K.A. Wieczorek, Logika dla opornych.doc

Krzysztof A. Wieczorek

Logika dla opornych

Wszystko co powinniście wiedzieć o logice,

ale nie uważaliście na zajęciach

Ilustracje: Barbara Wieczorek

copyright © 2002 by Krzysztof A. Wieczorek

Wstęp

Celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki. Książek takich jest już wystarczająco dużo, więc osoba głębiej zainteresowana tym przedmiotem na pewno nie będzie miała kłopotu ze znalezieniem czegoś odpowiedniego dla siebie. Niniejsza pozycja przeznaczona jest przede wszystkim dla tych, którzy pobieżnie zetknąwszy się z logiką, na przykład jako z przedmiotem wykładanym podczas krótkiego kursu na wyższej uczelni, z przerażeniem stwierdzili, że nic z tego nie rozumieją. Przyświeca mi cel pokazania takim osobom, że wbrew pozorom logika wcale nie jest taka trudna, jak by się to mogło początkowo wydawać, a jej nauka nie musi przypominać drogi przez mękę.

Większość tradycyjnych podręczników logiki najeżona jest technicznymi terminami, sucho brzmiącymi definicjami i twierdzeniami oraz skomplikowanymi wzorami. Brakuje im natomiast przykładów ilustrujących zawarty materiał teoretyczny i wyjaśniających bardziej złożone zagadnienia w sposób zrozumiały dla osób uważających się za „humanistów”, a nie „ścisłowców”. Sytuacja ta sprawia, że po zapoznaniu się z treścią takiego podręcznika lub po wysłuchaniu wykładu opracowanego na jego podstawie, adept logiki ma trudności z rozwiązaniem nawet bardzo prostych zdań umieszczanych na końcach rozdziałów lub w specjalnych zbiorach ćwiczeń z logiki. Taki stan rzeczy przyprawia o mdłości i ból głowy zarówno wielu wykładowców logiki zrozpaczonych rzekomą całkowitą niezdolnością do poprawnego myślenia okazywaną przez ich studentów, jak i tych ostatnich, zmuszonych do zaliczenia przedmiotu, z którego niemal nic nie rozumieją.

Doświadczenie zdobyte przeze mnie podczas lat nauczania logiki na różnych kierunkach uniwersyteckich wskazuje jednakże, iż najczęściej nieumiejętność rozwiązywania zadań z logiki nie jest wynikiem jakichkolwiek braków umysłowych studentów ani nawet ich lenistwa, ale po prostu przerażeniem wywoływanym przez gąszcz niezrozumiałych dla nich wzorów, twierdzeń i definicji. Panika ta widoczna jest szczególnie u osób obdarzonych bardziej humanistycznym typem umysłowości, alergicznie reagujących na wszystko, co kojarzy im się z matematyką.

Można oczywiście ubolewać nad tym, że tak wielu młodych ludzi nie chce pokonać w sobie uprzedzeń do logiki i zmuszać ich „dla ich dobra” do przyswajania tej wiedzy w tradycyjnej formie. Czy ma to jednak większy sens? Da się oczywiście sprawić, że uczeń poświęci tydzień czasu przed egzaminem (często wspomagając się przy tym różnego rodzaju chemicznymi „środkami dopingującymi”) na pamięciowe wykucie kilkudziesięciu twierdzeń i praw, a następnie nauczy się ich mechanicznego stosowania. Nie zmieni to jednak faktu, iż student taki w dalszym ciągu nie będzie rozumiał istoty tego, co robi, ani jaki jest właściwie cel wykonywanych przez niego operacji.

Żyjemy obecnie w czasach, w których liczy się przede wszystkim szybkość i skuteczność działania. Większość ludzi nie ma czasu na zgłębiane teoretycznych podstaw jakiejś dziedziny – interesują ich przede wszystkim praktyczne umiejętności, sposób w jaki teoria przejawia się w praktyce. Przykładowo użytkownik komputera nie musi znać zasad jego budowy ani języków pisania programów. Wystarczy mu, że potrafi kopiować pliki na dyskietkę, włączyć kilka ulubionych programów, wie, co zrobić, gdy komputer się zawiesi, a w razie większych komplikacji ma telefon do kogoś, kto zna się na tym lepiej. Również ucząc się obsługi potrzebnych programów, przeciętny człowiek nie musi korzystać ze specjalistycznych książek dla informatyków wyjaśniających wszelkie możliwe szczegóły techniczne. Wystarczy, że sięgnie on do popularnego podręcznika z serii „dla opornych”. Książki takie wiele spraw znacznie upraszczają, wiele trudnych problemów pomijają, ograniczając się do tego, co najważniejsze. Jeżeli jednak coś można ułatwić, przedstawić w sposób zrozumiały, nawet kosztem pewnej trywializacji, to dlaczego tego nie zrobić? Nie wszystko co ważne, musi być od razu trudne i opisane technicznym językiem.

Z podobnym nastawieniem pisana jest niniejsza książka. Wiele spraw jest w niej uproszczonych. Starałem się posługiwać zrozumiałym językiem, unikając gdzie tylko się da technicznego żargonu. Może to sprawić, że przedstawiona w ten sposób logika wyda się komuś nadmiernie spłycona. Być może jest tak faktycznie, jednak, podkreślam to raz jeszcze, celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki, ale przede wszystkim pomoc w opanowaniu tego przedmiotu dla tych, którym wydaje się on niemal całkowicie niezrozumiały. Gdy stwierdzą oni, że logika nie jest wcale tak trudna, jak im się to początkowo wydawało, sięgną oni być może po podręcznik głębiej traktujący temat.

Jednocześnie książka ta może stać się zachętą do zainteresowania się logiką przez osoby, które nigdy się z tym przedmiotem nie zetknęły. Korzystając z zawartych tu przykładów, czytając odpowiedzi na pytania zwykle zadawane przez początkujących, widząc często popełniane błędy, mogą one przyswoić sobie podstawy logiki samodzielnie, bez pomocy nauczyciela.

Semestralny kurs logiki na wielu uniwersyteckich kierunkach trwa zwykle 60 godzin lekcyjnych. Jednakże zdarzają się kursy ograniczone do 30, 15, a nawet 10 godzin. W takim czasie doprawdy trudno jest nauczyć kogoś logiki. Można co najwyżej pokazać zarys tego przedmiotu. Studentom uczestniczącym w takich, z różnych względów skróconych, kursach, niniejsza książka powinna przynieść szczególne korzyści. Może ona im pomóc w zrozumieniu tego, na wyjaśnienie czego nie starczyło czasu na wykładach lub ćwiczeniach, a jednocześnie pokazać, jak należy rozwiązywać zadania spotykane często na egzaminach i kolokwiach.

Jak korzystać z książki?

Celem tego podręcznika jest przede wszystkim wyrobienie u Ciebie, drogi Czytelniku, umiejętności  rozwiązywania zadań spotykanych w standardowych podręcznikach do logiki. Najczęściej jednak rozwiązania przykładów wymagają pewnej podstawy teoretycznej. Potrzebna teoria, w formie bardzo okrojonej i uproszczonej, wprowadzana jest zwykle w początkowych partiach każdego rozdziału. Ponieważ, z uwagi na tę skrótowość, nie wszystko w części teoretycznej może wydać Ci się od razu zrozumiałe, proponuję przeczytanie tych paragrafów dwa razy: na początku dla zapoznania się z podstawowymi pojęciami, a następnie po przerobieniu części praktycznej, w celu dokładniejszego zrozumienia i utrwalenia sobie przerobionego materiału. Jestem przekonany, że po takim powtórnym przeczytaniu fragmentów teorii w pełni jasne staną się sprawy, które początkowo wydawały się nie do końca klarowne.

W części teoretycznej przedstawiane są tylko konieczne podstawy – tyle, aby można było przystąpić do rozwiązywania pierwszych zadań. Wiele dalszych problemów omawianych jest później – gdy pojawiają się przy okazji praktycznych zadań. Rozwiązując te zadania, zapoznajesz się, niejako mimochodem, z kolejnymi elementami teorii. Niektóre wiadomości teoretyczne zawarte są również w sekcjach „Uwaga na błędy” oraz „Często zadawane pytania”. Zawarte w książce przykłady uszeregowane są w kolejności od najprostszych do coraz trudniejszych. Umiejętności nabyte przy rozwiązywaniu jednych wykorzystywane są często w kolejnych zadaniach. Dobrane są one również w taki sposób, aby każdy z nich wskazywał jakiś inny problem techniczny lub teoretyczny.

Jeśli chcesz nauczyć się samodzielnego rozwiązywania zadań, nie powinieneś ograniczać się do śledzenia rozwiązań podanych przeze mnie krok po kroku. Doświadczenie wskazuje, że w takim momencie wydają się one banalnie proste; problemy pojawiają się jednak, gdy podobne rozwiązanie trzeba przedstawić samodzielnie. Dlatego po przerobieniu każdego działu spróbuj przepisać treść przykładów na osobną kartkę, rozwiąż je samodzielne i dopiero wtedy porównaj wynik z podręcznikiem. W wielu wypadkach zobaczysz wtedy, iż nawet w pozornie prostych przykładach bardzo łatwo popełnić błędy. Nie powinno to jednak powodować u nikogo większego niepokoju. Nic bowiem tak nie uczy, jak zrobienie błędu, dostrzeżenie go i następnie poprawienie. Tak więc – w dłuższej perspektywie – popełnianie błędów w początkowej fazie nauki jest nawet korzystne.

Z uwagi na to, że książka ta składa się przede wszystkim z przykładów, może ona posłużyć jako swojego rodzaju zbiór zdań z logiki. Osoby lepiej znające ten przedmiot nie muszą czytać drobiazgowych omówień poszczególnych ćwiczeń, i mogą od razu przystąpić do ich samodzielnego rozwiązania. Objaśnienia mogą się im przydać w sytuacjach, gdyby okazało się, że otrzymały w którymś miejscu nieprawidłowy wynik.

W niektórych miejscach tekstu tłustym drukiem wyróżnione zostały pojęcia szczególne istotne w nauce logiki. Znaczenie tych pojęć powinieneś sobie przyswoić i dobrze zapamiętać. Definicje tych wyrażeń i czasem dotyczące ich wyjaśnienia zawarte są również w znajdującym się na końcu książki słowniczku.

Rozdział I

KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ.

Klasyczny rachunek zdań (w skrócie KRZ) jest jednym z najprostszych systemów logiki formalnej. W praktyce może on służyć do sprawdzania poprawności wnioskowań, czyli takich procesów myślowych, podczas których na podstawie uznania za prawdziwe jednych zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania kolejnego zdania (wniosku). Dzięki znajomości KRZ każdy może się łatwo przekonać, że na przykład z takich przesłanek jak: Jeśli na imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się nie udała oraz Impreza udała się można wywnioskować iż: Na imprezie nie było Zdziśka lub Wacka. Posługując się metodami KRZ można również stwierdzić, iż nie rozumuje poprawne ten, kto z przesłanek: Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zdziśka oraz Wacek jest w barze dochodzi do konkluzji: Wacek dostał wypłatę.

1.1. Schematy zdań.

1.1.1. Łyk teorii.

Pierwszą czynnością, jaką należy przećwiczyć rozpoczynając naukę klasycznego rachunku zdań, jest budowanie logicznych schematów zdań. Budowanie takich schematów przyrównać można do przekładu wyrażeń „normalnego” języka, jakim ludzie posługują się na co dzień, na język logiki, w którym logicy sprawdzają poprawność danego rozumowania.

Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować. Schematy pokazują nam położenie w zdaniach języka naturalnego zwrotów szczególnie istotnych z punktu widzenia logiki – niektórych z tak zwanych stałych logicznych: nieprawda że, i, lub, jeśli... to, wtedy i tylko wtedy. Zwroty te noszą w logice nazwy negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równoważności i będą w schematach zastępowane odpowiednimi symbolami: ~ (negacja), Ù (koniunkcja), Ú (alternatywa), ® (implikacja), º (równoważność). Wymienione zwroty są (przynajmniej w takich znaczeniach, w jakich przyjmuje je logika) spójnikami łączącymi zdania, dlatego nazywamy je spójnikami logicznymi. Zdania proste, łączone przez spójniki logiczne zastępować będziemy w schematach literami: p, q, r, s, t... itd. Litery p, q, r… nazywamy zmiennymi zdaniowymi (ponieważ zastępują zdania języka naturalnego). Do budowy schematów będziemy też często używali nawiasów, które pełnią rolę podobną do znaków przestankowych w piśmie – pokazują jak schemat należy odczytać, które jego części wiążą się ze sobą ściślej, a które luźniej. Rola nawiasów stanie się jaśniejsza po przerobieniu kilku zadań praktycznych. Przykładowe schematy logiczne zdań mogą wyglądać następująco: p ® q,  ~ (p Ù q),  p Ú (r ® ~ s),  [p º (q ® r)] Ù (s ® z).

Zdania wiązane przez spójniki logiczne nazywamy członami tych spójników. Człony  równoważności niektórzy nazywają stronami równoważności, natomiast zdania wiązane przez implikację określamy najczęściej mianem poprzednika i następnika implikacji. Jak łatwo się domyśleć, poprzednik to zdanie znajdujące się przez „strzałką” implikacji, a następnik – zdanie po niej.

Uwaga na błędy!

Częstym błędem popełnianym przez studentów jest nazywanie poprzednikiem i następnikiem zdań łączonych przez spójniki inne niż implikacja. Powtórzmy więc jeszcze raz: poprzednik i następnik występują wyłącznie przy implikacji.

Mianem negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równoważności określa się w logice nie tylko spójniki, ale również całe zdania przy ich pomocy tworzone. Na przykład wyrażenie Jeśli Agnieszka zobaczy Ryszarda w tym stanie, to będzie rozczarowana nazywamy zdaniem implikacyjnym lub po prostu implikacją; zdanie Ryszard wykazał się dużym sprytem lub po prostu dopisało mu szczęście nazywamy alternatywą, itd.

Większość spójników (poza negacją) to tak zwane spójniki dwuargumentowe, co oznacza, że łączą one dwa zdania. Niekoniecznie muszą być to jednak zdania proste, równie dobrze mogą być to ujęte w nawiasy złożone wyrażenia. Na przykład w schemacie p Ú q członami alternatywy są zdania proste oznaczane przez p i q. Jednakże członami koniunkcji w wyrażeniu (p ® q) Ù (r Ú s) są już wzięte w nawiasy zdania złożone: (p ® q) oraz (r Ú s). Stronami równoważności w kolejnym schemacie są jeszcze dłuższe zdania (ujęte w nawias klamrowy i kwadratowy) {[p Ú (q ® ~ r)] Ù s} º [t ® (w Ù z)]

Wyrażenia łączone przez spójniki dwuargumentowe występują zawsze po obu stronach spójnika. Tak więc prawidłowe są zapisy: p ® q,   p Ù (q Ú r),   natomiast nieprawidłowe:  ® p q,    p  (q Ú r) Ù.

Uwaga na błędy!

W prawidłowo zapisanych schematach nie może nigdy zdarzyć się tak, aby występowały obok siebie dwie zmienne zdaniowe nie oddzielone spójnikiem (np. p ® q r), lub dwa spójniki dwuargumentowe (czyli wszystkie oprócz negacji) nie oddzielone zmienną (np. p ÚÙ q)

Negacja jest tak zwanym spójnikiem jednoargumentowym, co oznacza, że nie łączy ona dwóch zdań, lecz wiąże się tylko z jednym. Podobnie jak w przypadku innych spójników nie musi być to zdanie proste, ale może być ujęta w nawias większa całość. W schemacie ~ p negacja odnosi się do prostego zdania p, jednakże w ~ [(p ® q) Ù r], neguje ona całe wyrażenie ujęte w nawias kwadratowy. 

Spójnik negacji zapisujemy zawsze przed wyrażeniem, do którego negacja się odnosi. Prawidłowy jest zatem zapis ~ p, natomiast błędny p ~.

DO ZAPAMIĘTANIA:

Poniższa tabelka pokazuje podstawowe znaczenia spójników logicznych oraz prawidłowy sposób, w jaki występują one w schematach.