1. Podać i udowodnić twierdzenie o splocie w dziedzinie czasu dla transformaty Fouriera
2. Podać ogólna postać wzorów Eulera-Fouriera opisujących funkcje f(t) w przedziale <0,T> w szereg ortogonalny o bazie φ
3. Jakie symetrie posiada widmo amplitudowe i widmo fazowe rzeczywistego sygnału okresowego? Skąd wynikają te symetrie ? (Jaka jest relacja pomiędzy Fk a F-k)
Widmo amplitudowe jest symetryczne względem osi
Widmo fazowe jest symetryczne względem początku układu współrzędnych.
4. Podać dwa sposoby obliczania mocy sygnału okresowego, jeśli znamy jego przebieg w czasie, f(t), oraz współczynniki rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera, Fk
f(t)
Fk
5. Podać twierdzenia dla przekształcenia Fouriera: o przesunięciu w dziedzinie czasu oraz o modulacji (czyli o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości).
Założenie do obydwóch:
W dziedzinie czasu:
Dowód:
W dziedzinie częstotliwości:
6. Podać dwa sposoby na obliczanie energii sygnału nieokresowego, jeśli znamy jego przebiegi w czasie f(t), oraz transformatę Fouriera F(jω).
1)
2)
7. Jeżeli na wejście układu LTI o odpowiedzi impulsowej h(t) podamy sygnał u(t), to co zaobserwujemy na wyjściu układu ? (Jaka jest relacja pomiędzy y(t) a u(t) oraz h(t)?)
8. Podać (bez dowodu) twierdzenia dla przekształcenia Fouriera: o przesunięciu w dziedzinie czasu oraz o modulacji (czyli o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości).
Patrz na zadanie 5
9. Podać dwie postacie twierdzenia Parsevala: dla zespolonego szeregu Fouriera oraz dla transformacji Fouriera.
Dla transformacji Fouriera (widmo gęstości energii):
Dla zespolonego szeregu Fouriera:
10. W jakich maksymalnych odstępach można pobrać próbki sygnału f(t) = A Sa2 (ω0t), aby możliwe było idealne odtworzenie tego sygnału z ciągu jego próbek? Obliczyć wartości próbek, f(nTs) podanych zgodnie z tą regułą, dla n = -2, -1, 0, 1, 2
11. Podać pełną postać twierdzenia Parsevala dla transformacji Fouriera.
12. Podać twierdzenie o zmianie skali dla przekształceń Fouriera.
Założenie:
Twierdzenie:
13. Podać (lub wyprowadzić) wzór opisujący transformatę Fouriera sygnału okresowego o znanych współczynnikach Fk rozwinięcia w zespolony wykładniczy szereg Fouriera.
14. Podać (lub wyprowadzić) wzór opisujący funkcję ruy korelacji wzajemnej wejścia i wyjścia układu LTI. (by Rybol)
15. Podać (bez dowodu) twierdzenie o modulacji w dziedzinie czasu dla transformacji Fouriera.
16. Podać (bez dowodu) twierdzenie o całkowaniu dla transformacji Fouriera.
I i II pochodna
17. Podać wzór opisujący transformatę Fouriera sygnału spróbkowanego.(by Zbyyynek)
18. Twierdzenie o symetrii dla przekształcenia Fouriera mówi ze jeśli f(t) -> F(jω) to:
19. Transformata Fouriera sygnału okresowego o okresie T i współczynnikach Fk rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera ma postać:
20. Odpowiedz idealnego układu całkującego na impuls Diracka wynosi:
Skok jednostkowy - 1(t)
21. Funkcja autokorelacji sygnału o skończonej energii f(t) jest opisana wzorem:
22. Sygnał spróbkowany ma widmo: (by Cis) okresowe
23. Opóźnienie grupowe w układzie LTI ma postać:
24. Składowa stała |sin(ω0t-π/4)|
Przesunięcie w sinusie nie ma znaczenia :D
25. Ciąg współczynników rozwinięcia sygnału okresowego f(t) w zespolony szereg Fouriera posiada właściwość Fk = F*-k gdzie * oznacza sprzężenie gdy: (by Cudko)
gdy f(t) jest sygnałem rzeczywistym
26. Obliczyć wartość skuteczną U napięcia zmiennego opisanego wzorem
bartchom