GEOMETRIA ANALITYCZNA
Należy powtórzyć:
· odległość dwóch punktów, współrzędne i długość wektora;
· dodawanie i odejmowanie wektorów, mnożenie wektora przez liczbę, iloczyn skalarny wektorów;
· warunek równoległości oraz warunek prostopadłości wektorów;
· równanie ogólne i kierunkowe prostej, odległość punktu od prostej i odległość prostych równoległych;
· warunek równoległości oraz warunek prostopadłości prostych;
· równanie okręgu, wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów;
· wektorowe określenie symetrii środkowej i osiowej, jednokładności, translacji;
· izometria;
· przekształcanie wykresu funkcji;
· własności miarowe w trójkątach i czworokątach.
1. Dane są punkty A=(-3, -2), B=(3, 1), C=(2, 0). Oblicz współrzędne i długość wektora .
2. Dane są punkty A=(-1, 2), B=(3, 1), C=(0, – 2) oraz D=(2a, b – 3). Dla jakich a oraz b zachodzi:
b) wektor jest wektorem zerowym.
3. Dane są punkty wierzchołki trójkąta: A=(-1, 3), B=(0, 2), C=(-4, 0). Sprawdź czy trójkąt ABC jest prostokątny? Oblicz iloczyn skalarny
4. Dane są wektory . Wyznacz k i m, dla których wektory te są:
a) równe; b) równoległe; c) prostopadłe.
5. Oblicz obwód i pole trójkąta ABC, gdzie A=(-4, -1), B=(-1, 4), C=(2, 0).
6. W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznacz zbiory A, B oraz
7. Dane są: I. okrąg o1: x2+2x+y2-3=0, II. okrąg o2: (x-1)2+(y+2)2=0, III. prosta x+2y-3=0.
Określ wzajemne położenie okręgów oraz prostej względem każdego z okręgów.
8. Wyznacz równanie stycznej do okręgu (x+2)2 + (x-3)2 =4 w xo= - 1.
9. Dla jakich wartości parametru m prosta y=mx jest styczna do okręgu (x+1)2+(y-2)2 = 1?
10. Czy w czworokąt o wierzchołkach: A=(-2, -2), B=(-1, 2), C=(3, 0), D=(1,-2) można wpisać okrąg?
11. Napisz równanie okręgu
a) opisanego b) wpisanego
w trójkąt o wierzchołkach A=(-2,3), B=(0,2), C=(3,0).
12. Napisz równanie okręgu wpisanego i równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD takim, że A=(-1,1), B=(1,-1), C=(3,1), D=(1,3).
13. Czy w czworokąt o wierzchołkach: A=(-3, 2), B=(4, 2), C=(2,5), D=(-1,5) można wpisać okrąg? Odpowiedź uzasadnij. Napisz równanie okręgu opisanego na tym czworokącie.
14. Punkty A=(3,2) i B=(6,1) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym . Wysokość poprowadzona z wierzchołka A trójkąta zawiera się w prostej y= - 2x+8. Znajdź wierzchołek C i długość wysokości AD.
15. Dane są punkty A(2,-1), B(2,3), C(1,3), które są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołka D(rozważ wszystkie możliwe przypadki).
16. Punkty A(-2,-1) oraz B(-1,2) są wierzchołkami równoległoboku o środku symetrii S(1,0). Wyznacz współrzędne wierzchołka D. Oblicz pole i obwód tego równoległoboku.
17. Wykaż, że czworokąt ABCD taki, że A=(-2,1), B=(0,-4), C=(5,-2), D=(3,3) jest rombem.
18. Opisz za pomocą układu odpowiednich nierówności przedstawiony na rysunku trójkąt.
19. Punkt A ‘=(-1,2) jest obrazem punktu A w:
a) jednokładności o środku (2,3) i skali k = - 2;
b) przesunięciu o wektor o współrzędnych [-1,2];
c) symetrii względem punktu (2,1);
d) symetrii względem prostej y=x.
Wyznacz współrzędne punktu A.
20. Wyznacz współrzędne obrazu punktu A=(2,-3) w:
a) translacji o wektor [-4,1],
b) symetrii względem punktu (0,-1),
c) jednokładności o środku (-1,3) i skali równej ½,
d) symetrii względem osi OX,
e) symetrii względem osi OY.
21. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x). Naszkicuj wykres funkcji:
Opisz kolejne etapy rozwiązania zadania.
22. Dane jest przekształcenie P płaszczyzny takie, że dla każdego punktu A=(x,y) jego obraz A’ w przekształceniu P ma współrzędne (k –x, 2ky). Dla jakich wartości parametru k przekształcenie to jest izometrią? Odpowiedź uzasadnij. Dla wyznaczonego k znajdź w przekształceniu P współrzędne obrazów wierzchołków trójkąta ABC: A=(0,2), B=(0,-2), C=(3,0).
23. Dane jest przekształcenie P płaszczyzny takie, że dla każdego punktu A=(x, y) jego obraz A’ w przekształceniu P ma współrzędne (x – k, k + y).Dla jakich wartości parametru k przekształcenie to jest izometrią? Odpowiedź uzasadnij. Dla wyznaczonego k znajdź w przekształceniu P obraz prostej x – y + 2 =0.
2
Tylko_dla_prawdziwych