13. Ruch drgajacy.pdf

(367 KB) Pobierz
Wyk³ad 13
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 13
13. Ruch drgający
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okre-
sowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić
za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu ob-
serwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
13.1 Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku
układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub
siłą sprężystości . Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest
wyrażona równaniem
F = – k x
(13.1)
gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywiera-
ną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę
sprężystości. To jest prawo Hooke'a .
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) zna-
lazła się w położeniu x = A , a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie
masy w funkcji czasu będzie dane równaniem
x = A cosω t
Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założe-
niami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
– kx = ma
czyli
– kx = m (d v /d t )
wreszcie
– kx = m (d 2 x /d t 2 )
(13.2)
Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się
"odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę,
że rozwiązaniem jest funkcja x ( t ), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest
równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, że może to być funkcja x = A cosω t
i sprawdzamy
d x /d t = v = – A ωsinω t
(13.3)
d 2 x /d t 2 = a = – A ω 2 cosω t
(13.4)
13-1
4224665.003.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)
(– kA cosω t ) = m (– A ω 2 cosω t )
i otrzymujemy
ω 2 = k / m
(13.5)
ω .
Zwróćmy uwagę, że funkcja x = A sinω t jest również rozwiązaniem równania ale nie
spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A ).
Najogólniejszym rozwiązaniem jest
k /
m
x = A sin(ω t + ϕ)
(13.6)
gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe.
Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:
• dla wychylenia A
• dla prędkości ω A ( występuje gdy x = 0 )
• dla przyspieszenia ω 2 A ( występuje gdy x = A )
13.2 Okres drgań
Funkcja cosω t lub sinω t powtarza się po czasie T dla którego ω T = 2π. Ta szczegól-
na wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T
T = 2π/ω
(13.7)
Liczba drgań w czasie t jest równa
n = t / T
Gdy podzielimy obie strony przez t , otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu
n =
T
Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f
f
=
T
Dla ruchu harmonicznego ω= k/ więc otrzymujemy
T 2
m
(13.8)
k
13-2
Widzimy, że x = A cosω t jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy
t
=
4224665.004.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k .
Przykład 1
Dwie masy, m 1 i m 2 , są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie
okres drgań, gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocze-
śnie? Stała sprężyny wynosi k .
Niech x 1 będzie przesunięciem masy m 1 od położenia równowagi, a x 2 odpowiednim
przesunięciem masy m 2 . Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy.
Zatem
m 1 x 1 = – m 2 x 2 , czyli
x −
=
m
2
x
1
m
2
1
Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m 2 równanie F wypadkowa = ma . Siłą wypadkową,
działającą na m 2 jest siła F = – k ( x 2 – x 1 ) gdzie ( x 2 – x 1 ) jest wypadkowym rozciągnię-
ciem sprężyny.
d
2
x
−
k
(
x
−
x
)
=
m
2
2
1
2
d
t
2
m
Podstawiamy teraz
x −
=
2
x
zamiast x 1 i otrzymujemy
1
m
2
1
−
m
d
2
x
−
k
x
−
2
x
=
m
2
2
m
2
2
d
t
2
1
czyli
d
2
x
k
(
m
+
m
)
2
=
−
1
2
x
d
t
2
m
m
2
1
2
więc
d
2
x
k
2
=
−
x
d
t
2
µ
2
gdzie µ = m 1 m 2 /( m 1 + m 2 ) jest z definicji masą zredukowaną . To jest równanie jakie już
rozwiązywaliśmy, w którym zamiast x jest x 2 a zamiast m jest µ.
Tak więc
= czyli
µ
T
=
2
µ
k
Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A
(o ile jest spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych za-
uważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.
13-3
ω /
k
4224665.005.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
13.3 Wahadła
13.3.1 Wahadło proste
Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na
cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to za-
czyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch
okresowy. Znajdźmy okres tego ruchu.
θ
N
l
m
x=l θ
θ
mgsin θ
mgcos θ
mg
Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m , odchylone o kąt θ od pionu.
Na masę m działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N . Siłę mg
rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą
równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi
F = mg sinθ
Podkreślmy, że siła jest proporcjonalna do sin θ , a nie do θ , więc nie jest to ruch prosty
harmoniczny . Jeżeli jednak kąt θ jest mały (mniejszy niż 10°) to sinθ jest bardzo bliski
θ (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta)
wynosi x = l θ. Przyjmując zatem, że sinθ ≅ θ otrzymujemy
F
= θ
mg
=
−
mg
x
=
−
mg
x
l
l
F jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "–"). Jest to kryterium ru-
chu harmonicznego. Stała mg / l określa stałą k w równaniu F = – kx . Przy małej ampli-
tudzie okres wahadła prostego wynosi więc
T
=
2 =
π 2
m
π
l
(13.9)
k
g
Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.
13-4
−
4224665.006.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
13.3.2 Wahadło fizyczne
Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi prze-
chodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.
P
l
S
θ
mg
P jest punktem zawieszenia ciała, a punkt S , znajdujący się w odległości l od punkt P ,
jest środkiem masy. Moment siły τ działający na ciało wynosi
τ = – mgl sinθ
Korzystając ze związku
τ = I α =I (d 2 θ /d t 2 )
otrzymujemy
d
2
θ
−
mgl
sin
θ=
I
d
t
2
Dla małych wychyleń, dla których sinθ ≅ θ dostajemy równanie
d
2
θ
−
mgl
=
θ
d
t 2
I
To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc
ω
mgl
I
lub
T 2
=
I
(13.10)
mgl
Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l .
Wówczas I = ml 2 i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego
13-5
4224665.001.png 4224665.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin