+12.pdf

12Wyznacznikirz¡dmacierzy—suplement

Uwaga do deﬁnicji 12.1 W ró»nowarto±ciowym sko«czonym ci¡gu liczb rzeczy-

wistych inwersj¦ tworz¡ takie pary elementów, z których wi¦kszy wyst¦puje w

tym ci¡gu przed mniejszym.

Twierdzenie 12.7. (Laplace’a) NiechA = [ a ij ] 2 M nn ( F ) ,za±dlai,j =

1 ,...,nsymbolA ij oznaczamacierz ( n − 1) × ( n − 1) powstał¡zmacierzyAprzez

skre±leniewnieji − tegowierszaorazj − tejkolumny.Wówczasdladowolnego

i = 1 ,...,nzachodzirówno±¢

det A =

( − 1) i + j a ij det A ij .

j =1

Okre±laj¡c dla k = 1 ,...,n funkcje t k : { 1 ,...,n }\{ k } ! { 1 ,...,n − 1 }

wzorami

l gdy l < k

l − 1 gdy l > k

t k ( l ) =

1 ¬ p,q ¬ n − 1 .

Do dowodu twierdzenia Laplace’a potrzebujemy dwóch lematów

mo»emy precyzyjnie okre±li¢ macierz A ij jako

a t − 1

i ( p ) ,t − 1

j ( q )

Lemat 12.8. Je»eli 2 S n jest tak¡ permutacj¡, »e ( i ) = j dla pewnych

i,j 2 { 1 ,...,n } , to liczba inwersji w ci¡gu liczb b = ( (1) ,..., ( i − 1) , ( i +

1) ,..., ( n )) ma t¦ sam¡ parzysto±¢ co liczba #inv − ( i + j ).

Dowód: Je»eli w±ród pierwszych i − 1 wyrazów ci¡gu b jest dokładnie m 0

liczb wi¦kszych ni» j , to jest w±ród nich i − 1 − m liczb mniejszych ni» j . Zatem

w±ród liczb ( i + 1) ,..., ( n ) liczb mniejszych ni» j jest dokładnie j − 1 − ( i −

1 − m ) = j − i + m .

Tym samym w permutacji liczba j tworzy j − i + 2 m = i + j + 2( m − i )

inwersji, wi¦c liczba inwersji w ci¡gu b ró»ni si¦ od liczby #inv o liczb¦ i + j

oraz pewn¡ liczb¦ parzyst¡.

Lemat 12.9. Dla ustalonych i,j = 1 ,...,n funkcja C ij przypisuj¡ca dowolnej

permutacji ze zbioru Z ij = { 2 S n ; ( i ) = j } funkcj¦

t j | { 1 ,...,n }\{ i } t − 1

jest bijekcj¡ zbioru Z ij na zbiór S n − 1 .

Dowód: Z deﬁnicji funkcji t i , t j i zbioru Z ij wynika, »e zło»enie jest dobrze

okre±lone, a funkcja C ij ( ), działaj¡ca ze zbioru { 1 ,...,n − 1 } w ten sam zbiór,

jest bijekcj¡ jako zło»enie trzech bijekcji. Zatem C ij ( ) 2 S n − 1 .

Aby wykaza¢ ró»nowarto±ciowo±¢ C ij we¹my takie , 2 Z ij , »e C ij ( ) =

C ij ( ). Wówczas składaj¡c obie strony lewostronnie z t − 1

j i prawostronnie z t i

otrzymujemy równo±¢ permutacji i na zbiorze { 1 ,...,n }\{ i } . To za± wraz

z warunkiem ( i ) = j = ( i ) daje = .

Aby wykaza¢ surjektywno±¢ C ij we¹my dowoln¡ permutacj¦ 2 S n − 1 i

połó»my

ij ( m ) =

t − 1

j t i ( m ) dla m 2{ 1 ,...,n }\{ i }

dla m = i

Funkcja ij 2 S n , bo jako zło»enie bijekcji jest bijekcj¡; z jej deﬁnicji wynika

j t i t − 1

i = .

DowódtwierdzeniaLaplace’a(12.7): Ustalmy i 2{ 1 ,...,n } . Z lematu 12.8

wynika, »e dla dowolnego j 2{ 1 ,...,n } i dowolnej permutacji 2 Z ij spełniony

jest warunek

( − 1) i + j sgn ( C ij ( )) = sgn .

St¡d, z deﬁnicji wyznacznika i lematu 12.9 otrzymujemy

det A = X

2 S n

sgn a 1 (1) · ... · a n ( n )

a ij X

2 Z ij

sgn

a k ( k )

j =1

k =1 ,k 6 = i

( − 1) i + j a ij X

2 Z ij

sgn ( C ij ( ))

a k ( k )

j =1

k =1 ,k 6 = i

( − 1) i + j a ij

sgn

a k, ( C − 1

ij ( ) ) ( k )

j =1

2 S n − 1

k =1 ,k 6 = i

( − 1) i + j a ij

n − Y

sgn

a t − 1

i ( p ) , ( t − 1

j t i ) )( t − 1

i ( p ) )

j =1

2 S n − 1

p =1

( − 1) i + j a ij

n − Y

sgn

a t − 1

i ( p ) ,t − 1

j ( ( p ))

j =1

2 S n − 1

p =1

( − 1) i + j a ij det A ij

j =1

Stwierdzenie 12.13. Dla A 2 M nn ( F ) oraz k,l = 1 ,...,n , k 6 = l spełniony

jest warunek

det ( s kl ( A )) = − det A.

Dowód: Dla ustalenia uwagi przyjmijmy k < l i niech s kl ( A ) = B = [ b ij ] 2

M nn ( F ). Wówczas dla dowolnego j = 1 ,...,n mamy

b ij = a ij dla i 2{ k,l } , b kj = a lj , b lj = a kj .

Je»eli l = k + 1, to stosuj¡c rozwini¦cie Laplace’a det B wzgl¦dem ( k +

tak»e ij 2 Z ij . Wreszcie C ij ( ij ) = t j t − 1

1) − szego wiersza otrzymujemy

det B =

( − 1) k +1+ j det B k +1 ,j =

( − 1) k +1+ j det A k,j

j =1

= −

( − 1) k + j det A kj = − det A,

j =1

gdzie ostatnia równo±¢ wynika z rozwini¦cia Laplace’a det A wzgl¦dem k − tego

wiersza.

Zatem zamiana dwóch s¡siednich wierszy zmienia znak wyznacznika. Z drugiej

strony zamiana wiersza k − tego z l − tym wymaga ( k − l ) zamian s¡siednich, aby

przeprowadzi¢ wiersz l − ty na miejsce k -te, oraz ( k − l − 1) zamian s¡siednich, aby

przeprowadzi¢ stary wiersz k − ty (znajduj¡cy si¦ teraz na miejscu ( k +1) − szym)

na miejsce l − te. St¡d

det( s kl ( A )) = ( − 1) 2( k − l ) − 1 det A = − det A.

Stwierdzenie 12.16. Je»eli A 2 M nn oraz B 2 M mm , to

X B

det

= det A det B

dla dowolnej macierzy X 2 M mn .

Y A

det

= ( − 1) mn det A det B

dla dowolnej macierzy Y 2 M nm .

Dowód: Macierz D = [ d ij ] 2 M m + n,m + n dana w postaci blokowej D =

ma wyrazy

a ij dla 1 ¬ i,j ¬ n

b i − n,j − n dla n + 1 ¬ i,j ¬ m + n

0 dla 1 ¬ i ¬ n, n + 1 ¬ j ¬ m + n

x i − n,j dla n + 1 ¬ i ¬ m + n, 1 ¬ j ¬ n

1. Indukcja wzgl¦dem n . Dla n = 1 wzór wynika z rozwini¦cia Laplace’a

wzgl¦dem pierwszego wiersza.

Załó»my, »e wzór jest prawdziwy dla pewnego stopnia k 2 N macierzy A .

Przypu±¢my teraz, »e A 2 M k +1 ,k +1 i rozwi«my wyznacznik macierzy D

wzgl¦dem pierwszego wiersza i skorzystajmy z zało»enia indukcyjnego

d ij =

det D =

k +1+ X

( − 1) 1+ j d 1 j det D 1 j =

k + X

( − 1) 1+ j a 1 j det

A 1 j

X j B

j =1

k + X

( − 1) 1+ j a 1 j det A 1 j det B = det A det B

j =1

( X j oznacza tu macierz X , w której skre±lono j − t¡ kolumn¦).

X B

2. Wystarczy przestawi¢ w macierzy

Y A

pierwszych n wierszy z za-

chowaniem kolejno±ci na koniec (potrzeba na to po m zamian na ka»dy

wiersz), skorzysta¢ z pierwszej cz¦±ci stwierdzenia i ze stw. 12.13.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: