Dwuczynnikowa analiza wariancji

Wprowadzenie

Dwuczynnikowa analiza wariancji pozwala na badanie hipotezy o równości średnich ze zmiennej zależnej w grupach wyróżnionych na podstawie dwóch czynników (zmiennych niezależnych). Przykłądem takiej analizy może być sprawdzanie, czy średni dochód jest taki sam w każdej z grup wyróżnionych na podstawie płci respondenta oraz jego wykształcenia. Jeśli wyróżniono na przykład 4 grupy na podstawie wykształcenia oraz 2 grupy na podstawie płci, to łącznie porównywanych będzie grup (w każdej z 4-rech wyróżnionych na podstawie wykształcenia są 2 podgrupy wyróżnione na podstawie płci).

W dwuczynnikowej analizie wariancji oprócz weryfikacji równości wszystkich średnich grupowych oceniane są dwa rodzaje efektów: efekty główne  każdego z czynników oddzielnie i efekt interakcji między czynnikami.

Założenia dwuczynnikowej analizy wariancji

Aby móc przeprowadzić dwuczynnikową analizę wariancji, muszą być spełnione następujące założenia:

·         zmienna zależna musi być mierzona na skali co najmniej przedziałowej (czynniki mogą być mierzone na dowolnych skalach);

·         porównywane grupy powinny być równoliczne (wyróżnione na podstawie obu czynników łącznie branych pod uwagę – na przykład, jeśli rozpatrujemy analizę wariancji z czynnikami płeć oraz rasa (Czarna vs. Biała), to musimy mieć tyle samo kobiet rasy Czarnej, co kobiet rasy Białej i po tyle samo mężczyzn z każdej z ras);

·         rozkład zmiennej zależnej w każdej z grup wyróżnionych na podstawie obu czynników łącznie powinien być normalny, a wariancje w każdej z tych grup powinny być równe;

·         pomiary zmiennej zależnej powinny być statystycznie niezależne.

Rodzaje efektów w dwuczynnikowej analizie wariancji

We wprowadzeniu do tego rodzaju analizy wariancji powiedziano już, że w przypadku dwuczynnikowej analizy wariancji weryfikuje się trzy rodzaje hipotez:

1. równość wszystkich średnich grupowych – analogicznie, jak w przypadku analizy jednoczynnikowej sprawdzamy, czy którekolwiek ze średnich grupowych wykazują istotne statystycznie różnice;
2. równość średnich ze zmiennej zależnej w grupach wyróżnionych jedynie na podstawie wartości przyjmowanych przez jeden z czynników – w przypadku analizy z czynnikami odpowiadającymi płci i wykształceniu osób badanych porównywalibyśmy średnie ze zmiennej zależnej w grupach wyróżnionych na podstawie płci, bez uwzględnienia poziomu wykształcenia (czyli analizowalibyśmy istnienie istotnego statystycznie efektu głównego zmiennej płeć) oraz średnie ze zmiennej zależnej w grupach wyróżnionych na podstawie samego poziomu wykształcenia (efekt główny zmiennej wykształcenie);
3. różnice między średnimi grupowymi w podziale ze względu na wartości obu czynników wynikają jedynie z efektów głównych – sprawdzamy, czy informacje na temat samych efektów głównych tłumaczą wszystkie różnice między średnimi grupowymi w podziale z uwzględnieniem obu czynników; jeśli istnieją jakieś niewyjaśnione w ten sposób różnice między faktycznymi średnimi, a przewidywanymi na podstawie analizy efektów głównych, to mówimy o efekci interakcji czynników. Z taką sytuacją możemy mieć na przykład do czynienia, jeśli z efektów głównych wynika, że kobiety zarabiają średnio o 100$ mniej niż mężczyźni, osoby rasy Białej zarabiają o 200$ więcej niż osoby rasy Czarnej, ale porównując kobiety rasy Białej z mężczyznami rasy Czarnej zamiast przewidywanej różnicy 100$ (+100$ dla mężczyzn i –200$ dla rasy Czarnej) obserwujemy różnicę wysokości na przykład 150$. W tym przykładzie powiedzielibyśmy, że nastąpiła interakcja czynnika płeć z czynnikiem rasa.

Zajmiemy się teraz dokładniejszym omówieniem poszczególnych rodzajów efektów.

Ad. I. W pierwszym przypadku analiza przebiega identycznie jak w sytuacji analizy jendoczynnikowej. W miejsce czynnika z jednoczynnikowej analizy wariancji należało by stworzyć zmienną, która w każdej z wyróżnionych na podstawie obu zmiennych niezależnych grup przyjmuje inną wartość. Testowi podlega hipoteza zerowa o równości wszystkich średnich grupowych. Podobnie, jak w sytuacji analizy jednoczynnikowej, do weryfikacji tej hipotezy wykorzystywana jest statystyka F, czyli iloraz oszacowania wariancji międzygrupowej (rozproszenia średnich w grupach wyróżnionych na podstawie obu czynników) i oszacowania wariancji wewnątrzgrupowej (miary rozproszenia wyników w obrębie grup wokół ich średnich grupowych). Zasady postępowania są takie same, jak w przypadku analizy jednoczynnikowej – jeśli otrzymana w teście istotność stastystyki F jest niższa od założonego poziomu istotności, to mamy podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej; w przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Ad. II. Efekty główne są związane z przeprowadzeniem odpowiednika analizy jednoczynnikowej z uwzględnieniem każdego z dwóch czynników oddzielnie. Tak więc moglibyśmy przeprowadzić dwie analizy jednoczynnikowe – najpierw z pierwszym czynnikiem, jako zmienną niezależną, aby móc ocenić istotność efektu głównego tego czynnika, a następnie z drugim czynnikiem jako zmienną niezależną, aby sprawdzić, czy wystąpi efekt główny drugiego czynnika. Należy jednak w tym miejscu podkreślić, że nie jest to identyczna, a jedynie podobna analiza. W obu przypadkach, aby odpowiedzieć na pytanie, czy średnie grupowe wykazują istotne zróżnicowanie, wykorzystuje się statystykę F, czyli iloraz wariancji międzygrupowej (rozproszenia średnich z grup wyłanianych na podstawie wartości jednego, aktualnie testowanego, czynnika wokół średniej ogólnej) do wariancji wewnątrzgrupowej. Wariancja międzygrupowa jest liczona tak samo zarówno w jedno- jak i w dwuczynnikowej analizie wariancji, natomiast wariancja wewnątrzgrupowa inaczej. W analizie jednoczynnikowej wariancja wewnątrzgrupowa jest liczona jako miara rozproszenia wyników w grupach wyróżnionych na podstawie jednego czynnika wokół ich średnich grupowych, natomiast w teście efektów  głównych analizy dwuczynnikowej jest to miara rozproszenia wyników w grupach wyróżnionych na podstawie obu czynników wokół ich średnich grupowych. Poniżej zamieszczone są tabelki z hipotetycznymi wynikami osób badanych – porównajmy różnicę w wyliczaniu statystyki F przy liczeniu efektu głównego wykształcenia (dwuczynnikowa analiza wariancji z czynnikami wykształcenie i płeć) z sytuacją w jednoczynnikowej analizie wariancji z czynnikiem wykształcenie. W przypadku analizy jednoczynnikowej informacja o płci osoby badanej nigdzie nie jest wykorzystywana, mamy do czynienia z taką sytuacją, jak gdyby taka informacja nie była dostępna – zarówno średnie grupowe są wyliczane jedynie na podstawie przynależności do różnych kategorii ze względu na poziom wykształcenia, jak i odchylenia wyników od średnich. Natomiast w przypadku analizy dwuczynnikowej wariancja wewnątrzgrupowa jest liczona jako odchylenia wyników od średnich w grupach wyróżnionych na podstawie obu czynników jednocześnie.

Analiza jednoczynnikowa – grupy i średnie grupowe wyliczane wyłącznie na podstawie wartości czynnika wykształcenie:

Analiza dwuczynnikowa – grupy wyznaczane na podstawie przynależności do kategorii obu czynników jednocześnie. Średnie do wyliczania wariancji wewnątrzgrupowej wyznaczane w każdej z tych grup oddzielnie. Średnie do wyznaczania wariancji międzygrupowej wyznaczana wyłącznie na podstawie czynnika wykształcenie: