12 STEREOMETRIA.doc

FIGURY GEOMETRYCZNE W PRZESTRZENI

Należy powtórzyć:

·         położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni – kąt pomiędzy prostymi, pomiędzy prostą i płaszczyzną, pomiędzy dwiema płaszczyznami;

·         siatka, pole powierzchni i objętość graniastosłupa;

·         siatka, pole powierzchni i objętość ostrosłupa;

·         siatka, pole powierzchni i objętość walca;

·         siatka, pole powierzchni i objętość stożka;

·         pole powierzchni i objętość walca;

·         siatka, pole powierzchni i objętość innych figur obrotowych.

1.      Na prezentowanym poniżej rysunku ostrosłupa wskaż kąt nachylenia ściany ABS do płaszczyzny podstawy ABC i wyznacz jego sinus.

2.      Na prezentowanym poniżej rysunku ostrosłupa wskaż kąt nachylenia krawędzi AS do płaszczyzny podstawy ABC i wyznacz jego sinus.

3.      Oblicz z dokładnością do 0,1 cm, jakie co najmniej wymiary powinno mieć kartonowe sześcienne pudełko, by mogło się w nim zmieścić 0,3 litra napoju?

4.      Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości 12dm i 5dm. Oblicz objętość tego prostopadłościanu, jeżeli jego przekątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 o.

5.      Wymiary prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 5. Oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu, jeżeli jego objętość wynosi 216.

6.      Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny ABC, gdzie Krawędź boczna CS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3cm. Narysuj siatkę i oblicz  pole tego ostrosłupa.

7.      W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę 2, zaś długość promienia okręgu wpisanego w tę ścianę jest równa r. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa.

8.      W stożek, którego promień podstawy jest równy wysokości i wynosi a wpisano ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

9.      W stożek, którego promień podstawy jest równy wysokości i wynosi a wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

10.  Ile ołowianych ciężarków w kształcie kuli o średnicy 5mm można wykonać z 2m pręta w kształcie walca o promieniu 2mm?

11.  Zaprojektowany dla kosmetycznej firmy flakon ma kształt walca. Czy zmieści się w nim 100ml perfum? Odpowiedź uzasadnij.

12.  Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość figury powstałej przez obrót trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej dł. 10 i jednym z kątów ostrych 60o dookoła przeciwprostokątnej.

13.  Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość figury powstałej przez obrót trapezu prostokątnego, którego krótsze ramię jest przystające do krótszej podstawy i ma długość równą połowie długości dłuższej podstawy i wynoszącą 2cm. 

14.  Dany jest stożek obrotowy.
a) Mając daną powierzchnię boczną P1 tego stożka oraz jego powierzchnię całkowitą P, wyznaczyć cosinus kąta nachylenia tworzącej danego stożka do płaszczyzny jego podstawy.
b) Dana jest długość l tworzącej stożka. Wyznaczyć wysokość stożka o możliwie największej objętości. 

15.  W dany stożek wpisano kulę. Wykazać, że stosunek objętości stożka do objętości kuli w niego wpisanej jest równy stosunkowi pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni tej kuli.

16.  W ostrosłupie trójkątnym jedna z krawędzi ma długość a, każda z pozostałych krawędzi - długość 2 j.
a) Oblicz objętość ostrosłupa dla a = 2 j.
b) Wykaż, że dla a= 2  j  dwie ściany ostrosłupa są prostopadłe.
c) Dla jakiej wartości a pole powierzchni ostrosłupa ma wartość maksymalną?

2