3. Stateczność prętów prostych, postacie utraty stateczności, metody określania sił krytycznych.
1. ANALIZA SŁUPA MIMOŚRODOWO ŚCISKANEGO
ZADANIE: przeanalizować zachowanie słupa wolnopodpartego mimośrodowo ściskanego siłą P (obciążenie konserwatywne). Mimośród e mierzony jest od środka ciężkości przekroju do linii działania siły P.
* warunki brzegowe dla wyznaczenia stałych całkowania C1 i C2
· związek wmax z siłą P jest nieliniowy, mimo że wykorzystano zlinearyzowane równanie linii ugięcia (zlinearyzowany wzór na krzywiznę), jak również liniowy związek fizyczny (w oparciu o niego otrzymano równanie linii ugięcia). Jest to wynikiem „sprzężenia” momentu zginającego z ugięciami (moment zginający nie da się określić bez znajomości ugięć). Mówiąc inaczej - jest to wynik odstępstwa od zasady zesztywnienia (mówi ona, że wpływ przemieszczeń na wielkości sił przekrojowych jest pomijalny)
· ugięcie rośnie nieograniczenie, gdy siła zmierza do pewnej wartości, którą nazwano siłą krytyczną Pkr.
jeżeli mimośród e=0, ugięcie wmax wynosi:
Tak długo, jak P<Pkr pręt zachowuje się w sposób „stateczny”, tzn. znajduje się w stanie początkowej równowagi prostoliniowej. Wówczas, gdy siła osiągnie wartość krytyczną Pkr pręt traci stateczność (ulega wyboczeniu), a jego ugięcia mogą być dowolnie duże.
Wyboczenie jest to zatem utrata przez ściskany pręt stanu równowagi statecznej na rzecz równowagi obojętnej lub niestatecznej.
1.1. Naprężenie w słupie z odstępstwem od zasady zesztywnienia
( I człon opisuje osiowe ściskanie pręta, zaś drugi - zginanie słupa )
* naprężenie maksymalne przy wykorzystaniu zasady zesztywnienia (postępowanie analogiczne, jak w przypadku mimośrodowego rozciągania)
2. SIŁA KRYTYCZNA DLA SŁUPA
2.1. Zakres liniowo sprężysty
analizowany jest tzw. słup idealny, tzn. idealnie prosty i obciążony centralnie przyłożoną siłą ściskającą P
materiał słupa jest liniowo sprężysty (materiał Hooke’a)
pręt swobodnie podparty
*
* ogólna postać siły krytycznej (siły Eulera )
długości wyboczeniowe Lw
Lw = L Lw = 2 L
* podstawowe zasady kształtowania słupów
siła krytyczna, jako obciążenie powodujące wyboczenie słupa (z reguły wyboczenie oznacza utratę przez konstrukcję zdolności do prawidłowej pracy), powinna być jak największa
siła krytyczna jest proporcjonalna do sztywności giętnej słupa E Imin i odwrotnie proporcjonalna do długości wyboczeniowej Lw - tak więc zwiększenie siły Pkr może nastąpić jedynie w drodze odpowiedniego ukształtowania przekroju poprzecznego lub/i schematu statycznego słupa. Nie zwiększa siły krytycznej zastosowanie materiału o bardzo wysokiej wytrzymałości !
W przypadku słupów przez odpowiednie ukształtowanie przekroju rozumie się taki dobór jego geometrii, który z określonej ilości materiału pozwala uzyskać przekrój o maksymalnej sztywności, czyli maksymalnym momencie bezwładności. Można to osiągnąć poprzez rozmieszczenie materiału tak daleko od środka ciężkości przekroju, jak to tylko możliwe.
Æ czym stosunek promieni ścianki zewn. i wewn. jest mniejszy (a zatem „cieńsza” jest ścianka rury) tym korzyści płynące z zastosowania przekroju rurowego są większe. Niestety, jeżeli grubość jest zbyt mała ścianka rury sama staje się niestateczna i może dojść do lokalnego wyboczenia w postaci „pofałdowania” powierzchni rury. Zamiast globalnego wyboczenia słupa mamy wówczas tzw. lokalną utratę stateczności (zapobiega się jej przez stosowanie użebrowania).
3. NAPRĘŻENIE NORMALNE W SŁUPIE
średnie naprężenie ściskające
Þ
* zakres liniowo sprężystej ( LS )pracy materiału
* zakres pozaliniowo sprężystej pracy materiału
warunki „brzegowe”
aproksymacja liniowa T-J
aproksymacja paraboliczna J-O
4. PROJEKTOWANIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH
l warunek projektowania
l W przypadku dopuszczenia do wyboczenia w zakresie pozaliniowo sprężystym przyjmuje się, że zamiast granicy plastyczności Re należy wziąć wytrzymałość obliczeniową na rozciąganie Ro.
l założenie
współczynnik wyboczeniowy
Normy uwzględniają we współczynniku wyboczeniowym takie czynniki jak losowość charakterystyk materiałowych, losowość obciążenia i odstępstwa od prostoliniowości pręta ściskanego (tzw. imperfekcje)
4.1. Algorytm obliczeń
1. warunek wytrzymałościowy
2. przyjąć przekrój
3. obliczyć smukłość pręta
oraz tzw. smukłość porównawczą
4. z tablic wziąć wartość wsp. wyboczeniowego j dla określonego stosunku
5. sprawdzić warunek projektowania
6. jeżeli warunek projektowania jest spełniony, to proces projektowania jest zakończony. W przeciwnym wypadku należy zwiększyć przekrój A’ i wrócić do punktu 3.
Wg J. German
* związek wmax z siłą P jest nieliniowy, mimo że wykorzystano zlinearyzowane równanie linii ugięcia (zlinearyzowany wzór na krzywiznę), jak również liniowy związek fizyczny (w oparciu o niego otrzymano równanie linii ugięcia). Jest to wynikiem „sprzężenia” momentu zginającego z ugięciami (moment zginający nie da się określić bez znajomości ugięć). Mówiąc inaczej - jest to wynik odstępstwa od zasady zesztywnienia (mówi ona, że wpływ przemieszczeń na wielkości sił przekrojowych jest pomijalny)
* ugięcie rośnie nieograniczenie, gdy siła zmierza do pewnej wartości, którą nazwano siłą krytyczną Pkr.
* jeżeli mimośród e=0, ugięcie wmax wynosi:
* Przykład liczbowy
Obliczyć nośność pręta ściskanego P, wykonanego z dwuteownika 120, o długości ...
a_ziomek