1.doc

1. Podstawowe wiadomości o macierzach

Def:

Macierzą A nazywamy funkcję 2-zmiennych, która parze (i,j) gdzie i = 1,2,3,4 ....,m ; j = 1,2,3,4,......n przyporządkowuje dokładnie jeden element aij.

Wymiar macierzy nazywamy uporządkowaną  parę   m´ n

Gdy m = n macierz kwadratowa , m = n   -   stopień macierzy

Gdy n = 1 wtedy macierz prostokątna jest macierzą kolumnową i można ją traktować jako m-wymiarowy   wektor   kolumnowy

Gdy m = 1 wtedy macierz prostokątna jest macierzą wierszową i można ją traktować jako m - wymiarowy   wektor   wierszowy

Śladem macierzy kwadratowej nazywamy sumę elementów położonych na głównej przekątnej

Macierz diagonalna to:

Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz skalarna

:

Szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej jest macierz jednostkowa

(aii =ajj = 1) :

pamiętając, że :

można zapisać :

       stąd:

                            Macierz    zerowa to :

        n - liczba kolumn ;          m - liczba wierszy

·         Jeżeli macierz kwadratowa aij = aji to macierz [aij] jest macierzą symetryczną

·         Jeżeli macierz kwadratowa aij = - aji to macierz [aij] jest macierzą skośniesymetryczną

·         Jeżeli macierz kwadratowa elementów zespolonych (gdzie jest liczbą zespoloną sprzężoną do ) to macierz [aij] jest macierzą hermitowską (macierzą   Hermite'a)

   Macierz kwadratowa górnotrójkątna to macierz postaci:

Macierz kwadratowa dolnotrójkątna analogicznie.

2. Podstawowe działania na macierzach

a) równość macierzy A = [aij] oraz B = [bij] gdy:

b) sumą (różnicą) macierzy A = [aij] oraz B = [bij] nazywamy macierz C = [cij]      taką, że:

c) mnożeniem macierzy A = [aij] przez skalar l nazywamy macierz B = [bij]      taką, że :

d) mnożeniem macierzy A = [aij] przez macierz B = [bij] nazywamy macierz

  C = [cij] taką, że :

Uwaga: stąd wynika, że mnożenie macierzy naogół jest nieprzemienne (występuje mnożenie lewo- oraz prawostronne)

Przykład 1:

BA  warunek niespełniony - mnożenie niewykonalne ( bo B ma 1 - kolumnę natomiast A ma 2 wiersze )

        Mechanizm:

Przykład 2:

A ma 2 - kolumny, B ma 2 - wiersze , więc warunek spełniony

Mechanizm:

BA w tym przypadku jest wykonalne !!!

Z def. sumy oraz iloczynu macierzy wynikają następujące własności:

·         A(BC) = (AB)C

·         l (AB) = (l A)B

·         (A + B)C = AC + BC

·         C(A + B) = CA + CB

e) Macierz transponowana macierzy A = [aij] o wymiarach m´ n, nazywamy macierz AT o wymiarach n´ m

Inaczej : jest to

Z def. e) wynikają następujące własności macierzy transponowanej

·         (A + B)T = AT + BT

·         (AT)T = A

·         (l A)T = l AT

·         (AB)T = ATBT

f) Macierz sprzężoną A* macierzy A = [aij] o wymiarach m´ n, nazywamy macierz o wymiarach n´ m otrzymaną w wyniku zastąpienia elementów aij przez elementy

Ogólnie:

Jednak gdy  A   jest macierzą hermitowską, wtedy:

A = A*

g) Macierzą dopełnie...