1-CIĄGI LICZBOWE.doc

CIĄGI LICZBOWE

• Definicja ciągu liczbowego:

Ciągiem liczbowym (rzeczywistym) nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R.

• Oznaczenia:

(an) – ciąg liczb rzeczywistych lub ciąg liczbowy

an – n-ty wyraz ciągu

n – wskaźnik

• Przykłady:

1.      an=n

2.      an=1-

3.      określony wzorem rekurencyjnym: a1=, an+1=

• Interpretacja geometryczna:

           an

                 a6                                                         Ciąg (an) jest zbiorem punktów (n,an) na płaszczyźnie

              a5

              a4

              a3

              a2

              a1

                                                                        n

                    1    2       3    4    5    6

Ø      OGRANICZONOŚĆ CIĄGU

• • Definicja ciągu ograniczonego:

Ciąg (an) nazywamy ograniczonym:

1)     z dołu, jeśli

2)     z góry, jeśli

3)     ograniczonym, jeśli

M* = min (m,M)

• Przykłady:

1)          an – ciąg ograniczony

2)  an=3-cos(n’)2

              -1cos(n’)2≤1 / ∙ (-2)

              -2≤-2cos(n’)2≤2 / +3

              1≤3-2cos(n’)2≤5

              1≤an≤5

3) an=log2n

Ø      MONOTONICZNOŚĆ

• • Definicja ciągu monotonicznego:

Ciąg (an) nazywamy:

1)     ciągiem rosnącym (ściśle rosnącym), jeśli

2)     ciągiem niemalejącym (słabo rosnącym), jeśli

3)     ciągiem malejącym (ściśle malejącym), jeśli

4)     ciągiem nierosnącym (słabo malejącym), jeśli

5)     ciągiem stałym, jeśli

Ciągi rosnące, malejące, słabo rosnące, słabo malejące i stałe nazywamy ciągami monotonicznymi.

• Przykłady:

Zbadać monotoniczność ciągów:

a)

an+1-an>0

an+1>an

Ciąg (an) jest ciągiem rosnącym.

JEŚLI , to     c. rosnący

                                            c. słabo rosnący

                                            c. malejący

                                            c. słabo malejący

                                            c. stały

b)   

an – ciąg słabo rosnący

• Kwantyfikatory:

- „dla każdego”:

- „istnieje”:

* N={1,2,3,…}

Ø      GRANICA CIĄGÓW:

Uwaga: Mówimy, że „prawie wszystkie wyrazy ciągu” (an) spełniają pewną własność, jeśli co najwyżej skończona ilość wyrazów tej własności nie spełnia.

• Definicja Cauchy’ego o granicy ciągu:

Ciąg (a­n­­) nazywamy zbieżnym do granicy właściwej g, a g nazywamy granicą ciągu (a­n­), co zapisujemy: lub  , jeśli dla dowolnego ε>0 istnieje taka liczba δ, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach n>δ różnią się od g mniej niż o ε, co zapisujemy:

• Interpretacja geometryczna:

an

         g+ε------------------------------------------------

            g ------------------------------------------------       pasek epsilonowy

          g-ε------------------------------------------------

                                                                                                  n

                            Ciąg (an) jest zbieżny do granicy ggdy w każdym dowolnie małym otoczeniu  (g-ε, g+ε) nazywamy paskiem epsilonowym leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu.

• Przykłady:

Udowodnij na podstawie definicji, że .

Weźmy ε>0

• Twierdzenie o jednoznaczności granicy ciągu:

Każdy ciąg zbieżny posiada dokładnie jedną granicę.

• Definicja ciągu rozbieżnego:

Ciąg, który nie posiada granicy właściwej nazywamy ciągiem rozbieżnym.

• Definicja granicy niewłaściwej ciągu:

Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do +∞ (zbieżny do granicy niewłaściwej +∞)gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej M>0 istnieje δ, taka, że wszystkie wyrazy ciągu (an­) o wskaźnikach większych od δ, są większe od M, co zapisujemy:

          an

              M                                                       

                                                   δ                                          n

Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym do -∞ (zbieżnym do granicy niewłaściwej -∞)gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej M<0, istnieje liczba δ, taka, że wszystkie wyrazy ciągu (an) o wskaźnikach większych od δ, są mniejsze od M, co zapisujemy:

        an

                                  δ                                n

        M

• 
  
  Przykłady:

a)                                                           b) bn=log⅓n

  an                                                                               bn     

                                                                                                                                    n

                                 n

• Definicja podciągu:

Niech (an­) będzie dowolnym ciągiem oraz niech (kn) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu (an­) nazywamy ciąg bn określony wzorem: .

• Twierdzenie o granicy podciągu ciągu zbieżnego:

Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.

WNIOSEK: Jeśli istnieją dwa podciągi ciągu (an) zbieżne do różnych granic, to granica ciągu (an­) nie istnieje. Ciąg (a...