10. Reguła opuszczania równoważności (OR).
Wyobraź sobie następującą sytuację: osoba prowadząca ćwiczenia z Logiki, zwraca się z pewną dozą rezygnacji w głosie do studenta, który po raz dziesiąty ma zamiar poprawiać kolokwium z rachunku zdań: „Zaliczy Pan kolokwium wtedy i tylko wtedy, gdy bezbłędnie rozwiąże Pan to zadanie” (dodajmy, że zadanie sprawdza stopień opanowania matryc funktorów prawdziwościowych i naprawdę jest proste). Zgodnie z powyższym, student ma pełne prawo przyjąć, że: „Jeżeli rozwiążę bezbłędnie to zadanie, to zaliczę kolokwium” (i ewentualnie pójdę na imprezę do X-a). Podobnie znajomi z grupy, którzy słyszeli to, co powiedział prowadzący ćwiczenia i widzą, że nasz bohater je zaliczył, mogą uznać, że wspomniany student rozwiązał bezbłędnie zadanie, z którym przyszło mu się zmierzyć. Dlaczego? Dlatego, że uznali prawdziwość implikacji: „Jeżeli student zaliczył kolokwium, to bezbłędnie rozwiązał zadanie”.
Ujmijmy teraz powyższe rozumowania w schematy:
α ↔ β α ↔ β
--------- -------- OE (OR)
α → β β → α
Wniosek: Jeżeli uznajemy równoważność, to mamy pełne prawo uznać implikację, której poprzednikiem jest pierwszy człon równoważności, a następnikiem drugi człon równoważności lub vice versa możemy uznać implikację, której poprzednikiem jest drugi człon równoważności, a następnikiem pierwszy człon wspomnianej równoważności. Innymi słowy, jeżeli mamy strzałkę równoważności, to możemy odjąć jej wąsik z dowolnej strony i uzyskać w ten sposób strzałkę implikacji. Prawda, że proste?!
11. Reguła dołączania równoważności (DR).
Oczywistym jest, że: „jeśli woda wrze, to osiągnęła temperaturę 1000C”
(naturalnie przy normalnym ciśnieniu), równie oczywistym jest, że:
„Jeśli woda osiągnie 1000C, to wrze”.
Tym samym nie powinno budzić wątpliwości zdanie głoszące, iż:
„Woda wrze wtedy i tylko wtedy, gdy osiągnie temperaturę 1000C”
(nadal zakładamy, że ciśnienie jest normalne).
Przedstawione rozumowanie może naturalnie ująć w schemat:
α → β
β → α
--------- DR (DE)
α ↔ β
W ten sposób doszliśmy do reguły dołączania równoważności (ekwiwalencji) zgodnie, z którą jeśli mamy dwie strzałki implikacji, to możemy je połączyć i stworzyć strzałkę równoważności, warunek: poprzednikiem (α) jednej z implikacji (α → β) musi być to, co jest następnikiem (α) drugiej implikacji (β → α), zaś następnikiem (β) to, co jest poprzednikiem (β) drugiej implikacji.
12. Reguła negowania koniunkcji (NK).
Spotyka się trzech studentów po egzaminie. Dwóch z nich (A i B) wraca właśnie z dziekanatu, w którym ogłoszone zostały wyniki egzaminu. Trzeci (C), udający się właśnie do dziekanatu, stawia im pytanie:
C: Nie wiecie jaką ocenę dostałem?
A: Chyba 4 lub 5.
B: Nieprawda.
C: Skąd wiesz?
B: Bo sprawdziłem, że nie dostałeś 5 i nie dostałeś 4. Zapisałem nazwiska tych osób, które dostały ocenę powyżej 3, nie ma Ciebie wśród tych pięciu osób.
Ta krótka rozmowa stanowi przykład wykorzystania reguły NK, którą możemy przedstawić w następujący sposób:
~(α ^ β)
---------- NK
~α v ~β
Naturalnie poprawność przedstawionej reguły bezpośrednio wynika z matrycy koniunkcji.
p
q
p ^ q
1
0
Spójrz, w regule negujemy koniunkcję, czyli – w pewnym uproszczeniu – mówimy, że jest ona fałszywa. Koniunkcja zaś jest fałszywa wówczas gdy pierwszy (p) lub drugi (q) z jej członów jest fałszywy. W poprzednim zdaniu celowo użyłem spójnika „lub” gdyż koniunkcja jest fałszywa również w sytuacji, gdy oba jej człony są fałszywe. Gdybyś więc powiedział: „Nie jest prawdą, że wczoraj zarazem byłem w kinie i na imprezie” znaczyłoby to, że wczoraj nie byłeś w kinie lub wczoraj nie byłeś na imprezie. Chciałoby się powiedzieć: „logiczne”…
Wniosek: Jeżeli odrzucasz prawdziwość pewnej koniunkcji, to musisz odrzucić prawdziwość pierwszego lub drugiego z jej członów.
13. Reguła negowania alternatywy (NA).
Reguła NA jest bardzo podobna do reguły NK. Jedyne, co robimy, to zamieniamy miejscami koniunkcję z alternatywą:
~(α v β)
---------- NA
...
iness-kotek