Łączenie szeregowe i równoległe źródeł napięcia
a. Łączenie szeregowe.
Układ szeregowy n gałęzi aktywnych i pasywnych (Ej= 0) można zastąpić jedną gałęzią aktywną o napięciu źródłowym E równym sumie napięć źródłowych i o rezystancji Rw równej sumie rezystancji poszczególnych gałęzi aktywnych i pasywnych.
b. Łączenie równoległe.
Układ równoległy n gałęzi aktywnych o dowolnych napięciach źródłowych Ej i konduktancjach Gj , można zastąpić jedną gałęzią o napięciu źródłowym równym sumie iloczynów konduktancji i napięć źródłowych poszczególnych gałęzi podzielonej przez sumę ich konduktancji, która jest zarazem konduktancją gałęzi zastępczej.
Rezystancja gałęzi zastępczej:
I Prawo Kirchhoffa (prądowe) – suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów odpływających od węzła.
S I = 0
Suma algebraiczna prądów dopływających i odpływających z dowolnie wydzielonego fragmentu obwodu elektrycznego jest równa zeru.
II Prawo Kirchhoffa (napięciowe) – Suma napięć źródłowych w dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego jest równa sumie iloczynów rezystancji i prądów w gałęziach należących do danego oczka.
Uab = Va – Vb = E1 – R1I1
Ubc = Vb – Vc = E2 – R2I2
Ucd = Vc – Vd = -E3 +R3I3
Uda = Vd – Va = R4I4
E1 – R1I1 +E2 – R2I2 – E3 + R3I3 +R4I4 = 0
lub
R1I1 +R2I2 – R3I3 – R4I4 = E1+E2 – E3
S (RI) = S E
S (E,U) = 0
W dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna napięć źródłowych i napięć odbiornikowych jest równa zeru (jeżeli obwód nie jest poddany działaniu zmiennych pól elektromagnetycznych).
Zastosowanie praw Kirchhoffa do rozwiązywania obwodów elektrycznych rozgałęzionych
Rozwiązywanie obwodu elektrycznego polega na wyznaczaniu prądów przy danych parametrach obwodu i działających w nim wymuszeniach.
Liczba niewiadomych równań jest równa liczbie gałęzi g. Dla ich wyznaczania służą równania prądowe wg I prawa Kirchhoffa dla węzłów
S Ik = 0
oraz równania napięciowe wg II prawa Kirchhoffa dla oczek
S ( Rk Ik ) = S Ek
Liczba równań prądowych w obwodzie o w węzłach wynosi (w-1)
Brakujące równania w liczbie n = g – ( w – 1 ) = g – w +1 należy wypisać na podstawie II prawa Kirchhoffa, gdzie n oznacza liczbę niezależnych oczek w danym obwodzie.
Po wypisaniu równania dla dowolnego oczka skreśla się w nim jedną gałąź w tym celu, aby ją ominąć przy doborze następnych oczek. Postępowanie jest zakończone, gdy nie można utworzyć oczka z samych nie skreślonych oczek.
Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych
Liczba niezależnych równań Kirchhoffa, stanowiących podstawę analizy obwodu elektrycznego, jest równa liczbie gałęzi g w danym obwodzie. Składają się na nie równania prądowe w liczbie (w-1) i równania napięciowe w liczbie n oznaczającej liczbę niezależnych oczek.
Metoda oczkowa może być stosowana do rozwiązywania obwodów spełniających zasadę superpozycji, a więc obwodów liniowych.
R11I1 + R12I2 + R13I3 + ... + R1nIn = (SE)1
R21I1 + R22I2 + R23I3 + ... + R2nIn = (SE)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rn1I1 + Rn2I2 + Rn3I3 + ... + RnnIn = (SE)n
(SE)j – suma napięć źródłowych w oczku j.
Rezystancje własne oczek zawsze ze znakiem (+).
Rezystancje wzajemne ze znakiem (+) jeżeli zwroty prądów oczkowych są zgodne, ze znakiem (-) gdy zwroty prądów oczkowych są przeciwne.
Jeżeli w obwodzie istnieją źródła prądu należy je najpierw zamienić na źródła napięcia, lub tak dobierać oczka, aby znany prąd źródłowy był jednocześnie prądem oczkowym i gałęziowym.
Metoda potencjałów węzłowych
Prąd w gałęzi aktywnej o danych parametrach E oraz G lub R jest zależny od potencjałów na końcach gałęzi.
Ik1 = G(Vk – V1) + GE
W przypadku gałęzi pasywnej E=0 czyli Ik1 = G(Vk – V1)
Prąd w dowolnej gałęzi obwodu elektrycznego prądu stałego można wyrazić za pomocą parametrów E, G tej gałęzi oraz różnicy potencjałów na końcach gałęzi, tj. potencjałów węzłowych.
Bilans prądów w węźle l przy przyjętych zwrotach:
I1l + I21 + I2l + Ikl = 0
Prądy w poszczególnych gałęzniach:
I1l = G1l (V1 – V2) + G1l E1l
I2l = G2l (V2 – V1) + G2l E2l
I3l = G3l (V3 – V1) + G3l E3l
Ikl = Gkl (Vk – V1)
Po przekształceniach otrzymujemy równanie dla węzła l:
(G1l + G2l + G3l + Gkl)Vl – (G1l V1 + G2l V2 + G3l V3 + Gkl Vk) = G1l E1l – G2l E2l + G3l E3l
Ogólnie (równanie węzłowe):
Iloczyn sumy konduktancji łączących rozpatrywany węzeł l z węzłami sąsiednimi, przez potencjał tego węzła Vl, pomniejszony o sumę iloczynów konduktancji tych gałęzi Gjl i potencjałów Vj węzłów sąsiednich jest równy sumie iloczynów tych konduktancji i napięć źródłowych Ejl w wymienionych gałęziach.
Napięciom źródłowym Ejl skierowanym do rozpatrywanego węzła przypisujemy znak (+), a znak (-) skierowanym przeciwnie.
Jeżeli do węzła l dopływa prąd Il to należy go dodać do prawej strony równania węzłowego ze znakiem (+) jeżeli dopływa, ze znakiem (-) gdy wypływa.
Równania węzłowe przyjmują następującą postać ogólną :
G1l V1 – G12 V2 – G13 V3 ... – G1m Vm = (SIźr)1
G2l V1 – G22 V2 – G23 V3 ... – G2m Vm = (SIźr)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gml V1 – Gm2 V2 – Gm3 V3 ... – Gmm Vm = (SIźr)m
...
simonsaid