9.pdf
(
123 KB
)
Pobierz
729609166 UNPDF
9Przekształcenialiniowe
Definicja 9.1.
Niech
V
oraz
W
b¦d¡ przestrzeniami liniowymi nad tym samym
ciałem
F
.
Przekształceniem liniowym
nazywamy funkcj¦
'
:
V
!
W
spełniaj¡c¡
warunek
(LM)
8
v
1
,v
2
2
V
8
a
1
,a
2
2
F
'
(
a
1
·
v
1
+
a
2
·
v
2
) =
a
1
·
'
(
v
1
) +
a
2
·
'
(
v
2
)
Przekształcenie liniowe
'
:
V
!
W
nazywamy:
monomorfizmem
, gdy
'
jest ró»nowarto±ciowe,
epimorfizmem
, gdy
'
jest przekształceniem ”na”,
izomorfizmem
, gdy
'
jest bijekcj¡,
endomorfizmem
, gdy
V
=
W
.
Stwierdzenie 9.2.
Je»eli
V
i
W
s¡ przestrzeniami liniowymi nad ciałem
F
oraz
'
jest funkcj¡ z
V
do
W
, to nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
1.
'
jest przekształceniem liniowym,
nacji liniowej
P
i
2
I
a
i
·
v
i
wektorów z przestrzeni
V
spełniony jest warunek
X
!
=
X
i
2
I
'
a
i
·
v
i
a
i
·
'
(
v
i
)
,
i
2
I
3.
'
spełnia warunki
(LM1)
8
v
1
,v
2
2
V
'
(
v
1
+
v
2
) =
'
(
v
1
) +
'
(
v
2
)
(
addytywno±¢
)
(LM2)
8
v
2
V
8
a
2
F
'
(
a
·
v
) =
a
·
'
(
v
)
(
jednorodno±¢
)
.
Dowód:
Wynikanie (2)
)
(1) jest oczywiste.
Dowód implikacji odwrotnej dla sko«czonego układu (
v
i
)
i
2
I
jest indukcyjny
i korzysta z ł¡czno±ci dodawania wektorów. Je»eli układ (
v
i
)
i
2
I
jest niesko«c-
zony, to jego kombinacja liniowa o współczynnikach (
a
i
)
i
2
I
ma tylko sko«czon¡
liczb¦ współczynników ró»nych od 0; niech b¦d¡ to
a
i
1
,...,a
i
n
. Wówczas dzi¦ki
zachowywaniu sko«czonej kombinacji liniowej otrzymujemy
X
!
'
a
i
·
v
i
=
'
(
a
i
1
·
v
i
1
+
...
+
a
i
n
·
v
i
n
)
=
a
i
1
·
'
(
v
i
1
) +
...
+
a
i
n
·
'
(
v
i
n
) =
X
i
2
I
i
2
I
a
i
·
'
(
v
i
)
.
Implikacj¦ (1)
)
(3) otrzymujemy podstawiaj¡c
a
1
=
a
2
= 1 i korzystaj¡c
z (V8) — dla (LM1) oraz podstawiaj¡c
a
1
=
a,a
2
= 0
,v
1
=
v
i korzystaj¡c ze
stw. 5.4(1).
Dowód implikacji (3)
)
(1) polega na u»yciu warunku (LM1), a nast¦pnie
dwukrotnie warunku (LM2):
'
(
a
1
·
v
1
+
a
2
·
v
2
) =
'
(
a
1
·
v
1
) +
'
(
a
2
·
v
2
) =
a
1
·
'
(
v
1
) +
a
2
·
'
(
v
2
)
.
1
2.
'
zachowuje dowolna kombinacj¦ liniow¡, to znaczy dla dowolnej kombi-
Stwierdzenie 9.3.
Je»eli
'
:
V
!
W
jest przekształceniem liniowym, to
1.
'
(
V
) =
W
,
2.
8
v
2
V
'
(
v
) =
−
'
(
v
).
Dowód:
1. Wystarczy przyj¡¢ w warunku (LM1)
v
1
=
v
2
=
V
i skorzysta¢ z prawa
skre±le« (stw. 2.7).
2. Bior¡c w warunku (LM1)
v
1
=
−
v,v
2
=
v
i korzystaj¡c z (1) dostajemy
'
(
−
v
) +
'
(
v
) =
.
Przykład 9.4.
1. Przekształcenie zerowe przypisuj¡ce ka»demu wektorowi
z
V
wektor zerowy z przestrzeni
W
jest przekształceniem liniowym.
2. Przekształcenie to»samo±ciowe id
V
jest liniowe.
3. Przekształcenie liniowe
V
!
F
nazywamy
funkcjonałem liniowym
.
4. Pochodna jako przekształcenie
C
1
(
I
)
!
C
(
I
), jako funkcjonał
f
7!
f
(
x
0
),
a tak»e jako przekształcenie wielomianówR[
x
]
n
!
R[
x
]
n
jest przekształce-
niem liniowym.
5. Przekształceniem liniowym
C
(
I
)
!
Rjest całka oznaczona po przedziale
I
.
6. Je»eli
V
1
i
V
2
s¡ przestrzeniami liniowymi. Funkcja
1
:
V
1
×
V
2
!
V
1
dana
wzorem
1
(
v
1
,v
2
) =
v
1
dla (
v
1
,v
2
)
2
V
1
×
V
2
(rzut na pierwszy składnik
iloczynu kartezja«skiego) jest przekształceniem liniowym.
Stwierdzenie 9.5.
Przekształcenie liniowego jest jednoznacznie okre±lone przez
swoje warto±ci na bazie (dziedziny tego przekształcenia).
Dowód:
Niech
'
:
V
!
W
b¦dzie przekształceniem liniowym, a (
v
i
)
i
2
I
baz¡
przestrzeni
V
. Niech
'
(
v
i
) =
w
i
dla
i
2
I
.
Dowolny wektor z
V
jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów (
v
i
)
i
2
I
, sk¡d na mocy
stw. 9.2(2) otrzymujemy wzór przekształcenia
'
X
!
=
X
i
2
I
'
a
i
·
v
i
a
i
·
w
i
.
i
2
I
Gdyby przekształcenie liniowe
:
V
!
W
spełniało równie» warunki
(
v
i
) =
w
i
dla
i
2
I
, to dla dowolnego wektora z
V
mamy ze stw. 9.2(2) i powy»szego
X
!
=
X
i
2
I
X
!
a
i
·
v
i
a
i
·
w
i
=
'
a
i
·
v
i
i
2
I
i
2
I
czyli
=
'
.
Stwierdzenie 9.6.
1. Zło»enie przekształce« liniowych jest przekształceniem
liniowym.
2
2. Zło»enie izomorfizmów jest izomorfizmem.
3. Funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem.
Dowód:
1. Je»eli
'
:
V
!
W
oraz
:
U
!
V
s¡ przekształceniami liniowymi, to dla
u
1
,u
2
2
U
oraz
a
1
,a
2
2
F
mamy
(
'
)(
a
1
u
1
+
a
2
u
2
) = (
'
(
(
a
1
u
1
+
a
2
u
2
))
(
LM
)
=
'
(
a
1
(
u
1
) +
a
2
(
u
2
))
(
LM
)
=
a
1
'
(
(
u
1
)) +
a
2
'
(
(
u
2
))
=
a
1
(
'
)(
u
1
) +
a
2
(
'
)(
u
2
)
,
zatem funkcja
'
jest przekształceniem liniowym.
2. wynika z (1) i faktu, »e zło»enie bijekcji jest bijekcj¡.
3. Niech
'
−
1
b¦dzie funkcj¡ odwrotn¡ do izomorfizmu
'
:
V
!
W
. Funkcja
taka istnieje i jest bijekcj¡, bo
'
jest bijekcj¡. Je»eli
w
1
,w
2
2
W
, to istniej¡
takie
v
1
,v
2
2
V
, »e
w
1
=
'
(
v
1
) oraz
w
2
=
'
(
v
2
). Zatem dla
a
1
,a
2
2
F
otrzymujemy, »e
'
−
1
(
a
1
w
1
+
a
2
w
2
) =
'
−
1
(
a
1
'
(
v
1
) +
a
2
'
(
v
2
))
(
LM
)
=
'
−
1
(
'
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
)) =
a
1
v
1
+
a
2
v
2
=
a
1
'
−
1
(
w
1
) +
a
2
'
−
1
(
w
2
)
,
czyli
'
−
1
jest izomorfizmem.
Definicja 9.7.
Mówimy, »e przestrze« liniowa
V
jest
izomorficzna
z przestrzeni¡
liniow¡
W
i piszemy
V
'
W
, gdy istnieje izomorfizm przestrzeni
V
na przestrze«
W
.
Wniosek 9.8.
Relacja izomorficzno±ci przestrzeni liniowych jest relacj¡ równo-
wa»no±ci
Dowód:
Poniewa» id
V
jest izomorfizmem, wi¦c relacja
'
jest zwrotna. Syme-
tria wynika z punktu (3), a przechodnio±¢ — z punktu (2) stw. 9.6.
Twierdzenie 9.9.
Ka»de dwie przestrzenie liniowe tego samego wymiaru sko«-
czonego nad tym samym ciałem s¡ izomorficzne.
Dowód:
Dowolna przestrze« zerowymiarowa jest jednoelementowa, wi¦c teza
dla wymiaru 0 jest oczywista.
Zgodnie z wnioskiem 9.8 wystarczy pokaza¢, »e dowolna przestrze« liniowa
wymiaru
n
2
Nnad ciałem
F
jest izomorficzna z
F
n
.
Niech
B
= (
v
1
,...,v
n
) b¦dzie baz¡ przestrzeni
V
. Okre±lmy funkcj¦ :
V
!
F
n
wzorem
(
v
) =
C
B
(
v
)
dla
v
2
V
3
(wektorowi
v
przypisujemy jego współrz¦dne w bazie
B
).
Funkcja jest ró»nowarto±ciowa, bo je»eli wektory
v,v
0
2
V
maj¡ te same
współrz¦dne w bazie
B
, to s¡ równe. Surjektywno±¢ funkcji wynika z faktu,
»e dla dowolnego wektora
x
= (
x
1
,...,x
n
)
2
F
n
wektor
x
1
v
1
+
...
+
x
n
v
n
2
V
jest przekształcany za pomoc¡ na
x
.
Liniowo±¢ wyka»emy bezpo±rednim rachunkiem. Niech
v
=
a
1
v
1
+
...a
n
v
n
2
V
,
v
0
=
a
0
1
v
1
+
...a
0
n
v
n
2
V
oraz
a,a
0
2
F
. Wówczas
C
B
(
v
) = (
a
1
,...,a
n
) oraz
C
B
(
v
0
) = (
a
0
1
,...,a
0
n
) i w konsekwencji
(
av
+
a
0
v
0
) = ((
aa
1
+
a
0
a
0
1
)
v
1
+
...
+ (
aa
n
+
a
0
a
0
n
)
v
n
)
= (
aa
1
+
a
0
a
0
1
,...,aa
n
+
a
0
a
0
n
) =
a
(
a
1
,...,a
n
) +
a
0
(
a
0
1
,...,a
0
n
)
=
aC
B
(
v
) +
a
0
C
B
(
v
0
) =
a
(
v
) +
a
0
(
v
0
)
.
Definicja 9.10.
Dla danego przekształcenia liniowego
'
:
V
!
W
zbiór
ker
'
=
'
−
1
(
{
W
}
) =
{
v
2
V
;
'
(
v
) =
W
}
nazywamy
j¡drem przekształcenia '
, a zbiór
im
'
=
'
(
V
) =
{
w
2
W
;
9
v
2
V
'
(
v
) =
w
}
—
obrazem przekształcenia '
.
Stwierdzenie 9.11.
Je»eli
'
:
V
!
W
jest przekształceniem liniowym, to
1. ker
'
jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni
V
,
2. im
'
jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni
W
.
Dowód:
1. Je»eli
v
1
,v
2
2
ker
'
oraz
a
1
,a
2
2
F
, to z warunku (LM) wynika, »e
'
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
) =
a
1
'
(
v
1
) +
a
2
'
(
v
2
) =
a
1
+
a
2
=
,
czyli
a
1
v
1
+
a
2
v
2
2
ker
'
.
2. Je»eli
w
1
,w
2
2
im
'
oraz
a
1
,a
2
2
F
, to istniej¡ takie
v
1
,v
2
2
V
, »e
w
1
=
'
(
v
1
),
w
2
=
'
(
v
2
). Wówczas na mocy warunku (LM) mamy, »e
a
1
w
1
+
a
2
w
2
=
a
1
'
(
v
1
) +
a
2
'
(
v
2
) =
'
(
a
1
v
1
+
a
2
v
2
)
,
sk¡d
a
1
w
1
+
a
2
w
2
2
im
'
.
Przykład 9.12.
1. Przekształcenie zerowe :
V
!
W
ma j¡dro b¦d¡ce
cał¡ przestrzeni¡
V
, a obrazem
'
jest
{
W
}
.
2. ker id
V
=
{
}
, im id
V
=
V
.
3. Rozpatruj¡c pochodn¡ wielomianów
0
:R[
x
]
n
!
R[
x
]
n
otrzymujemy, »e
jej j¡drem jest zbiór wielomianów stałychR[
x
]
0
, a obrazem — przestrze«
R[
x
]
n
−
1
4
Stwierdzenie 9.13.
Przekształcenie liniowe
'
jest monomorfizmem wtedy i
tylko wtedy, gdy ker
'
=
{
}
.
Dowód:
)
) Je»eli
'
jest monomorfizmem, to z ró»nowarto±ciowo±ci i stw.
9.3(1) wynika, »e warunek
'
(
v
) =
=
'
(
) poci¡ga za sob¡
v
=
, co oznacza
trywialno±¢ j¡dra.
(
) Je»eli j¡dro przekształcenia liniowego
'
jest trywialne, to dla dowolnych
v,v
0
2
W
równo±¢
'
(
v
) =
'
(
v
0
) wraz z warunkiem (LM) poci¡ga za sob¡
'
(
v
−
v
0
) =
. Zało»enie ker
'
=
{
}
implikuje teraz
v
−
v
0
=
, czyli
v
=
v
0
.
Twierdzenie 9.14.
Je»eli '
:
V
!
W jest przekształceniem liniowym oraz
wymiar przestrzeni V jest sko«czony, to
dim
V
= dim ker
'
+ dim im
'.
Dowód:
Gdyby dim
V
= 0, to
'
= i dim ker
'
= 0 = dim im
'
.
Załó»my, »e dim
V
=
n
2
N.
Je»eli j¡dro ma wymiar 0, to ze stw. 9.11 przekształcenie liniowe
'
jest
monomorfizmem. Dla dowolnej bazy (
t
1
,...,t
n
) przestrzeni
V
wektory
'
(
t
1
)
,...,'
(
t
n
)
rozpinaj¡ podprzestrze«
'
(
V
) = im
'
, s¡ tak»e liniowo niezale»ne.
Istotnie, je»eli
c
1
'
(
t
1
)+
...
+
c
n
'
(
t
n
) =
, to z liniowo±ci (stw. 9.2(2)) mamy,
»e
'
(
c
1
t
1
+
...c
n
t
n
) =
. Zatem z zało»enia o j¡drze
c
1
t
1
+
...
+
c
n
t
n
=
, co
wraz z liniow¡ niezale»no±ci¡ układu (
t
1
,...,t
n
) daje zerowanie si¦ współczyn-
ników
c
1
,...,c
n
i tym samym liniow¡ niezale»no±¢ układu (
'
(
t
1
)
,...,'
(
t
n
)).
Ostatecznie w przypadku dim ker
'
= 0 mamy
dim im
'
=
n
=
n
−
0 = dim
V
−
dim ker
'
Gdyby dim ker
'
=
n
, to przestrze«
V
miałaby baz¦ zło»on¡ tylko z wektorów
j¡dra, wi¦c
'
= i dim im
'
= 0.
Załó»my teraz, »e dim ker
'
=
k
, przy czym 0
< k < n
(wn.8.15) i »e
A
=
(
u
1
,...,u
k
) jest baz¡ podprzestrzeni ker
'
. Zgodnie ze stw. 8.14 rozszerzamy
ten układ do bazy
B
= (
u
1
,...,u
k
,v
1
,...,v
n
−
k
) przestrzeni
V
.
Wyka»emy, »e układ
C
0
= (
'
(
v
1
)
,...,'
(
v
n
)) jest baz¡ podprzestrzeni im
'
.
Przypu±¢my, »e kombinacja liniowa układu
C
0
o współczynnikach
a
1
,...,a
n
−
k
2
F
jest wektorem zerowym. Wówczas z liniowo±ci (stw. 9.2(2)) mamy, »e wek-
tor
v
=
a
1
v
1
+
...a
n
−
k
v
n
−
k
2
ker
'
. Istniej¡ wi¦c skalary
b
1
,...,b
k
takie, »e
v
=
b
1
u
1
+
...b
k
u
k
. Wówczas jednak
(
−
b
1
)
u
1
+
...
+ (
−
b
k
)
u
k
+
a
1
v
1
+
...a
n
−
k
v
n
−
k
=
,
co wraz liniow¡ niezale»no±ci¡ układu
B
daje w szczególno±ci
a
1
=
...
=
a
n
−
k
=
0. Układ
C
0
jest zatem liniowo niezale»ny.
Je»eli
w
2
im
'
, to istnieje
v
2
V
takie, »e
w
=
'
(
v
). Wektor
v
jest kombi-
nacj¡ liniow¡ bazy
B
, a z liniowo±ci jego obraz
w
jest kombinacj¡ liniow¡ układu
C
0
, gdy» wektory z układu
A
jako wektory j¡dra przechodz¡ na wektor zerowy.
Zatem im
'
= lin (
C
0
) i tak»e w tym przypadku
dim im
'
=
n
−
k
= dim
V
−
dim ker
'.
5
Plik z chomika:
sandra.kubiak1
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Camera
E-booki
Encyklopedie komputerowe
Filmy
GPS
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin