Dynamika punktu materialnego
Dynamika zajmuje się badaniem związku pomiędzy siłami działającymi na dany obiekt a ruchem tego obiektu.
Podstawą dynamiki punktu materialnego jest drugie prawo Newtona
gdzie: - jest siłą działająca na punkt w danej chwili,
- jest przyspieszeniem tego punktu w tejże chwili względem inercjalnego układu odniesienia,
a - jest masą tego punktu, o której zakładamy, że jest niezmienną względem czasu.
Na ogół siła działająca na punkt zależy zarówno od położenia tego punktu jak i jego prędkości.
Inercjalny układ odniesienia? Mając na uwadze względność przyspieszenia punktu nie można się spodziewać, że tak sformułowane drugie prawo Newtona będzie spełnione w każdym układzie odniesienia. Wybór układu odniesienia zależy od rodzaju rozpatrywanego zagadnienia. W zagadnieniach dynamiki w otoczeniu Ziemi, jako układ inercjalny przyjmujemy dowolny nieruchomy względem Ziemi. W zagadnieniach podróży międzyplanetarnych jako układ odniesienia przyjmujemy dowolny nieruchomy względem Słońca, itd.
Zasada zachowania pędu punktu materialnego
Pędem punktu materialnego w danej chwili nazywamy wyrażenie
gdzie - jest prędkością rozpatrywanego punktu materialnego w tejże chwili.
Pamiętając, że
i korzystając z założenia stałości masy, możemy drugie prawo Newtona przedstawić w postaci
co po scałkowaniu względem czasu w przedziale daje
.
Wyrażenie bywa nazywanie popędem siły w przedziale czasowym .
Zasada zachowania krętu punktu materialnego
Krętem (momentem pędu) punktu materialnego względem nieruchomego punktu A w danej chwili nazywamy wyrażenie
gdzie - jest wektorem położenia rozpatrywanego punktu materialnego względem punktu A w tejże chwili.
Mnożąc wektorowo zasadę zachowania pędu
przez otrzymujemy
Ale korzystając z reguły Leibnitza i właściwości iloczynu wektorowego mamy
Zatem
Wykazaliśmy, zatem, że prędkość zmian krętu względem punktu nieruchomego równa jest momentowi siły względem tego punktu.
Po scałkowaniu względem czasu w przedziale daje to
Zasada zachowania energii kinetycznej punktu materialnego
Energią kinetyczną punktu materialnego nazywamy wyrażenie
Po zróżniczkowaniu względem czasu otrzymujemy
Prawa strona jest nazywana mocą siły w danej chwili.
Prawa strona jest nazywana pracą siły w przedziale .
Zasada zachowania energii potencjalnej punktu materialnego
Z teorii całki krzywoliniowej wiadomo, że w przypadku, gdy siła działająca na rozpatrywany punkt materialny zależy wyłącznie od położenia tego punktu i w taki sposób, że dla dowolnej krzywej łączącej dwa dowolne punkty A, B całka krzywoliniowa
nie zależy od drogi całkowania to możemy zdefiniować funkcję taką, że
oraz
, , , .
Wtedy taką funkcję nazywamy potencjałem pola sił , a wyrażenie
nazywamy energią potencjalną punktu materialnego.
Zakładając, że rozpatrywany punkt materialny znajduje się w polu sił potencjalnych oraz różniczkując energię potencjalną względem czasu otrzymujemy
Pochodną potencjału pola sił możemy obliczyć na zasadzie różniczkowania funkcji złożonej otrzymując
Uwaga! Z teorii całki krzywoliniowej wynika również, że potencjalne pole sił spełnia warunek i odwrotnie, jeżeli w obszarze jednospójnym pole sił spełnia warunek to w tym obszarze jest ono potencjalne.
Przypadki szczególne równań ruchu punktu materialnego
Z punktu widzenia matematyki można prawa dynamiki punktu materialnego traktować jako układ zwyczajnych równań różniczkowych
,
względem nieznanych funkcji prędkości oraz położenia . Dla kompletności sformułowania problemu należy określić również warunki początkowe prędkości
i położenia
Na ogół zagadnienie takie nie posiada rozwiązań analitycznych i trzeba ich poszukiwać metodami numerycznymi. W szczególnych przypadkach budowy funkcji rozwiązania analityczne mogą istnieć.
Siła jako znana funkcja czasu
Zakładamy, że zależy od czasu w zadany sposób. Wtedy równanie ruchu punktu materialnego
scałkowane względem czasu w przedziale daje
gdzie oznacza początkową wartość prędkości. Całkując następnie definicję prędkości
względem czasu w przedziale otrzymujemy
gdzie oznacza początkową wartość położenia rozpatrywanego punktu.
Zauważmy, że otrzymaną całkę dwukrotną można przekształcić na jednokrotną używając metody całkowania przez części
Zatem rozwiązanie równań ruchu w rozpatrywanym przypadku ma postać.
Widać, że do rozwiązania potrzebujemy warunków początkowych na położenie oraz prędkość .
Rzut ukośny
W przypadku szczególnym ruchu punktu w jednorodnym polu grawitacyjnym Ziemi zakładamy, że
gdzie jest wektorem przyśpieszenia ziemskiego. Wtedy rozwiązanie równań ruchu punktu przyjmuje postać
Rzut ukośny z uwzględnieniem oporu powietrza
Dla małych prędkości ruchu dobrym przybliżeniem zagadnienia jest założenie liniowości oporu powietrza względem prędkości. Wtedy przyjmujemy następujące wyrażenie dla siły działającej na punkt
i druga zasada dynamiki przyjmuje postać
Jest to niesprzężony układ 3 zwyczajnych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać
gdzie
Rozwiązanie szczególne znajdziemy metodą Cauchy
gdzie jest rozwiązaniem równania jednorodnego, tzn.
spełniającym następujące warunki początkowe
, .
Z twierdzenia o pochodnej funkcji górnej granicy całkowania wynika, że dla rozwiązania szczególnego mamy
czyli lewa strona rozpatrywanego równania różniczkowego wynosi
Zatem rozwiązanie szczególne wg. metody Cauchy spełnia rozważane równania różniczkowe z jednorodnymi warunkami początkowymi
Zatem rozwiazanie rozpatrywanego przypadku drugiego prawa Newtona ma postać
Do rozpatrzenia pozostały jeszcze warunki poczatkowe
Proste obliczenia dają natępujące wyniki
, , .
Korzystają z założenia stałości grawitacji otrzymujemy
Z własności funkcji wykładniczej wynika, że dla dużych wartości czasu , a prędkość zbliża się do wartości .
Drgania własne punktu materialnego
Załóżmy, że siła działajaca na punkt jest potencjalna i zależy liniowo od wychylenia punktu z położenia równowagi. Wtedy dobierając odpowiednio układ współrzędnych mamy
, ,
gdzie , i są parametrami sprężystości podparcia punktu materialnego.
Dla składowej x wychylenia punktu mamy nastepujące równanie ruchu
Jego rozwiązanie ogólne ma postać
gdzie .
Dla składowej x prędkości mamy zatem
Z warunków początkowych
obliczamy stałe całkowania
Ostatecznie otrzymujemy
Dla pozostałych składowych wychylenia jest analogicznie
Drgania własne tłumione punktu materialnego
Załóżmy, że dodatkowo na punkt działa siła oporu proporcjonalna do prędkości wychylenia z położenia równowagi. Wtedy dobierając odpowiednio układ współrzędnych mamy
gdzie jest parametrem tłumieniem. Druga zasada dynamiki ma zatem postać
co po uporządkowaniu daje następujące
jednorodne liniowe równanie różniczkowe 2go rzędu o stałych współczynnikach. Jego rozwiązania poszukujemy w postaci funkcji wykładniczych z parametrem spełniającym nastepujące równanie charakterystyczne
Jego pierwiastki zależą od wyróżnika . W przypadku tzw. dużego tłumienia wyróżnik jest dodatni
i oba pierwiastki są liczbami ujemnymi
a rozwiązanie równaia ruchu można przedstawić w postaci
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków poczatkowych
otrzymując
W przypadku tzw. tłumienia krytycznego równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek podwójny
i rozwiazanie przyjmuje postać
W przypadku tzw. małego tłumienia równanie charakterystyczne ma pierwiastki zespolone
sąliczbami dodatnimi. Wtedy
...
kaniqa