Algebra liniowa 1 - oprac. dr Teresa Jurlewicz.pdf - Matematyka(5) - aneciakurczaczek

1.Liczbyzespoone

Zadanie 1.1

[1.1] y

Wykona¢podanedziaªania:

a) (13i)+(45i); b)

36i

;

7 p

; d) 2+3i

1+i ;

e) zw, z 2

, zw

z+w

, Rez+iImw

z+w

dlaz=52i,w=3+4i:

Zadanie 1.2

[1.2]

ALGEBRALINIOWA1

Znale¹¢liczbyrzeczywistex;y speªniaj¡cepodanerównania:

a) x(2+3i)+y(52i)=8+7i; b) (2+yi)(x3i)=7i;

c) 1+yi

x2i

=3i1;

d) x+yi

xyi

= 92i

9+2i

Zadanie 1.3

[1.3]

; c) z 2 4z+13=0;

d) (z+2) 2 =(z+2) 2 ; e) 2z+z=65i; f) (1+i)z+3(zi)=0;

b) 1+i

= 23i

2+i

z1+4i

= 1i

2z+i

; h) z+iz+i=0; i*) z 3 6iz 2 12z+8i=0:

Lstazada«

Zadanie 1.4

[1.5]

Napªaszczy¹niezespolonejnarysowa¢zbioryliczbz speªniaj¡cychpodanewarunki:

a) Re(iz+2)0;

2003/2004

b) Imz 2 <0;

=z;

e) zz+(5+i)z+(5i)z+1=0; f) Im 1+iz

1iz

d) 4

=1:

Zadanie 1.5

[1.6]

Niech u= z+4

z2i

, v =

iz+4

, gdzie z 2

C: Naszkicowa¢zbiór wszystkich liczb zespolonych z; dla

Opracowanie:drTeresaJurlewicz,drZbigniewSkoczylas

których:

a) liczbaujestrzeczywista; b) liczbaujestczystourojona;

c) liczbav jestrzeczywista; d) liczbav jestczystourojona.

Zadanie 1.6 [1.7]

Punkty z 1 , z 2 , z 3 pªaszczyzny zespolonej s¡ wierzchoªkami trójk¡ta. Wyznaczy¢poªo»enie punktu

przeci¦cia±rodkowychtegotrójk¡ta.

Wskazówka.Wykorzysta¢fakt,»e±rodkowetrójk¡taprzecnaj¡s¦wjednympunkceidze¡

s¦wstosunku2:1cz¡codwerzchoka.

Zadanie 1.7

Zadania z tejlistyznadu¡si¦wobecnymoraz poprzednichwydaniachksi¡»ki ÿAlgebra liniowa

1.Przykªadyi zadania". Ka»dez zada«ma tamswójodpowiednikwpostaci dokªadnierozwi¡za-

negoprzykªadu. Dowszystkichzada«doª¡czonoodpowiedzi. Zakres materiaªuz poprzedniejtzw.

sandardowejlisyzada«(realizowanejwrokuakademickim2002/3)poszerzonoorz¡d macierzyi

twierdzenieKroneckera-Capellego.Zrezygnowanozpodziaªuna14ednosteknarzeczukªadumery-

torycznego.

[2.1]

Obliczy¢moduªypodanychliczbzespolonych:

a) p

3i;

b) 68i; c) 4 p

2+ 4

3i;

d) 1+itg,2

2 ;

; e) 1+3i

34i

Numeracjazada«zks¡»kiAlgebraliniowa1.Przykªadyizadania,wydaneIX.

y Numeracjazada«zks¡»kiAlgebraliniowa1.Przykªadyizadania,wydaneVIII.

Wzbiorzeliczbzespolonychrozwi¡za¢podanerównania:

a) z 2 =4z;

c) zi=z1;

Zadanie 1.8 [2.2]

Poda¢interpretacj¦geometryczn¡moduªuró»nicyliczbzespolonych.Korzystaj¡cztejinterpretacji

narysowa¢zbioryliczbzespolonychz speªniaj¡cychpodanewarunki:

a) jz3+4ij=1;

Zadanie 1.15

[3.1]

z2i

z+1

=1; c) 2¬jiz5j<3;

Stosuj¡cposta¢wykªadnicz¡liczbyzespolonejrozwi¡za¢podanerównania:

a) z 7 =z; b) (z 4 )=z 2

z 2

; c) (z) 2

z 2

= 4

z 2 ;

z 8

=z 4 :

d) jzj 3 =iz 3 ; e) z 6 =(z) 6 ; f)

z+i

z 2 +1

1; f) sin

d) jz+12ij3orazjz3j<4; e)

z+2i

>0;

Zadanie 1.16 [3.2]

Stosuj¡c wzory Eulera wyrazi¢ podane funkcje w postaci sum sinusów i cosinusów wielokrotno±ci

k¡tax:

a) sin 3 x; b) cos 2 x; c) sin 5 x; d) sin 4 x+cos 4 x:

Zadanie 1.17

¬5:

g*) 3jz+ij¬

z 2 +1

<5jzij; h)

z1+3i

Zadanie 1.9

[2.4]

3i;

d) sin+icos; e) cos+isin; f) 1+itg:

Uw aga. W¢wiczeniach d) , e) , f) k¡tspeªnianierówno±ci0<<

i; c) 5+5

[3.3]

2 .

Korzystaj¡czdenicjiobliczy¢podanepierwiastki:

512i; b)

p 11+60i; c) 3

i; d) 4 p

16:

Zadanie 1.10

[2.5]

Zadanie 1.18

[3.4]

Narysowa¢zbioryliczbzespolonychz speªniaj¡cychpodanewarunki:

a) argz= 5

4 ; b)

6 < arg(z+3i)<

Obliczy¢inarysowa¢napªaszczy¹niezespolonejpodanepierwiastki:

4; d) 6

3 ;

3i; b) 3

27i; c) 4

64;

c) ¬ arg(iz)<2; d) arg

z 6

2+2i:

Zadanie 1.19 [3.5]

Odgaduj¡cjedenzelementówpodanychpierwiastkówobliczy¢pozostaªeelementytychpierwiastków:

32i; f) 3

1+i; g*) 4

i; h*) 3

¬ arg(

z)¬

2 ; f*) arg(z12i)= 3

2 :

Zadanie 1.11

[2.6]

(22i) 9 .

(54i) 4 ; b) 4

(2+3i) 4 ; c) 3

(2i) 6 ; d) 3

Obliczy¢warto±cipodanychwyra»e«(wynikpoda¢wpostacialgebraicznej):

a) (1i) 12 ;

8 ; c)

32i

30 ;

Zadanie 1.20 [3.6]

Jednym z wierzchoªków kwadratu jest punkt z 1 = 4i. Wyznaczy¢ pozostaªe wierzchoªki tego

kwadratu,je»elijego±rodkiemjest:

a) pocz¡tekukªaduwspóªrz¦dnych; b) punktu=1;

c) punktu=3+i;

cos

isin

; e) (1+i) 22

sin

6 +icos

; f)

Zadanie 1.12

[2.7]

d) punktu=7+

2i:

Korzystaj¡czewzorudeMoivre'awyrazi¢:

a) sin3xprzezunkcj¦sinx; b) cos4xprzezunkcjesinxicosx;

c*) tg6xprzezunkcj¦tgx; d*) ctg5xprzezunkcj¦ctgx:

Zadanie 1.13

Zadanie 1.21

[3.7]

Znale¹¢rozwi¡zaniapodanychrówna«:

a) z 4 =(1i) 4 ; b) (z1) 6 =(iz) 6 ; c) z 3 =(iz+1) 3 :

[2.8]

Narysowa¢zbioryliczbzespolonychz speªniaj¡cychpodanewarunki:

a) Im

z 3

<0; b) Re

z 4

2.Wielomiany

Zadanie 2.1

(z) 2

; d) Im (1+i)z

[4.1]

c) Im

z 2

Obliczy¢iloczynypodanychparwielomianówrzeczywistychlubzespolonych:

a) P(x)=x 4 3x 3 +x1; Q(x)=x 2 x+4;

b) W(z)=z 3 +5z 2 iz+3; V(z)=(1+i)z2:

Zadanie 2.2

i)z

Zadanie* 1.14

[2.9]

Wykorzystuj¡cwzórnasum¦wyrazówzespolonegoci¡gugeometrycznegoobliczy¢:

a) sinx+sin2x+:::+sinnx; b) cosx+cos2x+:::+cosnx;

c) 1

[4.2]

2 +cosx+cos2x+:::+cosnx; d) sinx+sin3x+:::+sin(2n1)x;

e) 1+(1i)+(1i) 2 +:::+(1i) n ;

Obliczy¢ilorazyorazresztyzdziele«wielomianówP przezwielomianyQ,je»eli:

a) P(x)=2x 4 3x 3 +4x 2 5x+6; Q(x)=x 2 3x+1;

b) P(x)=x 16 16; Q(x)=x 4 +2;

c) P(z)=z 5 z 3 +1; Q(z)=(zi) 3 :

:::+(1) n

,gdzien2

N orazm=E

Podaneliczbyzespolonezapisa¢wpostacitrygonometrycznej:

a) 7+7i; b)

e) 5

Zadanie 2.3

[4.3]

Zadanie 2.10

[5.3]

Znale¹¢wszystkiepierwiastkicaªkowitepodanychwielomianów:

a) x 3 +x 2 4x4; b) 3x 3 7x 2 +4x4;

c) x 5 2x 4 4x 3 +4x 2 5x+6; d) x 4 +3x 3 x 2 +17x+99:

Zadanie 2.4

[4.4]

Podanewielomianyzespoloneprzedstawi¢wpostaciiloczynudwumianów:

a) z 2 2iz10; b) z 4 +5z 2 +6; c) z 3 6z9.

Zadanie 2.11 [5.4]

Podanewielomianyrzeczywisteprzedstawi¢wpostaciiloczynunierozkªadalnychczynnikówrzeczy-

wistych:

a) x 6 +8; b) x 4 +4;

c) x 4 x 2 +1; d) 4x 5 4x 4 13x 3 +13x 2 +9x9:

Zadanie 2.12 [5.5]

Podane funkcje wymierne (rzeczywiste lub zespolone) rozªo»y¢ na sumy wielomianów oraz funkcji

wymiernychwªa±ciwych:

a) z 5 3z 2 +z

Znale¹¢wszystkiepierwiastkiwymiernepodanychwielomianów:

a) x 3 7

2 x 1

x 2 + 1

3 x

3 :

3 x 3

Zadanie 2.5

[4.5]

Znale¹¢pierwiastkipodanychrówna«kwadratowychidwukwadratowych:

a) z 2 4z+13=0; b) z 2 (32i)z+(55i)=0;

c) z 4 +8z 2 +15=0; d) z 4 3iz 2 +4=0.

Zadanie 2.6 [4.6]

Znaj¡cniektórepierwiastkipodanychwielomianówrzeczywistych,znale¹¢ichpozostaªepierwiastki:

a) W(x)=x 3 3

z 3 +4z 2 +1 ; b) x 5 +3

x 5 +4 ; c) x 4 +2x 3 +3x 2 +4x+5

x 3 +2x 2 +3x+4

Zadanie* 2.13 [5.6]

Zaproponowa¢rozkªadypodanychzespolonychfunkcjiwymiernychwªa±ciwychnazespoloneuªamki

proste(nieoblicza¢nieznanychwspóªczynników):

2+i;

b) W(x)=x 4 2x 3 +7x 2 +6x30; x 1 =13i;

c) W(x)=x 4 6x 3 +18x 2 30x+25; x 1 =2+i;

d) W(x)=x 6 2x 5 +5x 4 6x 3 +8x 2 4x+4; x 1 =i; x 2 = p

2x 2 +7x

2; x 1 =

z 3 +i

z 2 (z2i) 3 ; b)

z 2 +z+5

(z+1)(z+i) 2 [z(1+i)] 3 ; c) iz+7

(z 4 4) 2 :

Zadanie 2.14 [5.7]

Zaproponowa¢ rozkªady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych wªa±ciwych na rzeczywiste

uªamkiproste(nieoblicza¢nieznanychwspóªczynników):

2i;

e) W(x)=x 6 6x 5 +18x 4 28x 3 +31x 2 22x+14; x 1 =1i;x 2 =2 p

3i:

x 2 +2x7

x 3 (x1)(x+5) 2 ; b)

x 3 8x4

(x 2 +4)(x 2 +x+3) 3 ; c)

x 4 +x 3

(x+3) 2 (x 2 4x+5) 2 :

Zadanie 2.7

[4.7]

Niewykonuj¡cdziele«znale¹¢resztyzdziele«wielomianówP przezwielomianyQ,je»eli:

a) P(x)=x 8 3x 3 +5x; Q(x)=x 2 x2;

b) P(x)=x 14 4x 10 +x 2 +

Zadanie* 2.15

[5.8]

Podanezespolonefunkcjewymiernewªa±ciwerozªo»y¢nazespoloneuªamkiproste:

2x; Q(x)=x 2 +2;

c) P(x)=x 30 +3x 14 +2; Q(x)=x 3 +1;

d) P(x)=x 100 +2x 51 3x 2 +1; Q(x)=x 2 1;

e) P(x)=x 5 +x2; Q(x)=x 2 2x+5;

f) P(x)=x 6 +x50; Q(x)=x 3 +8.

Zadanie 2.8 [5.1]

Poda¢przykªadywielomianówzespolonychnajni»szegostopnia,którespeªniaj¡podanewarunki:

a) liczby0;15is¡pierwiastkamipojedynczymi,aliczby1;3+is¡pierwiastkamipodwójnymi

tegowielomianu;

b) liczba 4i jest pierwiastkiem podwójnym, a liczby 3;5 pierwiastkami potrójnymi tego wielo-

mianu.

Zadanie 2.9 [5.2]

Poda¢przykªadywielomianówrzeczywistychnajni»szegostopnia,którespeªniaj¡podanewarunki:

a) liczby1;5; p

z 2

(z1)(z+2)(z+3)

; b)

(z 2 1) 2 ;

c) 16i

z 4 +4 ;

z 2 +2z

(z 2 +2z+2) 2 :

Zadanie 2.16

[5.9]

Podanerzeczywistefunkcjewymiernewªa±ciwerozªo»y¢narzeczywisteuªamkiproste:

4) ; b)

x 2

x 4 1 ; c)

(x+1)(x 2 +1) 2 ;

1)(x

2)(x

3)(x

x 2 +2x

(x 2 +2x+2) 2 ;

x 3 +x

; f)

x 2 +1

x 3 (x+1) 2 :

2oraz13is¡pierwiastkamipojedynczymitegowielomianu;

b) liczba 1+i jest pierwiastkiem pojedynczym, liczby i oraz 3 s¡ pierwiastkami podwójnymi, a

liczba4+3ijestpierwiastkiempotrójnymtegowielomianu.

3.Macierzeiwyznaczniki

Zadanie 3.1 [6.1]

a) Zaproponowa¢ opis, w formie macierzy zªo»onej z liczb caªkowitych, poªo»enia gur w grze w

szachy.Wjakisposóbmo»nabysprawdzi¢,czydanamacierzodzwierciedlapozycj¦mo»liw¡do

uzyskaniawczasiegry?

6 x 2 3

3 ; b) 4x 4 +4x 3 +3x 2 x1;

c) 4x 3 +x1; d) x 5 + 4

b) Zaproponowa¢zapis,wpostacijednejmacierzy,odlegªo±cidrogowychikolejowychwkmmi¦dzy

stolicamiwszystkichwojewództwwPolsce.

c) Ekranmonitorakomputerowegojestzªo»onyz1024768punktów.Ka»dypunktmo»e±wieci¢

jednymz20kolorów.Koloroweobrazynaekraniemo»nazapisywa¢wpostacimacierzyzªo»onej

zliczbcaªkowitych.Zaªo»y¢,»eekranmonitoraprzedstawiapierwsz¡¢wiartk¦ukªaduwspóªrz¦d-

nych,zpocz¡tkiemukªaduwlewymgórnymroguekranu.Zapisa¢wformiemacierzyprzybli»ony

ksztaªt¢wiartkikolorowejt¦czyzªo»onejzpier±cienikoªowych(rysunek).

X+Y =

2 0 0

0 2 0

0 0 2

;

: X+

1 1

1 3

1 0

0 1

Y =

;

0 0 2

0 2 0

2 0 0

3 1

1 1

2 1

1 1

X+Y =

XY =

;

Zadanie 3.4 [6.4]

Obliczy¢kilkapocz¡tkowychpot¦gmacierzyA;nast¦pniewysun¡¢hipotez¦opostacimacierzyA n ,

gdzien2 N iuzasadni¢j¡zapomoc¡indukcjimatematycznej,je»eli:

a) A=

200250300350400

q q q q q

Narysunku:

0{oznaczakolorbiaªy,

1{oznaczakolorniebieski,

2{oznaczakolorzielony,

3{oznaczakolor»óªty,

4{oznaczakolorczerwony.

1 1

0 1

2 1

3 2

b) A=

2 3

;

4 0

cos sin

sin cos

chx shx

shx chx

c) A=

,gdzie2 R ; d) A=

;gdziex2 R ;

0 0 1

0 1 0

1 0 0

a 1 0

0 a 1

0 0 a

e) A=

;

f*) A=

,gdziea2 R ;

d) Narysunkachprzedstawionokonstrukcepr¦towezponumerowanymiw¦zªami:

1)pªaski czworok¡tzprzek¡tnymi; 2)czworo±cian; 3)konstrukcja przestrzenna

g*) A=[a ij ,gdziea ij =0dlaij,i;j=1;2;:::;k:

Zadanie 3.5 [6.5]

Ukªadaj¡codpowiednieukªadyrówna«znale¹¢wszystkiemacierzezespoloneX speªniaj¡cepodane

równaniamacierzowe:

a a a a a a a

H H H H H H

" " " " Z Z Zr

1 1 0

0 1 0

0 2 1

1 1 0

2 2

1 2

2 3

;

b) X=X T

;

1 1

2 1

3 1

4i 0

62i 2

c) XiX T =

;

Zapisa¢wpostacimacierzyschematbezpo±rednichpoª¡cze«mi¦dzyw¦zªami.

1 1 2

0 1 1

4 1

3 1

0 1

4 1

3 0

;

X=X

;

Z adanie 3.2

[6.2]

1 1

0 1

0 0

g) X 2 =

h) X 2 =

Obliczy¢:

;

1 1

1 0

1 1

0 2

2 0

1 1

3 0

0 4

5 1

1 1

3 2

i) XX T =

,X jesttumacierz¡stopnia2; j) XX T =X 2 +

a) 2

; b)

;

Zadanie 3.6 [6.6]

Korzystaj¡czwªasno±cidziaªa«zmacierzamiorazwªasno±cioperacjitransponowaniamacierzyuza-

sadni¢podaneto»samo±ci:

a) (ABC) T = C T B T A T , gdzie A;B;C s¡ macierzami o wymiarach odpowiednio nm, mk,

kl;

b) (AB) 2 =A 2 2AB+B 2 ,gdzieAiBs¡przemiennymimacierzamikwadratowymitychsamych

stopni.

Uw aga. Mówimy,»emacierzeAiB s¡przemienne,gdyspeniaj¡warunekAB=BA:

c*) (A+I) n =

2 3 5

1 4 2

3 1 1

1 5 3

2 3 1

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

; d)

;

4 1 0

1 0

1 3 5

2 4 6

4 5

; f)

1 2 3 4 5

Z adanie 3.3

gdzieAiI s¡macierzamikwadratowymitychsamychstopni,przyczymI jestmacierz¡jednost-

kow¡.

Zadanie 3.7

A n +

A n1 +

A n2 +:::+

A+

[6.3]

Rozwi¡za¢podanerównaniamacierzoweiukªadyrówna«macierzowych:

a) X+

= 1

;

1 0 0

0 2 0

0 0 2

0 4 0

[7.1]

Obliczy¢podanewyznacznikidrugiegoitrzeciegostopnia:

3 0 1

0 4 0

1 0 2

1 0 1

0 1 0

1 0 1

2 0 2

0 4 0

2 0 0

1 1 1

1 i 1+i

b) 2Y

;

3 2

8 5

; b)

sin cos

; c)

1 2 3

1 3 6

; d)

i 1 0

1i 0 1

Zadanie 3.8 [7.2]

Napisa¢rozwini¦ciaLaplace'apodanychwyznacznikówwzgl¦demwskazanegowierszalubkolumny:

1 2 3 4

,drugiwiersz.

. . .

1 1 ::: 4 4

1 1 ::: 1 4

. . .

. . . . . .

; b)

1 2 3 ::: n

2 2 3 ::: n

3 3 3 ::: n

. . .

; c*)

1 1 1 ::: 1

1 2 2 2 ::: 2 n1

1 3 3 2 ::: 3 n1

. . .

i 1+i 2

. . .

n n n ::: n

. . .

1 n n 2 ::: n n1

. . .

12i 3 i

4 1i 3+i

,trzeciakolumna; b)

0 5 3 7

1 3 5 9

2 2 4 6

Zadanie 3.14 [8.3]

Stosuj¡c operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczników (powoduj¡ce

obni»enieichstopni)obliczy¢:

Zadanie 3.9 [7.3]

Stosuj¡crozwini¦cieLaplace'aobliczy¢podanewyznaczniki.Wyznacznikirozwin¡¢wzgl¦demwier-

szalubkolumnyznajwi¦ksz¡liczb¡zer.

4 2 1 1

1 1 0

1 4 0

; c)

3 2 0 5

; b)

3 2 0 0 0

0 3 2 0 0

0 0 3 2 0

0 0 0 3 2

2 0 0 0 3

2 7 1 3 2

0 0 1 0 1

2 0 7 0 2

3 2 4 5 3

1 0 0 0 1

2 3 5

4 0 6

; b)

2 5 2

3 0 3

; c)

1 1 0 2

3 0 1 3

2 2 0 3

;

2 1 2 2

0 2 5 0

5 0 3 4

; f)

1 0 1 1

; e)

1 2 1 0 3

2 4 5 1 6

1 2 3 0 2

2 2 1 1 1

2 4 2 0 3

2 7 1 3 2

0 2 1 3 1

2 4 7 2 2

3 2 4 5 3

1 2 0 1 1

2 1 1 2

1 2 1 3

3 1 4 0

Zadanie* 3.10 [7.4]

Korzystaj¡czzasadyindukcjimatematycznejuzasadni¢podaneto»samo±ci(noznaczastopie«wy-

znacznika):

Zadanie* 3.15

[8.4]

= 4 n+1 1

a ::: 0 0 ::: b

. . .

5 1 0 ::: 0 0

4 5 1 ::: 0 0

0 4 5 ::: 0 0

. . .

. . . . . .

0 ::: a b ::: 0

0 ::: b a ::: 0

. . . . . .

. . .

Korzystaj¡czalgorytmuChióobliczy¢podanewyznaczniki:

4 2 3

3 2 1 1

; c)

3 4 1 0 1

2 1 5 1 2

1 3 2 1 4

2 1 1 5 2

3 1 1 1 1

a) W n =

. . .

0 0 0 ::: 5 1

0 0 0 ::: 4 5

. . .

; b) W 2n =

a 2 b 2

n ;

; b)

1 0 1 2

2 1 1 1

1 1 1 0

2 5 1

1 6 2

. . .

b ::: 0 0 ::: a

. . .

. . . . . .

= sin[(n+1)x]

2cosx 1 0 ::: 0 0

1 2cosx 1 ::: 0 0

0 1 2cosx::: 0 0

. . .

Zadanie 3.16 [8.5]

Korzystaj¡cztwierdzeniaopostacimacierzyodwrotnejznale¹¢macierzeodwrotnedopodanych:

c) W n =

;

2 7 3

3 9 4

1 5 3

. . .

0 0 0 :::2cosx 1

0 0 0 ::: 1 2cosx

. . .

3 5

6 2

cos sin

sin cos

sinx

; b)

,gdzie2 R ; c)

gdziex6=k orazk2Z:

Zadanie 3.11

Zadanie 3.17

[8.6]

[7.5]

Korzystaj¡czmetodybezwyznacznikowejobliczy¢macierzeodwrotnedopodanych:

4 1 0 0 1

4 1 2 3 4

Nieobliczaj¡cwyznacznikówznale¹¢rozwi¡zaniapodanychrówna«:

1 2 2

2 1 2

2 2 1

1 1 1 1

=0; b)

1 2 3 4

=0:

0 0 2 1

0 1 1 1

2 1 1 2

2 3 1 2

1 1 1 1

1 0 2 6

; b)

; c)

2 5x 2 2

3 3 5x 3

4 4 4 5x

1 x 3 4x

1 2 x 4

1 x x x+3

Zadanie 3.18

[8.7]

Zadanie 3.12

[8.1]

Rozwi¡za¢podanerównaniamacierzowewykorzystuj¡coperacj¦odwracaniamacierzy:

a) X

1 1

3 4

2 1

3 4

3 1

2 1

1 3

1 2

3 3

2 2

Obliczy¢podanewyznacznikiwykorzystuj¡cwyst¦puj¡cewnichregularno±ci:

; b)

;

; c)

1 1 1 3 3 3

0 1 1 3 3 0

0 0 1 3 0 0

0 0 3 1 0 0

0 3 3 1 1 0

3 3 3 1 1 1

1 2 3 4

; b)

1 1 1 1 1

1 2 2 2 2

1 2 3 3 3

1 2 3 4 4

1 2 3 4 5

0 3

5 2

1 2

3 4

1 3

2 1

5 6

7 8

+4X

; d) 3X+

4 3 2 1

5 6 7 8

8 7 6 5

Zadanie 3.19

[8.8]

Jakies¡mo»liwewarto±ciwyznacznikamacierzyrzeczywistejAstopnian,je»eli:

a) A 2 =8A 1 ; b) A 3 A=0; c) A T =4A 1 ?

Zadanie 3.13

[8.2]

Obliczy¢podanewyznacznikistopnian2wykorzystuj¡cwyst¦puj¡cewnichregularno±ci:

4 4 ::: 4 4

1 4 ::: 4 4

. . .

Algebra liniowa 1 - oprac. dr Teresa Jurlewicz.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: