AGH e-Fizyka 02 Mechanika 2.doc

7. Praca i energia

   Znajomość zagadnień związanych z szeroko rozumianym pojęciem energii jest konieczna dla wszelkich rozważań zarówno technologicznych, ekonomicznych, ekologicznych jak i społecznych. Żeby się o tym przekonać wystarczy sprawdzić jak istotną pozycją w budżecie domowym stanowią wydatki związane z zapotrzebowaniem na energię (zakupy żywności, opłaty za prąd, gaz, ogrzewanie czy paliwo do samochodu).
   Z energią związana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Do zasady tej będziemy się odwoływali wielokrotnie w kolejnych rozdziałach dotyczących różnych zagadnień fizyki.
W mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać w bardzo prosty sposób ruch ciał, stanowi alternatywę do stosowania zasad dynamiki Newtona.

7. 1 Praca wykonana przez siłę stałą

   W najprostszym przypadku, punkt materialny przemieszcza się pod wpływem stałej siły F. Traktując przesunięcie s jako wektor o długości równej drodze jaką przebywa ten punkt i kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu, możemy zdefiniować pracę W.

gdzie α jest kątem między kierunkami siły i przesunięcia. Zwróćmy uwagę, że kąt α może być różny od zera bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Dzieje się tak gdy działają jeszcze inne siły (np. ciężar, tarcie). Ale nawet gdy działała tylko jedna siła to i tak ciało nie musi poruszać się w kierunku jej działania np. siła grawitacji w rzucie ukośnym. Rozpatrzmy teraz następujący przykład.

Przykład
Ciało o masie m ( na przykład sanki) jest ciągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F (rysunek poniżej), a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt α z poziomem. Praca jaką wykonał człowiek ciągnący to ciało na drodze s jest zgodnie z równaniem (7.1) równa Fscosα . Zauważmy, że pracę wykonuje tylko składowa Fs = Fcosα styczna do przesunięcia s. Natomiast składowa pionowa Fsinα działa w górę zmniejszając nacisk ciała na powierzchnię.

Rys. 7.1.  Ciało o masie m ciągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F  tworzącą kąt α z poziomem

Ze wzoru (7.1) wynika, że praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie gdy α < 90°, jak i ujemne gdy  α > 90°. W omawianym przykładzie, poza siłą ciągnącą ciało, działa jeszcze siła tarcia kinetycznego T (rysunek 7.1) przeciwstawiająca się ruchowi (α = 180°). Praca wykonana przez siłę tarcia jest ujemna W = T·s = Ts cos180° = -Ts.
W szczególności praca może być równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia (α = 90°, cos90° = 0). Przykładem może być siła dośrodkowa. Przyspieszenie dośrodkowe jest prostopadłe do toru więc siła dośrodkowa nie wykonuje pracy.
   Rozpatrzmy jeszcze raz powyższy przykład ale w sytuacji gdy człowiek ciągnący ciało porusza się ze stałą prędkością. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że wtedy Fwyp = 0. W kierunku poziomym Fwyp = Fcosα − T = 0, zatem "dodatnia" praca wykonana przez człowieka jest równa co do wartości bezwzględnej "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę tarcia.

   Teraz gdy znasz już definicję pracy spróbuj samodzielnie odpowiedzieć na proste pytania związane z następującym ćwiczeniem: 

   Wzór (7.1) pozwala obliczyć pracę dla siły stałej; do obliczeń "podstawiamy" za F konkretną jej wartość. Teraz poznamy jak obliczyć pracę gdy siła zmienia się, przyjmuje różne wartości.

7.2 Praca wykonana przez siłę zmienną

   Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F(x), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia x1 do położenia x2. Jak już mówiliśmy wzór W = F·s pozwala obliczyć pracę dla stałej siły F . Natomiast gdy wartość siły zmienia się, na przykład tak jak na rysunkach 7.3 (linia ciągła) trzeba stosować inny algorytm.

Rys. 7.3a.  Zmienna siła F(x) przybliżona ciągiem stałych wartości Fi

Zacznijmy od zastosowania przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie x na n jednakowych odcinków Δx tak jak na rysunku. Wewnątrz takiego przedziału Δx przyjmujemy (i to jest to przybliżenie), że siła jest stała i możemy już teraz skorzystać ze wzoru (7.1) do obliczenia pracy w dowolnym przedziale Δx

gdzie Fi jest wartością siły na i -tym odcinku Δx. Następnie sumujemy prace wykonane na poszczególnych odcinkach otrzymując całkowitą pracę

Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchni kolejnych prostokątów o podstawie Δx i wysokości Fi.

   Możemy "poprawić" nasze przybliżenie. W tym celu, w kolejnym kroku  dzielimy przedział (x1, x2) na więcej (mniejszych) odcinków Δx, tak jak pokazano na rysunku 7.3b.

Rys. 7.3b.  Zmienna siła F(x) przybliżona ciągiem stałych wartości Fi

Ponownie obliczamy pracę dla każdego odcinka i powtarzamy procedurę sumowania dla otrzymania pracy całkowitej. Widać, że nowe przybliżenie jest lepsze. Wartości sił Fi dla poszczególnych przedziałów są znacznie bliższe rzeczywistej funkcji F(x), a co za tym idzie obliczona wartość pracy całkowitej jest bliższa wartości rzeczywistej (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą). Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy) Δx → 0.
Stosujemy tę samą procedurę obliczając całkowitą pracę

Tak w matematyce definiujemy całkę. Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzywą F(x) w zadanym przedziale (patrz rysunek 7.3c). Ta procedura odpowiada też z definicji liczeniu wartości średniej  co zgadza się z intuicyjnym podejściem.

Rys. 7.3c.  Pole powierzchni pod krzywą F(x) równe liczbowo pracy wykonanej przez siłę na odcinku x1 – x2

   Żeby obliczyć pracę wykonaną przez zmienną siłę trzeba albo umieć obliczyć całkę (ewentualnie poszukać rozwiązania w tablicach) lub umieć obliczyć pole powierzchni pod krzywą co w szczególnych przypadkach nie jest trudne.

Przykład
Rozważmy sprężynę zamocowaną jednym końcem i rozciąganą siłą F tak, że jej drugi koniec przemieszcza się o x. Siła wywierana przez sprężynę Fs = - kx  jest siłą przywracającą równowagę. Aby rozciągnąć sprężynę musimy zatem przyłożyć siłę równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną tzn. F = k...