Algebra liniowa - lista zadań.pdf - lukers21

ALGEBRALINIOWA1

Listazadań

2006/2007

1.Liczby zespolone

1.1

Wykonać podane działania:

a) (1 − 3 i )+(4 − 5 i );

√

2 i

−

√

3 − 6 i

;

√

7 − √

3 i

√

3 i

; d) 2+3 i

1+ i ;

e) z w , z 2

w , z − w

z + w , Re z + i Im w

z + w

dla z =5 − 2 i , w =3+4 i.

1.2

Znaleźć liczby rzeczywiste x,y spełniające podane równania:

a) x (2+3 i )+ y (5 − 2 i )= − 8+7 i ; b) (2+ yi ) ( x − 3 i )=7 − i ;

c) 1+ yi

x − 2 i =3 i − 1;

d) x + yi

x − yi = 9 − 2 i

9+2 i .

1.3

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania:

a) z 2 =4 z ;

b) 1+ i

= 2 − 3 i

;

c) z 2 − 4 z +13=0;

d) ( z +2) 2 =( z +2) 2 ;

e) 2 z + z =6 − 5 i ;

f) (1+ i ) z +3( z − i )=0;

z − 1+4 i = 1 − i

2+ i

2 z + i ;

h) z + i − z + i =0;

i*) z 2 − (6+ i ) z +11 − 7 i =0; j*) z 3 − 6 iz 2 − 12 z +8 i =0 .

1.4

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki:

a) Re( iz +2) 0; b) Im z 2 < 0;

c) z − i = z − 1;

d) 4

z = z ;

e) zz +(5+ i ) z +(5 − i ) z +1=0; f) Im 1+ iz

1 − iz =1 .

1.5

Niech u = z +4

z − 2 i , v =

iz +4 , gdzie z ∈

C . Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla

których:

a) liczba u jest rzeczywista; b) liczba u jest czysto urojona;

c) liczba v jest rzeczywista; d) liczba v jest czysto urojona.

1.6

Punkty z 1 , z 2 , z 3 płaszczyzny zespolonej są wierzchołkami trójkąta. Wyznaczyć położenie punktu

przecięcia środkowychtego trójkąta.

Wskazówka.Wykorzystaćfakt,żeśrodkowetrójkątaprzecinająsięwjednympunkcieidzieląsięwstosunku

2:1liczącodwierzchołka.

1.7

Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych:

a) − √

3 i ;

b) 6 − 8 i ; c) 4

√

2+ 4

√

3 i ;

d) 1+ i tg α , α ∈

− π

2 , π

; e) 1+3 i

3 − 4 i ; f) − sin π

12 + i sin 5 π

12 .

1.8

Podać interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych. Korzystając z tej interpretacji

narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) | z − 3+4 i | =1;

z − 2 i

z +1

=1;

c) 2 | iz − 5 | < 3;

d) | z +1 − 2 i | 3 oraz | z − 3 | < 4;

z + i

z 2 +1

f) sin

π | z +2 i |

> 0;

g*) 3 | z + i |

z 2 +1

< 5 | z − i | ; h)

z − 1+3 i

5 .

1.9

Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej:

a) 7+7 i ;

√

3 − i ;

c) − 5+5

√

3 i ;

d) sin α + i cos α ; e) − cos α + i sin α ; f) 1+ i tg α.

Uwaga. W ćwiczeniach d) , e) , f) kąt α spełnia nierówności 0 < α < π

2 .

1.10

Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) arg z = 5 π

4 ; b) π

6 < arg( z +3 i ) < π

3 ; c) π arg( iz ) < 2 π ;

= π ; e) π

arg( − z ) π

2 ; f*) arg ( z − 1 − 2 i )= 3 π

d) arg

z 6

2 .

1.11

Obliczyć wartości podanych wyrażeń (wynik podać w postaci algebraicznej):

a) (1 − i ) 12 ;

√

3 i

8 ; c)

√

3 − 2 i

30 ;

cos π

− i sin π

; e) (1+ i ) 22

6 ; f)

sin π

6 + i cos π

√

1 − i

1.12

Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić:

a) sin3 x przez funkcję sin x ; b) cos4 x przez funkcje sin x i cos x ;

c*) tg6 x przez funkcję tg x ; d*) ctg5 x przez funkcję ctg x.

1.13

Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) Im

z 3

< 0;

b) Re

z 4

c) Im

z 2

( z ) 2

; d) Im (1+ i ) z

(1 − i ) z

0 .

* 1.14

Wykorzystując wzór na sumę wyrazów zespolonego ciągu geometrycznego obliczyć:

2 +cos x +cos2 x + ... +cos nx ; d) sin x +sin3 x + ... +sin(2 n − 1) x ;

e) 1+(1 − i )+(1 − i ) 2 + ... +(1 − i ) n ;

−

− ... +( − 1) n

2 m

, gdzie n ∈

N oraz m =

1.15

Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej rozwiązać podane równania:

a) z 7 = z ; b) ( z 4 )= z 2

z 2

; c) ( z ) 2

z 2

= 4

z 2 ;

d) | z | 3 = iz 3 ; e) z 6 =( z ) 6 ; f)

z 8

= z 4 .

1.16

StosującwzoryEulerawyrazićpodane funkcje wpostacisumsinusówicosinusówwielokrotnościkąta

x :

a) sin 3 x ; b) cos 2 x ; c) sin 5 x ; d) sin 4 x +cos 4 x.

1.17

Korzystając z deﬁnicji obliczyć podane pierwiastki:

√

5 − 12 i ; b)

√ − 11+60 i ; c) 3

√

i ; d) 4

√

16 .

1.18

Obliczyć i narysowaćna płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki:

− 1+

√

3 i ; b) 3

√ − 27 i ; c) 4

√ − 4; d) 6

√ − 64;

e) 5

√

32 i ; f) 3

√ − 1+ i ; g*) 4

√

i ; h*) 3

√

2+2 i.

1.19

Odgadując jeden z elementów podanych pierwiastkówobliczyć pozostałe elementy:

(5 − 4 i ) 4 ; b) 4

( − 2+3 i ) 4 ; c) 3

(2 − i ) 6 ; d) 3

(2 − 2 i ) 9 .

1.20

Jednym z wierzchołkówkwadratu jest punkt z 1 = 4 − i . Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwa

dratu, jeżeli jego środkiem jest:

a) początek układu współrzędnych; b) punkt u =1;

c) punkt u =3+ i ;

d) punkt u =7+

√

2 i.

1.21

Znaleźć rozwiązania podanych równań:

a) z 4 =(1 − i ) 4 ; b) ( z − 1) 6 =( i − z ) 6 ;

c) z 3 =( iz +1) 3 ; d*) ( z +2 i ) 8 +( z − 2 i ) 8 =0 .

# ⌊ x ⌋ oznaczaczęśćcałkowitąliczby x ,tj.największąliczbęcałkowitą x.

a) sin x +sin2 x + ... +sin nx ; b) cos x +cos2 x + ... +cos nx ;

c) 1

2.Wielomiany

2.1

Obliczyć iloczyny podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych:

a) P ( x )= x 4 − 3 x 3 + x − 1 , Q ( x )= x 2 − x +4;

b) W ( z )= z 3 +5 z 2 − iz +3 , V ( z )=(1+ i ) z − 2 .

2.2

Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q , jeżeli:

a) P ( x )=2 x 4 − 3 x 3 +4 x 2 − 5 x +6 , Q ( x )= x 2 − 3 x +1;

b) P ( x )= x 16 − 16 , Q ( x )= x 4 +2;

c) P ( z )= z 5 − z 3 +1 , Q ( z )=( z − i ) 3 .

2.3

Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów:

a) x 3 + x 2 − 4 x − 4;

b) 3 x 3 − 7 x 2 +4 x − 4;

c) x 5 − 2 x 4 − 4 x 3 +4 x 2 − 5 x +6; d) x 4 +3 x 3 − x 2 +17 x +99 .

2.4

Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:

a) x 3 − 7

2 x − 1

3 ; b) 4 x 4 +4 x 3 +3 x 2 − x − 1;

d) x 5 + 4

3 x 3 − x 2 + 1

3 x − 1

c) 4 x 3 + x − 1;

3 .

2.5

Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowychi dwukwadratowych:

a) z 2 − 4 z +13=0; b) z 2 − (3 − 2 i ) z +(5 − 5 i )=0;

c) z 4 +8 z 2 +15=0; d) z 4 − 3 iz 2 +4=0.

2.6

Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych, znaleźć ich pozostałe pierwiastki:

a) W ( x )= x 3 − 3

√

2 x 2 +7 x − 3

√

2 , x 1 =

√

2+ i ;

b) W ( x )= x 4 − 2 x 3 +7 x 2 +6 x − 30 , x 1 =1 − 3 i ;

2 i ;

e) W ( x )= x 6 − 6 x 5 +18 x 4 − 28 x 3 +31 x 2 − 22 x +14 , x 1 =1 − i, x 2 =2 − √

3 i.

2.7

Nie wykonując dzieleń znaleźć reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q , jeżeli:

a) P ( x )= x 8 − 3 x 3 +5 x,

Q ( x )= x 2 − x − 2;

b) P ( x )= x 14 − 4 x 10 + x 2 +

√

2 x, Q ( x )= x 2 +2;

c) P ( x )= x 30 +3 x 14 +2 ,

Q ( x )= x 3 +1;

6 x 2 − 3

c) W ( x )= x 4 − 6 x 3 +18 x 2 − 30 x +25 , x 1 =2+ i ;

d) W ( x )= x 6 − 2 x 5 +5 x 4 − 6 x 3 +8 x 2 − 4 x +4 , x 1 = i, x 2 = − √

Algebra liniowa - lista zadań.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: