top-egz1-08-rozw.pdf

(70 KB) Pobierz
107989039 UNPDF
TOPOLOGIA
WPPTI,sem.letni
EGZAMINI
WrocÃlaw,pi»atek13czerwca2008
ZADANIE1.(7p)
Danajestprzestrze¶nmetryczna( X;d ).Niech
d 1 ( x;y )=min fd ( x;y ) ; 1 g:
Sprawd¶z,
A)_ze d 1 jestmetryk»a(sprawd¶zstaranniewarunektr¶ojk»ata);
B)_ze d 1 (wiedz»ac,_zejestmetryk»a)jestr¶ownowa_znaz d .
ROZW.
A)mamy:
d 1 ( x;y )+ d 1 ( y;z )=min fd ( x;y ) ; 1 g +min fd ( y;z ) ; 1 g =
min fd ( x;y )+ d ( y;z ) ;d ( x;y )+1 ; 1+ d ( y;z ) ; 1+1 g¸
min fd ( x;z ) ; 1 ; 1 ; 1 g = d 1 ( x;z )
B)oczywi¶scie d 1 ·d wi»eczbie_zno¶s¶cw d implikujezbie_zno¶s¶cw d 1 .Naodwr¶ot:
Niechci»ag x n !x w d 1 .Toznaczy,_zedladostateczniedu_zego n , d 1 ( x n ;x ) < 1.
Alewtedy d 1 ( x n ;x )= d ( x n ;x )iskorojestzbie_zno¶s¶cw d 1 toiw d .
ZADANIE2.(8p)
Udowodnij,_zezupeÃlno¶s¶cmetryki d naprzestrzeni X jestr¶ownowa_znazponi_zszym
warunkiem.Trzebaudowodni¶cimplikacjewobiestrony:
A)= )
B) ( =
Warunek:Je¶sli F n jestzst»epuj»acymci»agiemniepustychzbior¶owdomkni»etychw X
n F n 6 = ; .
ROZW.
A)ZakÃladamyzupeÃlno¶s¶c.Zka_zdegozbioru F n wybieramypojednympunkcie x n .
Otrzymanyci»agjestpodstawowy,gdy_zwszystkieelementy x n oindeksachpowy_zej
n 0 s»aw F n 0 ,awi»ecichwzajemneodlegÃlo¶scinieprzekraczaj»a¶srednicyzbioru F n 0 ,
kt¶oradladostateczniedu_zego n 0 jestodpowiedniomaÃla.ZzupeÃlo¶scici»ag x n ma
granic»e x .Zdomkni»eto¶scika_zdegozezbior¶ow F n , x2F n (boci»ag x n odmiejsca
n le_zyw F n ).Zatem x nale_zydoprzekrojuwszystkich F n ,czyliprzekr¶ojtenjest
niepusty.
B)ZaÃl¶o_zmytenwarunekozbiorach.We_zmyci»agpodstawowyaleniezbie_zny x n .
Poniewa_zci»agpodstawowymaj»acypodci»agzbie_znyjestzbie_zny,wi»ecnaszci»ag
niemapodci»ag¶owzbie_znych.Zatemzbiory F n = fx n ;x n +1 ;:::g s»adomkni»ete.
Ponadtos»azst»epuj»ace,aich¶sredniced»a_z»adozera(podstawowo¶s¶c),orazichprzekr¶oj
jestpusty(bobrakpodci»ag¶owzbie_znychimplikujete_z,_zeka_zdypunktwyst»epuje
wtymci»aguconajwy_zejsko¶nczniewielerazy,zatemniewyst»epujewprzekroju).
Sprzeczno¶s¶c.
o¶srednicachmalej»acychdozera,to T
ZADANIE3.(8p)
A)Udowodnij,_zeje¶sli f : X!Y jestfunkcj»aci»agÃl»azjednejprzestrzenimetrycznej
wdrug»a,tojejwykres F = f ( x;f ( x )): x2Xg jestzbioremdomkni»etymw X£Y
zmetryk»amaximum.PodajprzykÃladnato,_zeodwrotnaimplikacjaniezachodzi
(alewe¶zpoduwag»e,com¶owipunktB)).
B)Wyka_z,_zeje¶sli Y jestzwarta,todomkni»eto¶s¶cwykresu F implikujeci»agÃlo¶s¶c f .
ROZW.
A)Niechci»agpunkt¶owzwykresu( x n ;f ( x n ))zbiegadojakiego¶s( x;y )wprodukcie.
Oznaczato,_ze x n !x i f ( x n ) !y .Zci»agÃlo¶sci, f ( x n )musizbiega¶cdo f ( x ),czyli
y = f ( x ).St»adpunktgraniczny( x;y )to( x;f ( x ))inale_zyondowykresu.To
dowodzidomkni»eto¶sciwykresu.
Niech X =[0 ; 1], Y =[0 ; 1), f ( x )= x ztym,_ze f (1)=0.Wykresjestdomkni»ety
wprodukcie,bo,,brakuj»acy"punkt(1 ; 1)nienale_zydoprzestrzeniproduktowej.
Funckjaoczywi¶scieniejestci»agÃlaw x =1.
B)Niech Y b»edziezwartaawykresdomkni»ety.Niech x n !x w X .Wtedyz
ka_zdegopodci»agu f ( x n )mo_znawybra¶cpodci»agzbie_zny.Trzebapokaza¶c,_zezawsze
dotejsamejgranicy f ( x ),todazbie_zno¶s¶ccaÃlegoci»agu f ( x n )do f ( x )czylici»agÃlo¶s¶c.
Wi»ecwe¶zmypodci»ag f ( x n k )zbie_znydojakiego¶s y .Wtedyci»ag( x n k ;f ( x n k ))zbiega
wprodukciedo( x;y ).Zdomkni»eto¶sciwykresu,punktten(czylipara( x;y ))nale_zy
dowykresu.Aletooznacza,_ze y = f ( x ),cowÃla¶snietrzebabyÃlopokaza¶c.
ZADANIE4.(8p)
A)=B)Znajd¶zgranic»e(wmetrycesuprem u m)ci»agurekurencyjnegofunkcjici»agÃlych
0 f n ( t ) dt +1.
0 f ( t ) dt +1.JesttoodwzorowanieLipschitzowskiezestaÃl»a 1 2 ,boje¶sli
dwiefunkcjes»aoddaloneo(conajwy_zej) r ,toichcaÃlkiodzerado x s»aoddalone
oconajwy_zej rx .Poniewa_z x· 1 2 ,tomamyszacowanieprzez 1 2 r .Nototeraz
wystarczyznale¶z¶cpunkt(czylifunkcj»e)staÃlywzgl»edem T .Czylifunkcj»espeÃlniaj»ac»a
Z x
f ( x )=
f ( t ) dt +1 :
0
ÃLatwowida¶c,_ze f ( x )= e x speÃlniator¶ownanie.Czylici»agnaszd»a_zydo e x .
ZADANIE5.(6p)
A)=B)PodajprzykÃladmetrykinaprostejRr¶ownowa_znejzezwykÃl»ametryk»a d
,,moduÃlr¶o_znicy",kt¶orajestograniczonaaleniecaÃlkowicieograniczona.
Wskaz¶owka:wykorzystajco¶s,cojestwzadaniachztejlisty.
ROZW.Wystaczywzi»a¶cmetryk»e d 1 =min fd; 1 g .Przestrze¶n(R ;d 1 )jestograni-
czona(zawartawkuliopromieniu1wok¶oÃlzera(lubdowolnegoinnegopunktu)).
NatomiastniejestcaÃlkowicieograniczona,bokuleopromieniu 1 2 s»atakiesamejak
dla d iniepokryjemyprostejsko¶nczeniewielomatakimikulami.R¶ownowa_zno¶s¶c d 1
z d wynikazzadania1.
ZADANIE6.(7p)
Udowodnij,_zenaprostejzezwykÃl»ametryk»azbi¶or A =[0 ; 1) [ (2 ; 3] [ [4 ; 5) [¢¢¢
jesttypu
A) G ±
B) F ¾ .
okre¶slonychnaprzedziale[0 ; 1 2 ]: f 1 ( x )= p x , f n +1 ( x )= R x
gdzie g ( x )= R x
ROZW.Na C ([0 ; 1 2 ])(zmetryk»asupremum)rozwa_zamyodwzorowanie T ( f )= g
ROZW.
A)Niech U n =( ¡ 1 n ; 1) [ (2 ; 3+ 1 n ) [ (4 ¡ 1 n ; 5) [::: .Jesttozbi¶orotwartyiprzekr¶oj
(przeliczalny)zbior¶ow U n daje A .Wi»ec A jesttypu G ± .
B)Niech F n =[0 ; 1 ¡ 1 n ] [ [2+ 1 n ; 3] [ [4 ; 5 ¡ 1 n ] [::: .Jesttozbi¶ordomkni»ety(ale
niedlatego,_zejestsum»aprzedziaÃl¶owdomkni»etych,tylkodlatego,_zedopeÃlnienie
jestotwarte).Zbi¶or A jestsum»a(przeliczaln»a)zbior¶ow F n ,czylijesttypu F ¾ .
ZADANIE7.(6p)
A)Podajde¯nicj»ezbioruIkategorii(de¯niuj»acpoj»eciapo¶srednie).
B)SformuÃlujtwierdzenieBaire'a.
TomaszDownarowicz

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin