Całki niewłaściwe-2007-2008[1].pdf

(98 KB) Pobierz
108838135 UNPDF
Całki niewłaściwe
1
Całki niewłaściwe.
Całki niewłaściwe to całki postaci:
+
¥
f )
( , ò ¥
x
dx
b
f )
( , ò
x
dx
+
¥
f )
( , oraz ò
x
dx
b
f )
( , gdy funkcja f jest
x
dx
ò
a
-
-
¥
a
a , .
Definicja. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale
a
,
¥
)
( ( b
-
¥
,
) i całkowalną na każdym przedziale
a ,
,
b
a ( b
<
b
a
,
,
b
ç
lim
b
f
(
x
)
dx
÷
lim
f )
(
x
dx
a
<
b
). Granicę
ò
ò
nazywamy całką
b a
®
+ ¥
è
a
®
- ¥
ø
a
niewłaściwą funkcji f na przedziale
a ( ( b
,
¥
)
-
¥
,
) i oznaczamy
symbolem ò
+
¥
f )
( , czyli
dx
a
+
¥
f )
( =
x
dx
b
ç
æ
b
f )
( =
x
dx
lim
b
f
(
x
)
dx
÷
.
lim
f )
(
x
dx
ò
ò
ò ¥
ò
b a
®
+ ¥
è
ø
a
®
- ¥
a
-
a
Jeśli granica ta jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa
+
¥
f )
(
x
dx
ç
b
f )
( jest zbieżna . Gdy natomiast granica ta jest
x
dx
÷
ò
ò ¥
è
ø
a
-
równa
±
¥
lub nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa
+
¥
f )
(
x
dx
ç
b
f )
( jest rozbieżna .
x
dx
÷
ò
ò ¥
è
ø
a
-
Definicja. Całkę niewłaściwą
+
¥
funkcji f określonej na R i
f )
(
x
dx
ò
-
¥
całkowalnej na każdym skończonym przedziale definiujemy
następująco:
+
¥
= ò ¥
c
f )
( + ò
x
dx
+
¥
f )
(
x
dx
, R
, przy czym
C Î
f )
(
x
dx
ò
-
c
-
¥
całkę tę uważamy za zbieżną tylko wtedy, gdy obie całki niewłaściwe
po prawej stronie są zbieżne.
Materiały dydaktyczne: Monika Potyrała
nieograniczona na przedziale b
æ
ö
x
ö
æ
ö
æ
ö
108838135.006.png 108838135.007.png 108838135.008.png
Całki niewłaściwe 2
Definicja. Niech f będzie funkcją nieograniczoną na przedziale
a ,
b
)
(
( b
a , ) i całkowalną na każdym przedziale
, a , b
b
a <
< b
( b
a
,
,
lim
b
xf )
(
dx
æ
b
ö
ç
lim
f
(
x
)
dx
÷
a <
< a
b
). Granicę
ò
ò
nazywamy
-
+
è
ø
b a
®
b
a
®
a
a
całką niewłaściwą funkcji f na przedziale
a , (
b
)
( b
a , )
b
b
b
i oznaczamy symbolem ò
xf )( , czyli ò
dx
xf )( =
dx
lim
xf )
(
dx
.
ò
-
a
a
b a
®
b
Jeśli granica ta jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa
b
xf )( jest zbieżna , gdy jest równa
dx
lub nie istnieje, to mówimy,
ò
±
¥
a
b
że całka niewłaściwa ò
xf )
(
dx
jest rozbieżna .
a
Geometryczne zastosowania całki oznaczonej.
Twierdzenie 1 (długość łuku). Jeżeli łuk l jest wykresem funkcji
( )
y =
f
x
, która ma ciągłą pochodną na przedziale b
a , , to jego
długość l wyraża się wzorem
b
2
.
|
l
|
=
ò
1
+
[
f
'
(
x
)]
dx
a
Twierdzenie 2 (objętość bryły obrotowej). Objętość V bryły V
powstałej w wyniku obrotu dokoła osi OX trapezu krzywoliniowego
)}
=
{(
,
y
)
Î
R
2
:
a
£
x
£
b
,
£
y
f
(
x
, gdzie f jest funkcją ciągłą na
przedziale b
a , , wyraża się wzorem
|
fV )
|
=
p
b
2
(
x
dx
ò
.
a
Twierdzenie 3 (pole powierzchni bryły obrotowej). Pole S
powierzchni S powstałej w wyniku obrotu dokoła osi OX krzywej
( )
f
x
, b
ax ,
a , , wyraża się wzorem
|
V
|
=
2
p
b
|
f
(
x
)
|
1
+
[
f
'
(
x
)]
2
dx
.
ò
a
Materiały dydaktyczne: Monika Potyrała
xD £
Î , gdzie f jest funkcją ciągłą i mającą ciągłą
pochodną na przedziale b
y =
108838135.009.png 108838135.001.png 108838135.002.png 108838135.003.png 108838135.004.png 108838135.005.png
Całki niewłaściwe
3
Bibliografia:
1. K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow: Matematyka dla studentów studiów
technicznych I, II, HELPMATH, Łódź 2000;
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory.,
Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2006;
3. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania., Oficyna
wydawnicza GiS, Wrocław 2006;
4. A. Ostoja-Ostaszewski: Matematyka w ekonomii. Modele i metody 1,2,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006;
5. J. Piszczała: Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych.
Ćwiczenia., Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, 2007.
Materiały dydaktyczne: Monika Potyrała

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin