Statystyka opisowa 2.pdf

Elementystatystykiopisowej

IzoldaGorgol

wyci¡gzprezentacji(wykładI)

Populacjastatystyczna,badaniestatystyczne

—Statystykamatematycznazajmujesi¦opisywaniemianaliz¡zjawiskmasowychzapomoc¡metodrachunkupraw-

dopodobie«stwa.Celembada«statystycznychjestpoznanieprawidłowo±ciilo±ciowychijako±ciowychwmasowych

zjawiskachlosowychiopisywanieichzapomoc¡liczb.

—Badanezbiorynazywamypopulacjamistatystycznymi.

—Bada¢mo»nawszystkieelementydanejpopulacjistatystycznej,zwanejte»populacj¡(zbiorowo±ci¡)generaln¡,

albotylkoichcz¦±¢,zwan¡próbk¡statystyczn¡(próbk¡).

—Wpierwszymprzypadkubadaniejestkompletneiniemapotrzebyu»ywaniaelementówrachunkupraw-

dopodobie«stwa.

—Wdrugimprzypadkubadaniejestcz¦±ciowe.

Próbkalosowa

—Zadaniemstatystykijestwnioskowanieowłasno±ciachcałejpopulacjiZnapodstawieinformacjiotychwłasno±-

ciachelementówpewnegosko«czonegopodzbioruZ 1 tejpopulacji(Z 1 Z),zwanegopróbk¡.

—PróbkaZ 1 powinnastanowi¢reprezentacj¦populacjiZ,tzn.cz¦sto±¢wyst¦powaniawpróbceka»dejzbadanych

cechniepowinnaznacznieró»ni¢si¦odcz¦sto±ciwyst¦powaniatychcechwpopulacjigeneralnej.Elementypróbki

Z 1 zazwyczajlosujesi¦spo±ródelementówpopulacjiZ.

—Otrzymanapróbkanosinazw¦próbkilosowej.

—Próbkalosowaprostan-elementowatopróbkan-elementowawylosowanazpopulacji,przyczymka»dy

n-elementowypodzbiórpopulacjigeneralnejmatakiesameszanse(takiesamoprawdopodobie«stwo)wylosowania.

Cechystatystyczne

—Elementypopulacjigeneralnejmog¡mie¢ró»newła±ciwo±ci,którepodlegaj¡obserwacjistatystycznej.

—Nazywamyjecechamistatystycznymi.

—Niektórecechymaj¡charakterilo±ciowy(np.wiek,waga,wzrost)inazywamyjecechamimierzalnymi,inne

posiadaj¡charakterjako±ciowy(np.płe¢,koloroczu,zawód)inazywamyjecechaminiemierzalnymi.

—Wprzypadkucechyniemierzalnejzazwyczajprzypisujesi¦badanymelementomwarto±ciliczbowe(np.numerujemy

kolory)iwtedycechaniemierzalnastajesi¦cech¡mierzaln¡.

Zadaniestatystykiopisowej

—BadanacechaXjestzmienn¡losow¡,którejrozkład,zwanyrozkłademcechywpopulacjijestnajcz¦±ciejnieznany.

Statystykaograniczasi¦dobadaniapróbkilosowejwylosowanejzpopulacjigeneralnej.

—Statystykaopisowazajmujesi¦wst¦pnymopracowaniempróbkibezposługiwaniasi¦rachunkiemprawdopodobie«stwa.

Empirycznyrozkładcechy

—Podstaw¡bada«statystycznychsko«czonejzbiorowo±cijestokre±lenieempirycznego,tzn.zaobserwowanegowtej

zbiorowo±ci,rozkładuzaobserwowanejcechy.

—Rozkładempirycznytorozkładcechywpróbie.Okre±lenieempirycznegorozkładupoleganaprzyporz¡dkowaniu

kolejnymwarto±ciomprzyjmowanymprzezcech¦odpowiedniozdeﬁniowanychcz¦sto±ciichwyst¦powania.

—Parametryrozkładuempirycznegonazywamyparametramiempirycznymi,za±parametryrozkładucechyXparame-

tramiteoretycznymi.

—Badaniestatystycznerozpoczynasi¦odwyznaczeniarozkładuempirycznego.

Szeregrozdzielczy

—Rozkładempirycznybadasi¦najcz¦±ciejtworz¡ctzw.szeregrozdzielczy.

—Szeregiemrozdzielczymuporz¡dkowanywgwielko±cizbiórwarto±cibadanejcechywpróbie.

—Szeregrozdzielczyszczegółowytworzysi¦poprzezgrupowaniepowtarzaj¡cychsi¦warto±cibadanejcechy

wpróbie.

—Gdyliczbaobserwacjijestdu»a(n > 30),toszeregrozdzielczyprzedziałowytworzysi¦poprzezgrupowanie

zaobserwowanychwarto±ciwtzw.klasach.

—Klasys¡przedziałami,najcz¦±ciejjednakowejdługo±ci,któretworzysi¦przyjmuj¡cupraszczaj¡cezało»enie,»e

wszystkiewarto±ciznajduj¡cesi¦wdanejklasies¡identyczneztzw.±rodkiemklasy.

Ustalanieliczbyklas

—Istniejekilkaregułustalaniaorientacyjnieliczbykklaswzale»no±ciodliczno±cinpróbki:

k 6 5lnnlubk=1+3,322lnnlubk= p n.

—Mo»narównie»korzysta¢zponi»szychorientacyjnychdanych:

liczbapomiarówn liczbaklask

30−60 6−8

60−100 7−10

100−200 9−12

200−500 11−17

500−1500 16−25

—Nawetprzydu»oliczniejszejpróbceniestosujesi¦wi¦kszejliczbyklasni»30.

Rozst¦p,długo±¢klasy

—Niechx 1 ,x 2 ,...,x n b¦dzien-elementow¡próbk¡prost¡ozadanychwarto±ciach.

—Rozst¦pembadanejcechyXwtejpróbcenazywamyliczb¦

R=x max −x min ,

gdziex max ,x min oznaczaj¡,odpowiednio,najwi¦ksz¡inajmniejsz¡liczb¦wci¡gux 1 ,x 2 ,...,x n .

—Rozst¦pjestzatemdługo±ci¡najkrótszegoprzedziału,wktórymmieszcz¡si¦wszystkiewarto±cipróbki.

—Je»eliRjestrozst¦pempróbki,za±kliczb¡klas,tojakodługo±¢klasyprzyjmujesi¦

k ,takjednak,bybk > R.

Dokładno±¢przyustalaniugranicklas

—Punktystanowi¡cegraniceposzczególnychklasustalasi¦zwyklezdokładno±ci¡do 1

2 ,gdzieoznaczadokładno±¢,

zjak¡wyznaczonowarto±ciwpróbce.

—Je±liwi¦cdlajednakowodokładnychwarto±ciwpróbcedaneliczbowes¡podawanejakocałkowitewielokrotno±ci

najwi¦kszejliczbya,tonale»yprzyj¡¢jakograniceklasliczbypostacila+ 1

2 ,gdziels¡liczbamicałkowitymi.

—Doln¡granic¦pierwszejklasyotrzymujemywgwzorux min − 1

2 .

—Liczb¦warto±cipróbkizawartychwi-tejklasienazywamyliczno±ci¡(liczebno±ci¡)i-tejklasyioznaczamy

symbolemn i .Oczywi±cie

k X

n i =n.

—Je»eliliczno±¢npróbkix 1 ,x 2 ,...,x n kwaliﬁkujej¡dopodziałunaklasy,todokonujesi¦grupowania.Otrzymuje

si¦szeregrozdzielczyprzedziałowy,którystanowi¡paryliczb:±rodkikolejnychklas˙x i orazichliczno±cin i ,gdzie

i2{1,2,...,k}.

—Szeregrozdzielczymo»narównie»przedstawi¢wpostacihistogramu.Naosipoziomejzaznaczasi¦±rodkiklas,

albote»graniceposzczególnychklas,anaosipionowejliczno±ciklasn i albocz¦sto±ciklasw i = n i

n .

b R

Miary±rednie

—Miary±redniepozwalaj¡okre±li¢tzw.tendencj¦centraln¡,czyliprzeci¦tnypoziom.

—Miary±rednie(warto±ciprzeci¦tne)słu»¡dookre±laniatejwarto±cizmiennej,wokółktórejskupiaj¡si¦wszystkie

pozostałewarto±cizmiennej.

—Miary±redniedziel¡si¦na:

—±rednieklasyczne(±redniaarytmetyczna,±redniaharmoniczna,±redniageometryczna);

—±redniepozycyjne(mediana,moda).

redniaarytmetyczna

—redni¡arytmetyczn¡xliczbx 1 ,x 2 ,...,x n nazywamyliczb¦okre±lon¡wzoremx= 1

n X

x i .

i=1

k X

—Je»eliwynikpomiarux i wyst¡piłn i razy,gdziei2{1,2,...,k}oraz

n i =n,to±redni¡arytmetyczn¡

i=1

wa»on¡nazywamyliczb¦x= 1

k X

x i n i .

i=1

k X

—Je»elidanes¡pogrupowanewszeregurozdzielczymprzedziałowym,tox= 1

˙x i n i .

i=1

redniaharmoniczna

—redni¡harmoniczn¡hró»nychodzeraliczbx 1 ,x 2 ,...,x n nazywamyliczb¦okre±lon¡wzorem

n X

x i

! − 1

n X

x i 6=0.

,oile

i=1

—Je»eliwynikpomiarux i wyst¡piłn i razy,gdziei2{1,2,...,k}oraz

k X

n i =n,to±redni¡harmoniczn¡

i=1

wa»on¡nazywamyliczb¦

! − 1

k X

n i

x i

i=1

redniageometryczna

—redni¡geometryczn¡gliczbdodatnichx 1 ,x 2 ,...,x n nazywamyliczb¦okre±lon¡wzorem

g= n

n Y

x i .

i=1

—Je»eliwynikpomiarux i wyst¡piłn i razy,gdziei2{1,2,...,k}oraz

k X

n i =n,to±redni¡geometryczn¡

i=1

wa»on¡nazywamyliczb¦

g= n q

x n 1

1 ···x n k

k .

Mediana

—Median¡(warto±ci¡±rodkow¡)Mepróbkix 1 ,x 2 ,...,x n nazywamy±rodkow¡liczb¦wuporz¡dkowanejniemale-

j¡copróbcex (1) 6 x (2) 6 ··· 6 x (n) ,gdynjestliczb¡nieparzyst¡,albo±redni¡arytmetyczn¡dwóch±rodkowych

liczb,gdynjestliczb¡parzyst¡,tzn.

x ( n+1

2 ) , gdynjestnieparzyste,

Me=

x ( n 2 ) +x ( n 2 +1 )

2 , gdynjestparzyste.

Mediana

—Je»elidanes¡pogrupowanewszeregurozdzielczymprzedziałowym,to

2 −

m − X

Me=x l + b

n m

n i

i=1

gdzie

x l -lewykoniecklasyzawieraj¡cejmedian¦,

m-numerklasyzawieraj¡cejmedian¦,

n-liczno±¢próbki,

n i -liczno±¢i-tejklasy,

b-długo±¢klasy.

Moda

—Mod¡(dominant¡,warto±ci¡najcz¦stsz¡)Mopróbkix 1 ,...,x n opowtarzaj¡cychsi¦warto±ciachnazywamy

najcz¦±ciejpowtarzaj¡c¡si¦warto±¢,oileistniejeiniejesttox min anix max .

—Je»elidanes¡pogrupowanewszeregurozdzielczymprzedziałowym,to

Mo=x l + n l −n l − 1

(n l −n l − 1 )+(n l −n l+1 ) b,

gdzie

x l -dolnagranicaklasymodalnej(klasy,wktórejznajdujesi¦moda),

n l -liczno±¢klasymodalnej,

n l − 1 ,n l+1 -liczno±cis¡siednichklas,

b-długo±¢klasy.

—Modazale»yodsposobupodziałunaklasy.

Miaryrozproszenia

—Miaryrozproszenia(zmienno±ci)słu»¡dobadaniazró»nicowaniawarto±ci,czylitzw.dyspersji.

—Podstawowemiaryrozproszeniato:

—rozst¦p,

—wariancja,

—odchyleniestandardowe.

Rozst¦p

—Rozst¦pemwpróbceowarto±ciachx 1 ,...,x n nazywamyliczb¦

R=x max −x min .

Wariancja

—Wariancj¡s 2 próbkix 1 ,...,x n nazywamy±redni¡arytmetyczn¡kwadratówodchyle«poszczególnychwarto±cix i od±redniejaryt-

metycznejx i próbki,tzn.

s 2 = 1

(x i −x) 2 .

i=1

—Je»eliwynikpomiarux i wyst¡piłn i razy,gdziei2{1,2,...,k}oraz

n i =n,to

i=1

s 2 = 1

(x i −x) 2 n i .

i=1

—Je»elidanes¡pogrupowanewszeregurozdzielczymprzedziałowym,tos 2 = 1

(˙x i −x) 2 n i .

i=1

—Praktycznywzórdooblicze«:s 2 =x 2 −(x) 2 .

Odchyleniestandardowe

s 2 .

—Odchyleniestandardoweokre±lawprzybli»eniu,oilewszystkiejednostkistatystycznedanejpopulacjiró»ni¡si¦

±rednioodwarto±ci±redniejarytmetycznejbadanejzmiennej.

Innecharakterystyki

—współczynnikzmienno±ci

—typowyobszarzmienno±ci

Współczynnikzmienno±ci

Współczynnikiemzmienno±cinazywamyliczb¦

v= s

x ·100%.

Typowyobszarzmienno±ci

—Typowyobszarzmienno±cicechystatystycznejtoobszar,wktórymmie±cisi¦około 2 3 wszystkichjednostekbadanej

populacji.Typowyobszarzmienno±ciokre±lawzór

x−s<x typ <x+s.

—Znaj¡ctypowyobszarzmienno±cimo»napodzieli¢jednostkidanejpopulacjinatypowe(tzn.wyst¦puj¡cesto-

sunkowocz¦sto)inietypowe(tzn.wyst¦puj¡cestosunkoworzadko).

—Odchyleniemstandardowymnazywamyliczb¦s=

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: