Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz.2.pdf

KURS

Dyskretne przekształcenie

Fouriera, część 2

Dyskretne przekształcenie Fouriera DFT (Discrete

Fourier Transform) jest, obok procedur ﬁltracji

cyfrowej, jednym z podstawowych, a zarazem

najbardziej skutecznych narzędzi cyfrowego

przetwarzania sygnałów. Poza istotnym

znaczeniem teoretycznym DFT odgrywa ważną

rolę w zagadnieniach związanych z układowymi

realizacjami różnorodnych algorytmów

przetwarzania sygnałów. Wynika to z istnienia

bardzo wydajnego algorytmu obliczania

dyskretnej transformaty Fouriera, zwanego szybką

transformatą Fouriera FFT (Fast Fourier Transform).

w zależności (2.1) podsta-

wimy σ=0, to transforma-

ta Laplace’a nabiera sen-

su widma sygnału. Takie

przekształcenie sygnału –

którego jądrem jest zespo-

lona eksponenta często-

tliwości – po raz pierw-

szy zaprezentował Fourier

w formie tzw. przekształ-

cenia dwustronnego o po-

staci

dową rzeczywistą i urojo-

ną. Możemy stwierdzić, że

całka Fouriera daje w efek-

cie składową rzeczywistą −

wskazującą na stopień ko-

relacji analizowanego sy-

gnału z funkcją cos(2π ft )

i składową urojoną − skore-

lowaną z funkcją sin(2π ft ).

W tym momencie pojawia

się pytanie – jak należy

rozumieć wzmiankowaną

wyżej korelację?

Rozważmy, dla przej-

rzystości, tylko składową

rzeczywistą transformaty

Fouriera

∞

�

( ) ()

�

e 2

−

(2.3)

Zależność (2.3) nosi na-

zwę prostego przekształce-

nia Fouriera . Rzadziej sto-

sowane w praktyce prze-

kształcenie odwrotne i dys-

kretne przekształcenie od-

wrotne ( IDFT – Inverse

Discrete Fourier Transform ),

transformujące widmo sy-

gnału w jego postać czaso-

wą, nie będzie przedmio-

tem naszych rozważań.

Równanie (2.3) deﬁniu-

jące przekształcenie Fourie-

ra ma dość enigmatyczny

charakter i często w trakcie

typowego wykładu aka-

demickiego jest gubiony

jego głęboki, choć w isto-

cie oczywisty sens ﬁzycz-

ny. Aby odczytać z zapi-

su (2.3) jego interpretację

ﬁzyczną, posłużymy się

wzorem Eulera − wiążą-

cym eksponentę zmiennej

urojonej z funkcjami har-

monicznymi − o postaci:

e –jw =cosw–jsinw (2.4)

Po zastosowaniu wzoru

Eulera przekształcenie Fo-

uriera przyjmuje postać

−

∞

W pierwszej części cy-

klu poznaliśmy problemy

pojawiające się podczas

prób estymacji widma za

pomocą oscyloskopu cy-

frowego wyposażonego

w funkcję FFT [1]. Odro-

bina matematyki zasto-

sowana w części bieżącej

jest niezbędna dla łatwego

„przyswojenia” idei trans-

formacji Fouriera i „gład-

ko” wprowadza w zastoso-

wania z użyciem procedu-

ry FFT, które będą zilu-

strowane w artykule zamy-

kającym ten krótki cykl.

W ramach części drugiej

przybliżona zostanie pro-

blematyka przekształcenia

Fouriera sygnału ciągłego

i dyskretnego.

cję rzeczywistą lub ze-

spoloną. Przykładem może

być przekształcenie Fourie-

ra. Reprezentacje dyskretne

przyporządkowują rozważa-

nemu sygnałowi skończony

lub przeliczalny ciąg liczb

rzeczywistych lub zespo-

lonych. Jako analogiczny

przykład można wskazać

reprezentację sygnału okre-

sowego za pomocą szere-

gu Fouriera.

Z praktyki bardzo do-

brze znane jest inżynierom

elektronikom przekształce-

nie Laplace’a o postaci:

� � �

fX C

( ) () ( )

� � �

∞

�

( ) () ( )

cos

(2.6)

Widzimy, że dla danej

częstotliwości f część rze-

czywista transformaty Fo-

uriera jest całką po cza-

sie, w zakresie ±∞, z ilo-

czynu rozpatrywanego sy-

gnału ciągłego x C ( t ) i sy-

gnału kosinusoidalnego

o częstotliwości f .

Wyobraźmy sobie, że

sygnał x C ( t ) jest identycz-

ny z sygnałem harmonicz-

nym cos(2π ft ), czyli

x C ( t )=cos(2π ft ) (2.7)

Wówczas, jako że obie

funkcje są całkowicie sko-

relowane (tzn., gdy jedna

rośnie, to druga również −

w sposób identyczny − ro-

śnie oraz, gdy jedna male-

je, to – podobnie jak po-

przednio – druga również

maleje), wynik całki jest

maksymalny, ale niestety,

co łatwo wykazać, równy

−

∞

() ()

�

−

(2.1)

w której X C (s) oznacza

transformatę Laplace’a cią-

głego sygnału x C ( t ), okre-

ślonego w dziedzinie cza-

su. Dziedziną transformaty

Laplace’a jest zbiór liczb

zespolonych, a zmienna s,

zwana często pulsacją ze-

spoloną, ma postać

s=σ+jv (2.2)

Przekształcenie Laplace-

’a, będące podstawą tzw.

metody operatorowej , od-

grywa nieocenioną rolę

w analizie i syntezie ob-

wodów elektrycznych, na-

tomiast w teorii sygnałów

duże znaczenie ma, wy-

wodzące się z niego, prze-

kształcenie Fouriera. Jeśli

Przekształcenie Fouriera

sygnału ciągłego

Ze względu na złożo-

ność sygnałów występują-

cych we współczesnej te-

lekomunikacji analiza ich

wartości chwilowych sta-

je się kłopotliwa, a cza-

sami wręcz niemożliwa.

Z tego powodu właściwa

reprezentacja analityczna

sygnałów nabiera wręcz

podstawowego znaczenia.

Ogólnie wyróżnia się cią-

głe i dyskretne reprezenta-

cje sygnałów. Reprezenta-

cje ciągłe przyporządkowu-

ją sygnałowi pewną funk-

∞

( ) () ( ) () ( )

�

∞

�

cos

� � �

( ) ( ) ( ) ∞

� � �

�

X C

�

cos

⋅

−

∞

−

∞

( ) ( ) ( ) ∞

( ) () ( ) () ( )

−

�

sin

(2.8)

Wynika z tego, że prze-

kształcenia Fouriera w sen-

sie zwykłym – o jakim

cały czas mowa – nie

⋅

cos

�

(2.5)

Rozdzieliliśmy zespo-

loną eksponentę na skła-

−

∞

Elektronika Praktyczna 4/2006

107

�

KURS

można zastosować do

wszystkich sygnałów.

Można wykazać, że wa-

runkiem dostatecznym ist-

nienia dla każdej częstotli-

wości f prostej transforma-

ty Fouriera jest bezwzględ-

na całkowalność sygnału

[5], czyli transformowany

sygnał musi spełniać wa-

runek:

∞

�

x C d

(2.9)

Jest to poważna wada

tego przekształcenia, gdyż

nie obejmuje ono tak

ważnych sygnałów teore-

tycznych jak cosω 0 t, (co

pokazano powyżej), sinω 0 t ,

1 ( t ), exp(jω 0 t ) itp. War-

to w tym miejscu uzmy-

słowić sobie fakt, że har-

moniczny sygnał rzeczy-

wisty, który obserwujemy

np. na oscyloskopie – ści-

śle rzecz ujmując – nie

może być opisany funk-

cją sinus, bądź kosinus,

gdyż sygnał ten formalnie

musiałby trwać od –∞ do

∞. Z problemem tym po-

radzono sobie, deﬁniując

przekształcenie Fouriera

w sensie granicznym [5],

które koncepcyjnie przy-

pomina deﬁnicję dystry-

bucji obowiązującą w ra-

mach elementarnej teorii

dystrybucji.

Z uwagi na fakt, że

rzeczywiste przebiegi są

zawsze sygnałami o ograni-

czonej energii, spełniający-

mi warunek (2.9), w prak-

tyce transformata (2.5) za-

−

∞

Rys. 11. Analizowany sygnał (linia ciągła) i sygnał cos(2 π ft) (linia przerywana) – łatwo za-

uważyć pełną korelację

wsze osiąga wartość skoń-

czoną. Załóżmy przykła-

dowo, że analizowanym

sygnałem jest narastający

i malejący do zera sygnał

harmoniczny o częstotli-

wości f , przedstawiony na

rys. 11 , dany wzorem

utożsamiany ze współ-

czynnikiem korelacji, bę-

dącym ścisłą miarą kore-

lacji obu sygnałów. Gdy-

by współczynnik tłumie-

nia sygnału harmoniczne-

go był różny od jedności,

rozpatrywana całka rów-

nież miałaby inną war-

tość. Dla nas sygnał x C 0 ( t )

jest przykładowym sygna-

łem, który posłuży nam

do badania zależności fa-

zowych.

Tematykę tę będziemy

kontynuować w następ-

nym odcinku.

Andrzej Dobrowolski

adobrowolski@wat.edu.pl

http://adobrowolski.wel.

wat.edu.pl

przedstawiony na rys. 11 , dany wzorem

() ( )

= 2

e -

cos

(2.10)

Sygnał ten osiąga mak-

simum dla t =0 i jest oczy-

wiste, że jego widmo za-

wiera składową o częstotli-

wości f . Obliczmy zatem

część rzeczywistą transfor-

maty Fouriera

∞

Re 0

� � �

( ) ( ) ( )

� � �

�

−

cos

⋅

�

−

∞

( ) ( ) ( ) 1

cos

(2.11)

Jednostkowy wynik nie

jest regułą i nie może być

108

Elektronika Praktyczna 4/2006

() ∞

⋅

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: