odpRP2.pdf

Wybranerozkładyzmiennejlosowejcz.1(dlazmiennejskokowej):odpowiedzi

Wzadaniach1-4wyst¦pujerozkładdwumianowyBernoulliego.Jesttorozkładzmiennejlosowej X ,wyra»aj¡cejliczb¦

k =0 , 1 , 2 ,...,n sukcesówotrzymanychw n niezale»nychpróbach,przyczymprawdopodobie«stwosukcesuwjednejpróbie

p k (1 − p ) n − k = n !

k !( n − k )! p k (1 − p ) n − k dla

k =0 , 1 , 2 ,...,n .Dlatakiejzmiennej E ( X )= np ,za± D 2 ( X )= npq = np (1 − p ).

1. n =5, p = q = 1 2 , P ( X = k )= 5 k 1 2 k · 1

a) P ( X =0)= 5 0

1 2 5 = 1 32

2 5 − k = 5 k 1 2 5 dla k =0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5.

1 2 5 = 5 32

P ( X =2)= 5 2

1 2 5 = 10 32

P ( X =3)= 5 3 1 2 5 = 10 32

P ( X =4)= 5 4 1 2 5 = 5 32

P ( X =5)= 5 5 1 2 5 = 1 32

x i 0 1 2 3 4 5

p i 1 32 5 32 10 32 10 32 5 32 1 32

b)Niech A -zdarzenie,»eorzełwypadłprzynajmniejraz, A 0 -zdarzenieprzeciwne,orzełniewypadłwcale.Wtedy

P ( A )=1 − P ( A 0 )=1 − P ( X =0)=1 − 1 32 = 31 32 .

> > > > > > > > > > <

> > > > > > > > > > :

0 dla x ¬ 0

32 dla x 2 (0 , 1 i

c) E ( X )= np = 5 2 ,za± D 2 ( X )= npq = 5 4 , =

p 5

d) F ( x )=

32 dla x 2 (2 , 3 i

32 dla x 2 (3 , 4 i

32 dla x 2 (4 , 5 i

1 dla x> 5

2. n =4, p = 1 3 , q = 2 3 , P ( X = k )= 4 k 1 3 k · 2 4 − k

3 4 − k = 4 k 2 4 − k

3 4 dla k =0 , 1 , 2 , 3 , 4.

a) P ( X =0)= 16 81 P ( X =1)= 32 81 P ( X =2)= 24 81 P ( X =3)= 8 81 P ( X =4)= 1 81

x i 0 1 2 3 4

p i 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81

b) E ( X )= np = 4 3 ,za± D 2 ( X )= npq = 8 9 , = 2 p 2

p 0 (1 − p ) 4 =(1 − p ) 4 .St¡d1 − p = 1 3 ,czyli p = 2 3

k ! ,przyczym > 0jestustalonymparametremtegorozkładu.

Wiadomoponadto,»e E ( X )= ,wi¦cmo»naprzyj¡c,»eparametrtenjestwprzybli»eniurównywarto±ci±redniejzdu»ej

liczbydanych.RozkładPoissonajestrozkłademzdarze«wyst¦puj¡cychrzadko(wypadkidrogowe,po»ary,wygranewTotka).

Prawdopodobie«stwadlazmiennejotymrozkładziemo»emyodczytywa¢ztablic.

5. =2, P ( X< 3)= P ( X =0)+ P ( X =1)+ P ( X =2)= ... =5 e − 2 0 , 1353+0 , 2707+0 , 2707=0 , 6767(ztablic)

P ( X> 5)=1 − ( P ( X =0)+ P ( X =1)+ P ( X =2)+ P ( X =3)+ P ( X =4)+ P ( X =5))= ... (odczytujemyztablic),

mo»nate»ztablicpoliczy¢wprost P ( X> 5) P ( X =6)+ P ( X =7)+ P ( X =8)+ P ( X =9)=0 , 0120+0 , 0034+0 , 009+

0 , 002,bodla =2i k =10 , 11 , 12 ,... wida¢wtablicach,»eczterypierwszepoprzecinkucyfryrozwini¦cialiczby P ( X = k )

s¡tuzerami

P (1 ¬ X ¬ 4)= P ( X =1)+ P ( X =2)+ P ( X =3)+ P ( X =4) 0 , 1353+0 , 2707+0 , 2707+0 , 1804+0 , 0902(ztablic)

6. przyjmujemy,»eparametr jestrównywprzybli»eniu±redniejzotrzymanychdanych,tj.

= 1 100 (0 · 15+1 · 33+2 · 26+3 · 16+4 · 6+5 · 2+6 · 1+7 · 1)=1 , 8

a) F ( x )=0dla x ¬ 0,za±gdy k =0 , 1 , 2 ,... i x 2 ( k,k +1 i ,to F ( x )= P ( X =0)+ P ( X =1)+ P ( X =2)+ ... + P ( X =

k )=1 − ( P ( X = k +1)+ P ( X = k +2)+ P ( X = k +3)+ ... )=1 −

1 P

n = k +1

5! 0 , 0045

7. przyjmujemy,»ezmiennalosowa X liczbywykoleje«roczniemarozkładPoissonazparametrem =3(±redniaroczna).

a) P ( X ¬ 1)= P ( X =0)+ P ( X =1) 0 , 0498+0 , 1494(ztablic)

b) P ( X =5)= e − 3 3 5

5! 0 , 1008

jestrówne p ,aprawdopodobie«stwopora»ki q =1 − p .Wtedy P ( X = k )= n k

P ( X =1)= 5 1

32 dla x 2 (1 , 2 i

3. a) n =6, p =0 , 8, q =0 , 2, P ( X = k )= 6 k

(0 , 8) k · (0 , 2) 6 − k dla k =0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

b) E ( X )= np =4 , 8,za± D 2 ( X )= npq =0 , 96, 0 , 9798

c) P ( X 2)=1 − P ( X< 2)=1 − ( P ( X =0)+ P ( X =1))=1 − 25 · 2 6

10 6

4. n =4, P ( X 1)= 80 81 =1 − P ( X =0),zatem P ( X =0)= 1 81 = 4 0

Wzadaniach5-7wyst¦pujezmiennalosowa X orozkładziePoissona,tzn. X przyjmujezniezerowymprawdopodobie«-

stwemwarto±ci k =0 , 1 , 2 ,... ,przyczym P ( X = k )= e − k

e − n

n !

Poniewa»teprawdopodobie«stwaszybkostaj¡si¦bardzomałe,wpraktyceoznaczatokonieczno±¢wyliczeniatylkokilku

pierwszychwarto±ci.

b) P ( X =5)= e − 1 , 8 (1 , 8) 5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: