skrypt.pdf

StanisławBetley,JózefChaber,El»bietaPoliRomanPol

TOPOLOGIAI

wykładyizadania

WST , EP.

Materiałwskrypcieodpowiadaprogramowizaj , e¢zTopologiiIwtrzecimse-

mestrzestudiównaWydzialeMIMUniwersytetuWarszawskiegoijestopartyna

naszychdo±wiadczeniachzwykładówi¢wicze«dotegoprzedmiotu.

Programdopuszczadu» , aró»norodno±¢wrozło»eniuakcentównaposzcze-

gólnetematyiprzedstawionymateriałjestwynikiemwypo±rodkowanianaszych

pogl , adównatekwestie,pocz , atkowodo±¢rozbie»nych.Mamynadziej , e,»etowy-

wa»enieró»nychpunktówwidzeniaprzyniesiepo»yteku»ytkownikomskryptu.

Wcz , e±cidotycz , acejhomotopiiumie±cili±mykonstrukcj , egrupypodstawowej.

Je±liwsemestrzejestpełnych30godzinwykładówi¢wicze«,czaspozwalana

wystarczaj , acodobreomówienietejtematyki.Wprzeciwnymrazie,jakwynikaz

naszychdo±wiadcze«,mo»naj , ajedyniezarysowa¢nawykładzie,niewł , aczaj , ac

do¢wicze«.

Wzagadnieniachdotycz , acychiloczynówkartezja«skich,oddzielili±myiloczyny

sko«czoneodprzeliczalnych.Teostatnieumieszczones , awcz , e±ciachopatrzonych

gwiazdk , aisugerowaliby±my,abykoncentrowa¢si , enaomówieniuiloczynówsko«-

czonych.

WUzupełnieniach,opróczkilkuwyja±nie«iprzykładów,którechcieli±mywy-

dzieli¢zgłównegotekstu,doł , aczyli±mypewnewa»netematyspozaprogramu,w

tymdowodytwierdze«BrouweraiTichonowa.S , adzimy,»enale»yułatwi¢stu-

dentomIIrokuWydziałuMIM,którzyzainteresowalibysi , etymizagadnieniami,

mo»liwieprostezapoznaniesi , eznimi.

Istotn , acz , e±ci , askryptus , azadania.Starali±mysi , edobra¢jetak,aby(zewentu-

aln , awskazówk , a)niebyłyzbytzło»one.Znaczn , aichcz , e±¢nale»yjednaktraktowa¢

jakomateriałuzupełniaj , acy.Nasz , aocen , etego,codajesi , edokładnieomówi¢na

¢wiczeniach,sygnalizujemyopatruj , acpewneztychzada«symbolem .Ztych

zada«układali±my,prowadz , ac¢wiczenia,zestawydlastudentówidawali±mypo-

dobnezadanianakolokwiachiegzaminach.

Istniejeobszernaliteraturawj , ezykupolskim,dotycz , acaró»nychaspektówpro-

blematyki,wktór , awprowadzakursTopologiiI(niektóreztychpozycjiwymie-

niamyponi»ej).Naszskrypt,pisanyzmy±l , aozaj , eciachkursowych,niezast , api

oczywi±ciekontaktuz»adn , aztychznakomitychksi , a»ek.

WYBRANEPOZYCJEZLITERATURYWJ , EZYKUPOLSKIM.

R.Engelking,K.Sieklucki, Wst , e pdotopologii ,Warszawa1986.

K.J¨anich, Topologia ,Warszawa1991.

C.Kosniowski, Wprowadzeniedotopologiialgebraicznej ,Pozna«1999.

K.Kuratowski, Wst , e pdoteoriimnogo±ciitopologii ,Warszawa2004.

J.Mioduszewski, Wykładyztopologii.Topologiaprzestrzenieuklidesowych ,Ka-

towice1994.

1.Przestrzeniemetryczneiprzestrzenietopologiczne

1.1. Metrykiitopologiaprzestrzenimetrycznej.

Metrykapozwalamierzy¢odległo±¢mi , edzypunktamiprzestrzeni.Interesowa¢

nasb , ed , ajednakniesamemetryki,awyznaczoneprzeznierodzinyzbiorówotwar-

tych-topologie.

Deﬁnicja1.1.1. Metryk , a nazbiorzeXnazywasi , e funkcj , e d : X × X ! R

spełniaj , a c , a nast , e puj , a cewarunki:

(1) d ( x,x )=0 wtedyitylkowtedy,gdyx = y,

(2) d ( x,y )= d ( y,x ) ,dlax,y 2 X,

(3) d ( x,y ) ¬ d ( x,z )+ d ( z,y ) ,dlax,y,z 2 X.

Par , e( X,d ) nazywamyprzestrzeni , a metryczn , a .

Zwłasno±ci(3),nazywanejnierówno±ci , atrójk , ata,warunkusymetrii(2),oraz

(1)wynika,»edla x,y 2 X ,0= d ( x,x ) ¬ 2 d ( x,y ),awi , ecmetrykaprzyjmuje

tylkowarto±cinieujemne.

Elementyprzestrzenimetrycznej( X,d )nazywa¢b , edziemypunktami,aliczb , e

d ( x,y )odległo±ci , ami , edzypunktami x,y 2 X .

s , aci , agi n -elementoweliczbrzeczywistych,aodległo±¢miedzy a =( a 1 ,...,a n ),

b =( b 1 ,...,b n ) 2 R n jestokre±lon aformuł , a

(4) d e ( a,b )= q P i =1 ( a i − b i ) 2 .

Sprawdzimy,»e d e jestmetryk , a.Uzasadnieniawymagajedynienierówno±¢

trójk , ata(3).Poka»emynajpierw,»edla 0 =(0 ,..., 0),

(5) d e ( a,b ) ¬ d e ( a, 0 )+ d e ( 0 ,b ).

Popodniesieniudokwadratuobustron,(5)przekształcasi , ewnierówno±¢

Cauchy’ego

(6) P i =1 | a i b i |¬ q P i =1 a 2 i

n ,d e ).PunktamiR

q P i =1 b 2 i .

q P i =1 a 2 i , B =

q P i =1 b 2 i , s i =

B ,mamy P i =1 s 2 i =1= P i =1 t 2 i ,aponiewa»2 s i t i ¬ s 2 i + t 2 i ,po

zsumowaniutychnierówno±cistronamidostaniemy(6).

Abyprzej±¢od(5)doogólnejsytuacji,zauwa»my,»emetrykaeuklidesowajest

niezmienniczazewzgl , edunaprzesuni , ecia,awi , ecdladowolnych a,b,c 2 R

A , t i = | b i |

n mamy

d e ( a,b )= d e ( a − c,b − c ) ¬ d e ( a − c, 0 )+ d e ( 0 ,b − c )= d e ( a,c )+ d e ( c,b ).

Kul , awprzestrzenimetrycznej( X,d )o±rodkuwpunkcie a 2 X ipromieniu

r > 0nazywamyzbiór

B ( a,r )= { x 2 X : d ( a,x ) < r } .

Deﬁnicja1.1.3. Wprzestrzenimetrycznej ( X,d ) ,zbiórU Xjestotwarty,je±li

dlaka»degox 2 Uistniejer > 0 takie,»eB ( x,r ) U.Rodzin , e T ( d ) wszystkich

zbiorówotwartychw ( X,d ) nazywamytopologi , a tejprzestrzenimetrycznejalbo

topologi , a generowan , a przezmetryk , e d.

Przykład1.1.2. Wprowadzimyprzestrzenieeuklidesowe(R

Przypomnijmyuzasadnienie(6):przyjmuj , ac A =

| a i |

Uwaga1.1.4. (A)Wprzestrzenimetrycznej( X,d ),je±li b 2 B ( a,r ),tozgod-

nieznierówno±ci , atrójk , ata,dla s = r − d ( a,b ),mamy B ( b,s ) B ( a,r ).W

szczególno±ci,kule B ( a,r )s , aotwartewprzestrzeni( X,d ).

(B)Dopełnienie X \ F zbiorusko«czonego F wprzestrzenimetrycznej( X,d )

jestotwarte.Istotnie,je±li x 2 X \ F i r =min { d ( x,y ): y 2 F } ,to B ( x,r )

X \ F .

Własno±citopologiiprzestrzenimetrycznej,którewyró»nimywnast , epuj , acym

twierdzeniu,posłu» , anamwdalszejcz , e±cidookre±leniaogólnychprzestrzenito-

pologicznych.

Twierdzenie1.1.5. Topologia T ( d ) przestrzenimetrycznej ( X,d ) manast , e puj , a -

cewłasno±ci:

(i) ; ,X 2T ( d ) ,

(ii)przeci , e ciesko«czeniewieluelementów T ( d ) jestelementem T ( d ) ,

(iii)sumadowolniewieluelementów T ( d ) jestelementem T ( d ) .

Dowód. Poniewa» x 62; dlaka»dego x 2 X ,warunekokre±laj , acyzbioryotwarte

w( X,d )jestspełnionydla ; .Jestte»jasne,»e X 2T ( d ).

Sprawdzimy(ii).Niech U 1 ,U 2 2T ( d ).Dladowolnego x 2 U 1 \ U 2 istniej , a

r i > 0takie,»e B ( x,r i ) U i ,awi , ec B ( x,r ) U 1 \ U 2 ,dla r =min( r 1 ,r 2 ).

Zatem U 1 \ U 2 2T ( d ),ast , ad(ii)wynikaprzezindukcj , e.

Przykład1.1.6. (A)Metrykinatymsamymzbiorze,oró»nychwłasno±ciach

geometrycznych,mog , agenerowa¢t , esam , atopologi , e.Dlailustracji,rozpatrzmy

n metryki

d s ( a,b )=

n X

| a i − b i | , d m ( a,b )=max

i =1

n ,d m )maj , aró»nykształt,alemetryki d e , d s i d m gene-

ruj , at , esam , atopologi , e, T ( d e )= T ( d s )= T ( d m ).

n ,d e ),(R

n ,d s ),oraz(R

Wyn ik atozprostychnierówno±ci d e ¬ p nd m , d m ¬ d s ,oraznierówno±ci

d s ¬ p nd e ,którajestkonsekwencj , anierówno±ciCauchy’ego(6)w1.1.2.

(B)Niech( X,d )b , edzieprzestrzeni , ametryczn , ai > 0.Wówczasfunkcja

d ( x,y )=min { d ( x,y ) , } jestmetryk , aw X ,generuj , ac , at , esam , atopologi , e,co

metryka d .Wynikatost , ad,»ewobuprzestrzeniachmetrycznych( X,d )i( X,d )

kuleopromieniach < s , aidentyczne.

Przykład1.1.7. (A)Funkcja d :R × R ! Rokre±lonaformułami d ( x,y )=

| x | + | y | ,dla x 6 = y ,oraz d ( x,x )=0,jestmetryk , a.Metryka d generujewR

topologi , e T ( d )ró»n , aodtopologiieuklidesowej,tzn.generowanejprzezmetryk , e

d e ( x,y )= | x − y | .Wprzestrzeni(R ,d )kulao±rodkuwpunkcie x 6 =0ipromieniu

r = | x | składasi , ejedyniezpunktu x ,azatem { x } jestzbioremotwartymwtej

przestrzeni.Poniewa»kulaw(R ,d )o±rodkuwzerzeipromieniu r jestprzedzia-

łem( − r,r ),wynikast , ad,»e T ( d )składasi , ezewszystkichpodzbiorówR \{ 0 } ,

orazwszystkichzbiorówzawieraj , acychpewienprzedział( − r,r ).

Niech V = S U b , edziesum , arodziny UT ( d ).Je±li x 2 V ,to x 2 U dla

pewnego U 2U ,awi , ecistnieje r > 0takie,»e B ( x,r ) U V .Zatem

V 2T ( d ),codowodzi(iii).

i | a i − b i | ,

gdzie a =( a 1 ,...,a n ), b =( b 1 ,...,b n ).Kulewprzestrzeniachmetrycznych

1 b , edziezbioremci , agówliczbrzeczywistych( x 1 ,x 2 ,... )oprawie

wszystkich(tzn.wszystkich,pozasko«czeniewieloma)współrz , ednychrównych

zeru.B , edziemyidentyﬁkowa¢R

Metryki d e i d s wR

1 okre±lamyformułami

n zezbiorempunktów( x 1 ,...,x n , 0 , 0 ,... )wR

1 .

v u u t

d e ( a,b )=

1 X

( a i − b i ) 2 , d s ( a,b )=

1 X

| a i − b i | ,

i =1

1 metryki d e i d s pokrywaj , asi , e

zmetrykamiwprowadzonymiw1.1.2i1.1.6(A)).Poka»emy,»e d e i d s generuj , a

ró»netopologiewR

n R

1 .Istotnie,niech 0 =(0 , 0 ,... )iniech B s ( 0 , 1 / 2)b , edziekul , a

1 ,d s )o±rodkuw 0 ipromieniu1 / 2.Sprawdzimy,»e B s ( 0 , 1 / 2) 62T ( d e ).

Załó»myprzeciwnieiniech B e ( 0 ,r ) B s ( 0 , 1 / 2),gdzie B e ( 0 ,r )jestkul , aw

2 n +2 n , 0 , 0 ,... ).Wówczas d e ( a, 0 ) ¬ q 2 n · ( 1 2 n ) 2 ¬ ( 1 p 2 ) n < r ,

sk , ad a 2 B e ( 0 ,r ),ale d s ( a, 0 ) 2 n · 1

2 n +2 ,..., 1

2 · 2 n = 1 2 ,czyli a 62 B s ( 0 , 1 / 2),awi , ec

doszli±mydosprzeczno±ci.

Zako«czymyt , ecz , e±¢uwag , adotycz , ac , atopologiipodprzestrzeniprzestrzenime-

trycznych.

Uwaga1.1.8. Niech( X,d X )b , edzieprzestrzeni , ametryczn , ainiech Y X .

Wówczasobci , ecie d Y = d X | Y × Y metryki d X do Y jestmetryk , a,generuj , ac , a

w Y topologi , e T ( d Y ),którejelementys , a±ladamizbiorówotwartychw( X,d X )

na Y ,tzn. T ( d Y )= { U \ Y : U 2T ( d X ) } .Abysi , eotymupewni¢,wystarczy

zauwa»y¢,»edla y 2 Y kulawprzestrzeni( Y,d Y )o±rodkuw y ipromieniu r

jestprzeci , eciemz Y kuliw( X,d X )o±rodkuw y ipromieniu r .

Przykład1.1.9. Niech Y = { 0 }[{ 1 n : n =1 , 2 ,... } iniech d Y b , edzieobci , eciem

do Y metrykieuklidesowejwR.Topologia T ( d Y )składasi , ezewszystkichpod-

zbiorów Y ,którealboniezawieraj , azera,alboichdopełnieniedo Y jestsko«czone.

Zauwa»my,»eobci , eciedo Y metrykizPrzykładu1.1.7(A)generujet , esam , a

topologi , e.

1.2. Przestrzenietopologiczne.

Własno±ciwyró»nionewTwierdzeniu1.1.5przyjmiemyzaokre±lenietopologii

wprzestrzeniachbezmetryki.

Deﬁnicja1.2.1. Rodzina T podzbiorówzbioruXjesttopologi , a wX,je±li

(i) ; ,X 2T ,

(ii)przeci , e ciesko«czeniewieluelementów T jestelementem T ,

(iii)sumadowolniewieluelementów T jestelementem T .

Par , e( X, T ) nazywamyprzestrzeni , a topologiczn , a ,elementyzbioruXpunktami

tejprzestrzeni,aelementyrodziny T zbioramiotwartymiw ( X, T ) .

Je±lidlaprzestrzenitopologicznej( X, T )mo»naokre±li¢metryk , e d na X ,dla

której T = T ( d ),mówimy,»eprzestrze«( X, T )jestmetryzowalna.Istniejewiele

wa»nychprzestrzenitopologicznych,którenies , ametryzowalne.Jedn , aznich

wska»emywnast , epuj , acymprzykładzie(zob.tak»eUzupełnienie7.3.2).

(B)NiechR

gdzie a =( a 1 ,a 2 ,... ), b =( b 1 ,b 2 ,... )(naR

w(R

1 ,d e )o±rodkuw 0 ipromieniu r > 0.Ustalmy n taki e,»e( 1 p 2 ) n < r iniech

a =( 1

2 n +1 , 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: