02.2 - Teoria pola.pdf - Zadania - Matematyka wyższa - aneciakurczaczek

Wydział:WiLi,Budownictwo,sem.3

drJolantaDymkowska

Teoriapola

p x 2 +y 2 − 1 b)f(x,y,z)=ln(4−x 2 −y 2 −z 2 )

okre±laj¡palaskalarne?Dlapowy»szychpólwyznaczy¢powierzchnieekwiskalarne.

Zad.2Wyznaczy¢powierzchnieekwiskalarneorazobliczy¢gradientpólskalarnych:

a)f(x,y)= x 2

16 + y 2

4 b)f(x,y,z)=x 2 +y 2 −z c)f(x,y,z)=x+4y−3z

Zad.3Danejestpoleskalarnef(x,y)=arctg x y .Obliczy¢:

a)warto±cipolawpunktachA 1 (1,1)iA 2 (

3,−

b) punktypłaszczyzny,dlaktórychwarto±cipolas¡ujemne

c) lini¦ekwiskalarn¡przechodz¡c¡przezpunktA 3 (

3,1)

Zad.4Danejestpoleskalarnef(x,y,z)=x 2 +y 2 −z 2 .Obliczy¢:

a)warto±cipolawpunktachA 1 (1,0,2)iA 2 (3,4,−5)

b) punktyprzestrzeni,dlaktórychwarto±cipolas¡ujemne,równe0,dodatnie

c) powierzchnieekwiskalarnepola

d) powierzchni¦ekwiskalarn¡przechodz¡c¡przezpunktA 3 (2,1,4)

Zad.5Znale¹¢gradientypolaf(x,y,z)=xyz+1wpunktachA 1 (1,2,0)iA 2 (−2,1,2).

Zad.6Danejestpoleskalarnef(x,y,z)=3x 2 +y 2 +z 2 −3.Znale¹¢:

a) powierzchnieekwiskalarnepola

b) punktyprzestrzeni,dlaktórychwarto±cipolas¡ujemne

c) gradientpola

Zad.7Danejestpoleskalarnef(x,y,z)= x+y+z

x 2 +y 2 +z 2 +1 .Znale¹¢:

a) gradf

b) gradf(−1,2,1)

c) k¡tpomi¦dzygradientamipolawpunktachA 1 (0,3,−1)iA 2 (2,−1,1)

Zad.8Wjakichpunktachprzestrzenigradientpolaf(x,y,z)=x 3 +y 3 +z 3 −3xyz:

a) jestwektoremzerowym

b) jestwektoremprostopadłymdoosiOZ

c) jestwektoremrównoległymdoosiOZ

Zad.9Danejestpoleskalarnef(x,y,z)=x 3 +y 2 z.Wyznaczy¢punkty,wktórychgradienttegopolajestrówny0.

x 2 +y 2 +z 2 wpunktachA 1 (1,2,2)iA 2 (−3,1,0)

b) f(x,y,z)=x 2 +2y 2 −z 2 wpunktachA 1 (2,3,−1)iA 2 (1,−1,2)

Zad.1Wjakichzbiorachfunkcje

a)f(x,y,z)= z

Zad.10Wyznaczy¢k¡tmi¦dzygradientamipola:

a) f(x,y,z)= x

x 2 +y 2 − 2z 2 b)f(x,y,z)=ln(z−x 2 −y 2 ) c)f(x,y,z)=xarcsin y z

d)f(x,y,z)= z x +ln(y 2 +4) e)f(x,y,z)=sin(z−1)−x 2 −y 2 f)f(x,y,z)= p 2x+y−z 2

Zad.12Wyznaczy¢dywergencj¦pól:

a) ~ F(x,y,z)=[x 3 y,2yz 2 ,xz] b) ~ F(x,y,z)=[sin2z,sin3x,sin4y]

c) ~ F(x,y,z)=[4x−5z,z−3y,2x+5z] d) ~ F(x,y,z)=[arctg(x−y+z),z,y]

e) ~ F(x,y,z)=[xz 3 ,2x 2 y 4 ,5yz 2 ] f) ~ F(x,y,z)=[e xy ,−cosy,sin 2 z]

g) ~ F(x,y,z)=[lnx,e xyz ,arctg z x ]

Zad.13Danejestpolewektorowe ~ F(x,y,z)=[ln(x 2 +y 2 +z 2 ),siny,xyz].Obliczy¢:

a) div ~ F

b) div ~ F(1,0,2)

Zad.14Sprawdzi¢,czypole ~ Fjestbez¹ródłowe:

a) ~ F(x,y)=[x 3 z 2 −xy,−3x 2 yz 2 ,yz−1] b) ~ F(x,y,z)=[yx y − 1 ,x y lnx,1] c) ~ F(x,y,z)=[y 2 ,z 2 ,xy]

Zad.15Wyznaczy¢rotacj¦pól:

a) ~ F(x,y,z)=[x 3 y,2yz 2 ,xz] b) ~ F(x,y,z)=[cosz,cosx,cosy]

c) ~ F(x,y,z)=[4x−5z,z−3y,2x+5z] d) ~ F(x,y,z)=[arctg(x−y+z),z,y]

e) ~ F(x,y,z)=[xz 3 ,2x 2 y 4 ,5yz 2 ]

Zad.16Danejestpolewektorowe ~ F(x,y,z)=[x 2 yz,xy 2 z,xyz 2 ].Obliczy¢:

a) rot ~ F

b) rot ~ F(1,2,1)

Zad.17Sprawdzi¢,czypolewektorowe ~ F(x,y,z)=[y 2 ,z 2 ,xy]jestbezwirowe?

Zad.18Sprawdzi¢,czypolawektorowes¡potencjalne,je±litak,wyznaczy¢potencjałytychpól:

a) ~ F(x,y,z)=[yz,xz,xy] b) ~ F(x,y,z)=[y+z,x+z,x+y]

c) ~ F(x,y,z)=[yz(2x+y+z),xz(x+2y+z),xy(x+y+2z)] d) ~ F(x,y,z)=[x 3 −5yz,y 3 −5xz,z 3 −5xy]

e) ~ F(x,y,z)=[xe xy ,−ze xy ,x 3 y 2 z 3 e xy ] f) ~ F(x,y,z)=[2xy+z 2 ,x 2 ,2xz+cos(z)]

g) ~ F(x,y,z)=[sin(yz 2 ),xz 2 cos(yz 2 ),2xyzcos(yz 2 )] h) ~ F(x,y,z)=[2xe 3y +z 2 ,3x 2 e 3y +z,2zx+y]

i) ~ F(x,y,z)=[x 2 −2y,3x 2 y−5z,5z 2 −3xy+y 2 −1]

Zad.19Danejestpolewektorowe ~ F(x,y,z)=[25x 4 y−3y 2 ,5x 5 −6xy−5,0].Wyznaczy¢potencjałfpola ~ F

wiedz¡c,»ef(0,0,0)=1.

Zad.20Wykaza¢,»e:

a) div(f· ~ F)=gradf ~ F+f·div ~ F

b) rot(f· ~ F)=f·rot ~ F+gradf× ~ F

c) div( ~ F 1 × ~ F 2 )= ~ F 2 rot ~ F 1 − ~ F 1 rot ~ F 2

d) rot(rot ~ F)=gr(div ~ F)− ~ F

Zad.11Wyznaczy¢gradientypól:

a)f(x,y,z)= z

02.2 - Teoria pola.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: