5.pdf

5Przestrze«liniowa

Deﬁnicja5.1 Przestrzeni¡liniow¡nadciałemF nazywamyczwórk¦upo-

rz¡dkowan¡( V,F, + , · ),gdzie V jestzbioremniepustym, F jestciałem,+

jestdziałaniemwewn¦trznymwzbiorze V ,a · : F × V ! V ,spełniaj¡c¡

warunki

(V1) 8 u,v,w 2 V ( u + v )+ w = u +( v + w )

(ł¡czno±¢dodawaniawektorów)

(V2) 9 2 V 8 v 2 V a + = + a = a (wektorzerowy)

(V3) 8 v 2 V 9 − v 2 V v +( − v )=( − v )+ v = (wektoryprzeciwne)

(V4) 8 u,v 2 V u + v = v + u (przemienno±¢dodawaniawektorów)

(V5) 8 u,v 2 V 8 a 2 F a · ( u + v )=( a · u )+( a · v )

(rozdzielno±¢mno»eniawzgl¦demdodawaniawektorów)

(V6) 8 v 2 V 8 a,b 2 F ( a + b ) v =( a · v )+( b · v )

(rozdzielno±¢mno»eniawzgl¦demdodawaniaskalarów)

(V7) 8 v 2 V 8 a,b 2 F a · ( b · v )=( ab ) · v (mieszanał¡czno±¢mno»enia)

(V8) 8 v 2 V 1 · v = v

Elementyzbioru V nazywamy wektorami ,elementyciała F — skalarami ,

działanie+nazywamy dodawaniemwektorów ,adziałanie · nosimiano mno-

»eniawektoraprzezskalar .

Gdychcemyposłu»y¢si¦tylkonazw¡zbioruwektorówdooznaczeniaprze-

strzeniliniowej,amog¡zachodzi¢w¡tpliwo±cinadjakimciałemj¡rozpa-

trujemy,piszemy V F .

Przestrze«liniow¡nazywamyinaczej przestrzeni¡wektorow¡ .

Warunki(V1)–(V4)mówi¡,»e( V, +)jestgrup¡abelow¡.Stosowanie

tychsamychsymbolinaoznaczeniedziała«wcieleidziała«nawektorachnie

prowadzidobrakujednoznaczno±ci,gdy»działaniadodawaniaimno»enia

wcieleprzekształcaj¡ F × F w F ,podczasgdydodawaniewektorówdziała

z V × V do V ,amno»eniewektoraprzezskalarz F × V w V .

Przykład5.2 0 Rozwa»aj¡cwjednoelementowymzbiorze V = { v } jedy-

nemo»liwedziałaniejakododawanieorazdladowolnegociała F mno»enie

danewzorem F × V 3 ( a,v ) 7! v 2 V otrzymujemyjednoelementow¡prze-

strze«liniow¡,zwan¡ przestrzeni¡zerow¡ .

1 Wzbiorze F n = F × . . . × F

= { ( x 1 ,...,x n ); x 1 2 F,...,x n 2 F }

wprowadzamydziałania+i · wzorami

( x 1 ,...,x n )+( y 1 ,...,y n )=( x 1 + y 1 ,...,x n + y n )

a · ( x 1 ,...,x n )=( ax 1 ,...,ax n )

| {z }

dla( x 1 ,...,x n ) , ( y 1 ,...,y n ) 2 F n ,a 2 F .

Otrzymujemywtensposóbprzestrze«( F n ,F, + , · ),któr¡nazywamy n–

wymiarow¡przestrzeni¡współrz¦dnych .

Szczególnymi(inaistotniejszymidlanas)przypadkamib¦d¡ n–wymiarowa

rzeczywistaprzestrze«współrz¦dnych R n oraz n–wymiarowazespolonaprze-

strze«współrz¦dnych C n .

2 Rozwa»myciało F ,niepustyzbiór X orazzbiór F ( X ; F )wszystkich

funkcjidziałaj¡cychz X w F .Okre±laj¡cdziałania

( f + g )( x )= f ( x )+ g ( x ) dla x 2 X

( a · f )( x )= af ( x ) dla x 2 X,

gdzie f,g 2F ( X ; F )i a 2 F ,otrzymujemyprzestrze«liniow¡nadciałem F

— przestrze«funkcjizXowarto±ciachwF .

3 Działaniadodawaniafunkcjiimno»eniafunkcjiprzezskalarokre±lone

w F ( X ; F )daj¡wszczególnychprzypadkachprzestrzenieliniowe:przestrze«

ci¡gow¡ F 1 ,gdy X = N ,przestrze«wielomianów F [ x ]orazprzestrze« C ( I )

funkcjici¡głychnaprzedziale I R .

Przestrze« F n jestpoprostuprzestrzeni¡ F ( { 1 ,...,n } ; F ).

4 Je»eli V 1 i V 2 s¡przestrzeniamiliniowyminadtymsamymciałem F ,

tozbiór V 1 × V 2 zdziałaniami

( u 1 ,u 2 )+( v 1 ,v 2 )=( u 1 + v 1 ,u 2 + v 2 )

a · ( v 1 ,v 2 )=( av 1 ,av 2 ) ,

gdzie u 1 ,v 1 2 V 1 , u 2 ,v 2 2 V 2 , a 2 F ,jestprzestrzeni¡liniow¡nazywan¡

produktem(kartezja«skim)przestrzeniV 1 iV 2 .

Analogiczniemo»emyokre±li¢przestrze«liniow¡ V 1 × ... × V n dlaprze-

strzeniliniowych V 1 ,...,V n nadtymsamymciałem F .

5 Je»elidysponujemyprzestrzeni¡liniow¡nadciałemliczbzespolonych,

tojestonatak»eprzestrzeni¡liniow¡nadciałemliczbrzeczywistych,gdy»w

deﬁnicjiwodniesieniudoskalarówwyst¦puj¡tylkokwantyﬁkatoryogólne.

Naodwrót,je»eli V jestprzestrzeni¡liniow¡nadciałemliczbrzeczywi-

stych,tomo»emyzniejotrzyma¢przestrze«zespolon¡bior¡czbiór W =

V × V idziałania

( u,u 0 )+( v,v 0 )=( u + u 0 ,v + v 0 )

( x + yi ) · ( v,v 0 )=( x · v − y · v 0 ,x · v 0 + y · v ) ,

gdzie u,u 0 ,v,v 0 2 V , x + yi 2 C .

Takuzyskan¡zespolon¡przestrze«liniow¡nazywamy kompleksyﬁkacj¡

przestrzeniV .

Stwierdzenie5.3 Wprzestrzeniliniowejistniejedobrzeokre±loneodejmo-

waniewektorów.

Dowód: Wystarczydogrupy( V, +)zastosowa¢stw.2.8.Wówczaspis a¢

b¦dziemy u − v naoznaczeniejedynegorozwi¡zaniarównania v + x = u .

Stwierdzenie5.4 wprzestrzeniliniowej( V,F, + , · )zachodz¡,dla v 2 V

oraz a 2 F ,nast¦puj¡cewarunki:

1. a · v = () a =0lub v =

2.( − 1) · v = − v

Dowód: Niech v 2 V , a 2 F .

1. a · V 2 = a · ( + ) V 6 = a · + a · ,sk¡dnamocyprawaskre±le«(stw.

2.7)otrzymujemy,»e a · = .

Ponadto v +0 · v V 8 =1 · v +0 · v V 6 =(1+0) · v =1 · v V 8 = v iponownie

zastosowaneprawoskre±le«w( V, +)(stw.2.7)daje0 · v = .

Naodwrót,załó»my,»e a · v = oraz a 6 =0.Wówczasmno»ymy

równo±¢stronamiprzez a − 1 otrzymuj¡cnamocy(V8)icz¦±ci”wtedy”

równo±¢ v = a − 1 = .

2. v +( − 1) · v = V 8 =1 · v +( − 1) · v V 6 =(1+( − 1)) · v =0 · v V 8 = ,sk¡d

− v =( − 1) · v .

Deﬁnicja5.5 Niech I,X b¦d¡zbiorami, X 6 = ; . Układemelementówze

zbioruXindeksowanymzbioremI nazywamyfunkcj¦działaj¡c¡zezbioru

I wzbiór X .

Je»eliwarto±¢tejfunkcjidlaargumentu i 2 I oznaczamyprzez x i ,to

rozwa»anyukładzapisujemyjako( x i ) i 2 I .Je»eli I = { 1 ,...,n } dlapewnego

n 2 N ,piszemypoprostu( x 1 ,...,x n ).Analogiczn¡konwencj¦stosujemy

stosujemydlainnychzbiorówsko«czonych.

Zbiórelementówukładuzezbioru X indeksowanegozbiorem I mana

ogółmniejelementówni»zbiór I ,np.układ( u,v,u )(trójelementowy)za-

wieratylkoelementy u,v .

Deﬁnicja5.6 Niech( v i ) i 2 I b¦dzieukłademwektorówzprzestrzeniliniowej

V F ,za±( a i ) i 2 I —układemskalarówzciała F takim,»eprawiewszystkiez

nichs¡równe0.

Kombinacj¡liniow¡ układu( v i )owspółczynnikach( a i )nazywamywek-

tor

n X

a i · v i =

a i j · v i j = a i 1 · v i 1 + ... + a i n · v i n ,

i 2 I

j =1

gdzie { i 1 ,...,i n } = { i 2 I ; a i 6 =0 } .

Kombinacj¡liniow¡układupustego(gdy I = ; )nazywamywektorze-

rowy.

Zbiórwszystkichkombinacjiliniowychukładu( v i ) i 2 I oznaczamyprzez

lin( v i ) i 2 I inazywamy przestrzeni¡generowan¡przezukład ( v i ) i 2 I .

Kombinacj¡liniow¡sko«czonegoukładuwektorów( v 1 ,...,v n )zprze-

strzeniliniowej V F owspółczynnikach a 1 ,...,a n 2 F jestwektor

n X

a i · v i = a 1 · v 1 + ... + a n · v n

i =1

Wprzestrzeniliniowejniedasi¦naogółokre±li¢kombinacjiliniowejo

niesko«czonejliczbiewspółczynnikówró»nychodzera.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: