),gdzie
1*-przestrze«zdarze«elementarnych,
2*S-ciałozdarze«(pewnarodzinapodzbiorówprzestrzeni),
3*P-rozkładp-stwa(miaraprobabilistyczna).
Ad1*Wrachunkup-stwazdarzenieelementarnejestpoj¦ciempierwotnym(zatemniedefiniujesi¦go).Dlaka»dego
do±wiadczenialosowegooddzielnieustalasi¦zbiór(przestrze«)zdarze«elementarnych.-przestrze«
zdarze«elementarnychmo»eby¢:
•zbioremsko«czonym:={! 1 ,! 2 ,...,! n };
•zbioremprzeliczalnym:={! 1 ,! 2 ,...,! n ,...};
•zbioremnieprzeliczalnym:np.=[0,1].
Ad2*Niech R n tj.jestn-wymiarow¡przestrzeni¡kartezja«sk¡lubjejpodzbiorem.NiechS oznacza
dowoln¡rodzin¦podzbiorówprzestrzeni,spełniaj¡c¡warunki:
(S1)S ,
(S2)je»eliA2S ,toA def =−A2S ,
(S3)je»eliA 1 ,A 2 ,···2S ,toA 1 [A 2 [... ozn.
=
1 S
A i 2S .
i=1
Klas¦zbiorówS nazywamy-ciałemlubprzeliczalnieaddytywnymciałemzdarze«.
Najmniejszetakieciałozawieraj¡cewszystkiezbioryotwartez R n nazywamyciałemzbiorówborelowskichi
oznaczamyprzezS.
Realnymzdarzeniomlosowymwmodeluabstrakcyjnymodpowiadaj¡elementyrodzinyS,czylizdarzeniom
losowymodpowiadaj¡pewnepodzbioryprzestrzeni.Zaksjomatów(S1)-(S3)wynikami¦dzyinnymi,»eoper-
acjenazdarzeniachprowadz¡tak»edozdarze«:np.A,B2S=)A[B2S,A−B2S,(A\B)2S,itp..
Je»elijestzbioremconajwy»ejprzeliczalnym,tozazdarzenielosowemo»nauwa»a¢dowolnypodzbiór
przestrzeni.
1
35156678.003.png
 
Przypomnienie
•Zdarzenie2Snazywamyzdarzeniempewnym.
•Zdarzenie;2Snazywamyzdarzeniemniemo»liwym.
•Mówimy,»ezachodzizdarzenieA,je»elizachodzijednozezdarze«elementarnych!nale»¡cychdoA.
•Zawieraniesi¦zdarze«:
AB()!2A)!2B.
•Sumazdarze«:
!2A[B()!2Alub!2B.
Ogólniej:
n S
!2
A i ()9 i=1,2,...,n !2A i ,
i=1
1 S
!2
A i ()9 i2 N !2A i .
i=1
•Iloczynzdarze«:
!2A\B()!2Ai!2B.
Ogólniej:
n T
!2
A i ()8 i=1,2,...,n !2A i ,
i=1
1 T
!2
A i ()8 i2 N !2A i .
i=1
•Mówimy,»ezdarzeniaAiBs¡rozł¡czneje»eliichł¡cznarealizacjajestniemo»liwa,tj.A\B=;.
•Ró»nicazdarze«:
!2A−B()!2Ai!/2B.
•ZdarzenieprzeciwneA:
!2A()!2−A.
•Prawad’Morgana:
(A[B)=A\B
(A\B)=A[B
Ad3*(Aksjomatycznadefinicjamiaryprobabilistycznej)
Rozkłademp-stwalubmiar¡prbabilistyczn¡nazywamyka»d¡funkcj¦P:S![0,1],którazdarzeniom
losowymA2Sprzyporz¡dowujeliczb¦rzeczywist¡P(A)tak,»espełniones¡postulaty:
(P1)P()=1
(P2)Je»eliA 1 ,A 2 ,...jestdowolnymci¡giem(sko«czonymlubniesko«czonym)elementówrodzinySparami
rozł¡cznych:A i \A j =;dlaka»dychi6=j,to
P(A 1 [A 2 [...)=
1 X
P(A n ).
n=1
2
35156678.004.png
Uwagi
•DlaA2SliczbaP(A)nazywasi¦prawdopodobie«stwemzdarzeniaA.
•P-stwozdarzenianiemo»liwegoP(;)=0.
•P-stwozdarzeniaprzeciwnego:P(A)=1−P(A).
•P-stwosumyzdarze«(niekoniecznierozł¡cznych):P(A[B)=P(A)+P(B)−P(A\B).
•ABtoP(A) 6 P(B).
•GdyA 1 ,A 2 ,... jestniesko«czonymci¡giemzdarze«,to
1 P
P(A n )oznaczasum¦zbie»negoszeregu
n=1
liczbowegoowyrazachnieujemnych.
•Załó»my,»edlaeksperymentulosowegozostałazbudowanap.p. (,S,P).Interpretuj¡cP()jako
mas¦jednostkow¡,mo»napowiedzie¢,»ezadaniefunkcjiP:S![0,1]okre±lasposóbrozkładumasy
jednostkowejnawszystkiezdarzenialosowe.
•Zauwa»my,»eaksjomatyp-stwanieokreslaj¡jednoznaczniefunkcjiP,leczstanowi¡koniecznewarunki,
którefunkcjaPmusispełnia¢.
•ZdrugiejstronyprzykonstrukcjiPnale»yuwzgl¦dni¢nast¦puj¡cypostulatempiryczny:dladługiego
ci¡gupowtórze«danegodo±wiadczenialosowego:
P(A)=cz¦sto±¢zdarzeniaA= ilo±¢realizacjizdarzeniaA
ilo±¢powtórze«do±wiadczenia .
Przykład1 (klasycznadefinicjaprawdopodobie«stwa)
Je»elip.p.składasi¦nzdarze«elementarnych,tj.={! 1 ,! 2 ,...,! n }orazwszystkiezdarzenia
jednoelementowe{! i }gdziei=1,2,...,ns¡jednakowoprawdopodobne,awi¦c
P({! 1 })=P({! 2 })=...=P({! n })= 1
n ,
top-stwodowolnegozdarzeniaAskładaj¡cegosi¦zkzdarze«elementarnychwyra»asi¦wzorem
P(A)= k
n = liczbazd.elem.sprzyjajacychzd.A
liczbawszystkichzd.elem.przestrzeni .
Przykład2 (konstrukcjip.p.oprzeliczalnejilo±cizdarze«elementarnych-rozkładdyskretny)
={! 1 ,! 2 ,...,! n }lub={! 1 ,! 2 ,...,! n ,...},
S-rodzinawszystkichpodzbiorówprzestrzeni.
Wartozaua»y¢,»eje»eli={! 1 ,! 2 ,...,! n }jestsko«czona,toS={;,{! 1 },...,{! n },{! 1 ,! 2 },...,}.
Mamywówczas2 n zdarze«losowych.
Rozkładp-stwaP:S![0,1]okreslamywzorami:
P({! 1 })=p i > 0 ,i=1,2,...,
p i =1.
Takwprowadzonafunkcjap-stwaspełniawszystkieaksjomatyp-stwa.
Przykład3 Esperymentlosowy:poród,wktórymobserwujemypłe¢dziecka.Modelmatematyczny(,S,P):
={! 1 ,! 2 },gdzie! 1 -urodzeniedziewczynki,! 2 -urodzeniechłopca.
S={;,{! 1 },{! 2 },{! 1 ,! 2 }}(mamy2 2 =4podzbiory2-elementowejprzetrzenizdarze«losowych).
3
gdzie P
i
35156678.005.png 35156678.001.png
P({! 1 })=p 1 =0,5iP({! 2 })=p 2 =0,5(p 1 +p 2 =1).
Powy»szymodelmatematycznyjestpoprawny,jednakjestmałoadekwatnydosytuacjidemograficznej,np.w
roku1966cz¦sto±¢urodze«dziewczynekwynosiła0,484.Zatemdokładniejszymodelotrzymamyokre±laj¡c
funkcj¦p-stwawsposóbnast¦puj¡cy:P({! 1 })=p 1 =0,484iP({! 2 })=p 2 =0,516.
Niezale»no±¢zdarze«losowych
ZdarzeniaA,Bwp.p.(,S,P)nazywamyniezale»nymi,je»eli
P(A\B)=P(A)·P(B).
WprzeciwnymprzypadkuzdarzeniaA,Bnazywamyzale»nymi.
ZdarzeniaA 1 ,A 2 ,...,A n (n > 2)lubzdarzeniaA 1 ,A 2 ,...,A n ,...nazywamywzajemnieniezale»nymiwp.p.
(,S,P),gdydladowolnegosko«czonegopodzbioruA i 1 ,A i 2 ,...,A i k zachodzi:
P(A i 1 \A i 2 \···\A i k )=P(A i 1 )·P(A i 2 )·····P(A i k ).
Przykład4 Eksperymentlosowy:losowaniejednejliczbyz{1,2,3,4}.Modelmatematyczny:
={! 1 ,! 2 ,! 3 ,! 4 }, ! i -wylosowanieliczbyi
S-rodzinawszystkichpodzbiorów
P({! i })=p i = 1 4 , i=1,2,3,4.
Rozwa»myzdarzenia:A={! 1 ,! 2 },B={! 1 ,! 3 },C={! 1 ,! 4 }.Wówczas
P(A)=P(B)=P(C)= 1
2 .
Poniewa»A\B=A\C=B\C={! 1 },toP(A\B)=P(A\C)=P(B\C)= 1 4 .Zatemzdarzenia:
AiBs¡niezale»ne,
AiCs¡niezale»ne,
BiCs¡niezale»ne.
Jednocze±nieA\B\C={! 1 },zatemP(A\B\C)= 1 4 .Czyli
P(A\B\C) 6=P(A)·P(B)·P(C)= 1
8 ,
tzn.zdarzeniaA,BiCs¡zale»ne.
Przykład5 Zbada¢,któryznast¦puj¡cychukładówmawi¦ksz¡niezawodno±¢,przyzało»eniu,»eprzeka¹niki
działaj¡niezale»nieiniezawodno±¢ka»degoznichjestrównap(0<p<1).
4
35156678.002.png
Niezawodno±¢elementurozumiemyjakop-stwotego,»edziałapoprawniewci¡guokre±lonegoczasu.
Okre±lamyzdarzenialosowe:
A i -i-typrzeka¹nikb¦dziepracowałniezawodniewczasieT,i=1,2,3,4,P(A i )=p,
A-układ1b¦dziepracowałniezawodniewczasieT,
B-układ2b¦dziepracowałniezawodniewczasieT.
Ztre±cizadaniawynika,»ezdarzeniaA 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 s¡niezale»ne.
Poniewa»A=(A 1 \A 2 \A 3 )[A 4 iB=(A 1 \A 2 )[(A 3 \A 4 ), to
P(A)=P((A 1 \A 2 \A 3 )[A 4 )=P(A 1 \A 2 \A 3 )+P(A 4 )−P(A 1 \A 2 \A 3 \A 4 )=p 3 +p−p 4
P(B)=P((A 1 \A 2 )[(A 3 \A 4 ))=P(A 1 \A 2 )+P(A 3 \A 4 )−P(A 1 \A 2 \A 3 \A 4 )=2p 2 −p 4 .
A»ebystwierdzi¢,któryzukładówjestbardziejniezawodnyustalamyznakró»nicy:
P(A)−P(B)=p 3 +p−p 4 −(2p 2 −p 4 )=p 3 −2p 2 +p=p(p−1) 2 >0.
ZatemP(A)>P(B),atooznacza,»ewi¦ksz¡niezawodno±¢posiadaukładpierwszy.
UwagaMateriałytenale»ytraktowa¢jakowstepdowykładówzRachunkuPrawdopodobie«stwa.Polecamrównie»
pozycjeliteratury:
•W.Kordecki,Rachunekprawdopodobie«stwaistatystykamatematyczna.Definicje,twierdzenia,wzory,Oficyna
WydawniczaGiS,Wrocław2003
•H.Jasiulewicz,W.Kordecki,Rachunekprawdopodobie«stwaistatystykamatematyczna.Przykładyizadania,
OficynaWydawniczaGiS,Wrocław2003
•A.Pluci«ska,E.Pluci«ski,Elementyprobabilistyki,PWNWarszawa1981
•A.Pluci«ska,E.Pluci«ski,Zadaniazprobabilistyki,PWNWarszawa1983
•W.Krysicki...,Rachunekprawdopodobie«stwaistatystykamatematycznawzadaniach,PWNWarszawa2005
•R.Leitner,J.Zacharski,Zarysmatematkiwy»szej,cz¦±¢III,WNTWarszawa2005
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin