Krzywizna, dlugosc krzywej, trojscian Freneta, elementy teori pola.pdf

1.Obliczy¢poleobszaruograniczonegokrzywymi:

(a)y=2x+1,y=x 2 +x+1;

(b)y=1xx 2 ,y=1+x+x 2 ;

(c)y=sin x 2 ,y= x ;

(d)y=12x,y=1xx 2 ;

(e)y=xx 2 1,y=x+x 2 1.

2.Dlapodanychkrzywychnap“aszczy„nieobliczy¢krzywiznƒorazznale„¢r ó wnaniaprostych:stycznej

inormalnejwzadanympunkcie:

(a)y=arccos x 2 +1

,x 0 =1;

4 ,x 0 =1;

(c)y=sin 2 x+2cos(2x+),x 0 = 2 ;

(d)x=t 2 t1,y=3t 2 +2t+1,t 0 =0;

(e)x=1cost,y=3t+1,t 0 =0;

(f)x=2cost2,y=2sint2t,t 0 = 6 .

3.Dlapodanychkrzywychwprzestrzeniznale„¢p“aszczyznyiprostetr ó j–cianuFrenetawzadanym

punkcie:

(a)(t)= tgt; 1

4.Obliczy¢d“ugo–¢krzywej:

(a)y=ln(x 2 1),0 6 x 6 1 2 ;

(b)y= p x+1, 1 2 6 x 6 1 2 ;

(c)y=ln 2 p 1x ,1 6 x 6 1;

(d)(t)=(2cost+2tsint;2sint2tcost),t 2(0;);

(e)x=sin 2 t,y=2cos 2 t1,0 6 t 6 4 ;

(f)x=t 2 ,y= 1 3 t 3 ,0 6 t 6 1 2 ;

5.Obliczy¢objƒto–¢ipolepowierzchnibocznejbry“ypowsta“ejprzezobr ó tdooko“aosi OXlinii:

(a)xy=1,1 6 x 6 2;

(b)3yx 3 =0,0 6 x 6 1;

(c)x=cos 3 t,y=sin 3 t,0 6 t 6 2 ;

(d)x=t 2 ,y=t 1 3 t 3 ,0 6 t 6

4 =1(zrobi¢parametryzacjƒ).

(b)y=2 x 2 +1

cos 2 t ;t 3 +t 2 +t+1 ,t 0 = 6 ;

(b)x=tcost,y=2tcost,z=t,t 0 = 2 ;

(c)x=4tcost,y=2tcost,z=2t,t 0 =0;

(d)x=log 2 t,y=2 t ,z=t 2 +t+1,t 0 =1;

(e)x=arctgt,y=tgt,z=t 2 +t,t 0 =1.

(g)x=2cost,y=2sint,z=2ln(cost),t 2 0; 2 ;

(h)x=2t,y=t 2 +1,z= 1 3 t 3 ,0 6 x 6 2.

(e)x 2 + y 2

6.Oblicznastƒpuj¡ceca“ki:

(a) R

e x dx+ydy+z 2 dz,gdzieKjestkrzyw¡zadan¡parametryzacj¡(t; p 3;2t)dlat 2[0;1];

(b) R

yzdx+x 2 ydy+x 2 dz,gdzieKjestkrzyw¡powsta“¡zprzeciƒciap“aszczyznz=xy,y=x 2

pomiƒdzypunktami(0;0;0)a(1;1;1);

xydx+yzdy+xzdz,gdzieKjestkrzyw¡stanowi¡c¡przeciƒciewalcax 2 +y 2 =9ip“asz-

czyznyx+y+z=1;

(d) R

ydxxdy+z 2 dz,gdzieKjestkrzyw¡zadan¡parametryzacj¡x=

2 cost,y=

2 cost,

z=sintdla0 6 t 6 2;

(e) R

lnxdx+tgydy,gdzieKjestkrzyw¡zadan¡parametryzacj¡x=e t ,y=arctgtdla0 6 t 6 1;

(f) R

xy 2 dx+(x 2 +1)ydy,gdzieKjestkrzyw¡zadan¡parametryzacj¡x=t,y=sin(t 2 +1)dla

p 1;

1 6 t 6

(g) R

x 2 +y 2 +z 2 dL,gdzieK:(0;)3 t !(e t cost;e t sint;e t );

(h) R

p x 2 +y 2 +z 2 dL,gdzieK:(0;)3 t !(tcost;tsint;2t);

(i) R

x 2 dL,gdzieKjestfragmentemwykresuy=lnxdlax 2[1;2];

(j) R

x 2 +y 2 dL,gdzieK:(0;)3 t !(cost+tsint;sinttcost);

(k) R

p 2ydL,gdzieK:(0;)3 t !(t; t 2

2 ; t 3

3 );

(l) R

1x 2 dL,gdzieK:(0; 2 )3 t !(sint;1cost).

Elementyteoriipola

x 2 +y 2 +z 2 wdowolnympunkcie.

8.Niechr= p x 2 +y 2 +z 2 .Obliczy¢gradr,grad 1 r ,grad x+y+z

r .

9.Sprawdzi¢czypolewektorowejestniewirowe(potencjalne)(rota=0):

(a)a=[yz;xz;xy];

(b)a=[y 2 z 3 ;2xyz 3 ;3xy 2 z 2 ];

(c)a=e y+z [1;x;x].

10.Sprawdzi¢,czypolewektorowejestsolenoidalne(diva=0):

(a)a=[xzxy;xyyz;yzxz];

(b)a=2[yz;zx;xy].

11.Obliczy¢rotacjƒpolawektorowegowdowolnympunkcie:

(a)p=xiz 2 j+y 2 k;

(b)p=yzi+xzj+xyk.

12.Udpowodni¢,»epolewektorowea= xi+yj+zk

p (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 jestharmoniczne(solenoidalneipotencjalne).

p 2

7.Wyznaczy¢gradientfunkcjiu(x;y;z)= 10

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: