25. Rownania Maxwella.pdf

(222 KB) Pobierz
Wyk³ad 25
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 25
25. Równania Maxwella
25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu
Poszukiwaliśmy zawsze podstawowego (najmniejszego) zestawu równań pozwala-
jącego na pełne opisanie przedmiotu zainteresowań.
W mechanice - trzy zasady dynamiki
W termodynamice - trzy zasady termodynamiki
Teraz chcemy zrobić to samo dla elektromagnetyzmu.
Zacznijmy od poznanych już równań.
Nazwa
Równanie
1
prawo Gaussa dla elektryczności
∫
E
d ε
S
=
q
/
0
2
prawo Gaussa dla magnetyzmu
∫
B
d S
= 0
3
prawo indukcji Faradaya
ε l
=
∫
E
d
=
−
d
φ
B
d
t
r
∫
B
d µ
= I
4
prawo Ampera
0
Te równania jak się okaże są niekompletne Konieczne jest wprowadzenie jeszcze jed-
nego dodatkowego wyrazu do równania 4.
Pozwala on w szczególności na udowodnienie, że prędkość światła w próżni c, jest
związana z czysto elektrycznymi i magnetycznymi wielkościami.
Prześledźmy powyższą tabelę z punktu widzenia symetrii .
Zwróćmy uwagę, że w tych rozważaniach stałe µ 0 i ε 0 nie są istotne bo możemy wybrać
układ jednostek, w którym będą te stałe równe 1. Wtedy zauważamy pełną symetrię le-
wych stron równań. Prawe strony NIE są symetryczne.
Przyczynę niesymetrii dla równań 1 i 2 znamy. Wiemy, że istnieją izolowane centra
ładunku (np. elektron, proton) ale nie istnieją izolowane centra magnetyczne (pojedyn-
cze bieguny magnetyczne - monopole). Dlatego w równaniu 1 pojawia się q , a w 2 zero.
Z tego powodu mamy w równaniu 4 prąd I = d q /d t , a nie mamy prądu monopoli (ładun-
ków magnetycznych) w równaniu 3.
Drugi rodzaj asymetrii wiąże się z wyraze
jest następujący: zmieniające się pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne .
Korzystając z zasad symetrii można przypuszczać, że obowiązuje zależność od
zmieniając pole elektryczne (dφ E /d t ) wytwarzamy pole magnetyczne ∫
m – dφ B /d t w równaniu 3. Sens tego prawa
wrotna:
(
B .
l
)
25.2 Indukowane pole magnetyczne
Oczywiście doświadczenie daje przykłady: w kondensatorze (cylindrycznym) pole
elektryczne wzrasta (kondensator ładuje się) z prędkością d E /d t co oznacza, że do okła-
dek dopływa ładunek.
25-1
l
d
4224854.008.png 4224854.009.png 4224854.010.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Doświadczenie pokazuje, że powstaje tam pole magnetyczne wytworzone przez zmienia-
jące się pole elektryczne .
x x x
E
B
i
i
x x x x x x x
r
x x x x x x x
B
B
x x x x x x x
x x x x
B
R
Trzeba to uwzględnić w naszych równaniach. Jeszcze raz rozpatrzmy cylindryczny kon-
densator i obliczmy z prawa Ampera pole magnetyczne w punkcie P (rysunek poniżej).
E
P
E
i
S
r
i
S'
Wybieramy kontur obejmujący płaską powierzchnię S , która zawiera prąd I oraz prze-
chodzi przez punkt P (w odległości r ) ( ∫
j d
S
=
I
). Z prawa Ampera otrzymujemy
S
∫
B
d µ
l
=
0
I
kontur
S
Stąd
B 2π r =µ 0 I
Czyli
B
=
µ
2
I
π
r
B co jest
sprzeczne z poprzednim wynikiem. Wynika to z nieciągłości prądu, który nie płynie
pomiędzy okładkami kondensatora. Żeby usunąć tę niespójność Maxwell zaproponował
dodanie nowego członu do prawa Ampera.
Przez analogię do prawa indukcji Faradaya możemy napisać
d l
= 0
25-2
Prawo Ampera obowiązuje dla dowolnego konturu. Wybieramy więc kontur kołowy na
którym rozpięta jest zakrzywiona powierzchnia S ' . Żaden prąd nie przechodzi przez tę
powierzchnię więc tym razem kontur nie obejmuje prądu i mamy ∫
4224854.011.png 4224854.001.png 4224854.002.png 4224854.003.png 4224854.004.png 4224854.005.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
∫
B
d
l
=
µ
ε
d
φ
E
(25.1)
0
0
d
t
Tak więc prawo Ampera po modyfikacji ma postać
∫
B
d
l
=
µ
ε
d
φ
E
+
µ
I
(25.2)
0
0
d
t
0
Tak więc pole magnetyczne jest wytwarzane przez przepływ prądu ale też przez zmie-
niające się pole elektryczne.
Sprawdźmy czy stosując tę modyfikację uzyskamy teraz poprawny wynik na pole B w
punkcie P (przykład powyżej). W części powierzchni krzywoliniowej S ' pomiędzy
okładkami kondensatora z prawa Gaussa wynika, że
φ E = ES C = q /ε 0
gdzie S C jest powierzchnią okładek kondensatora. Różniczkując po d t mamy
d
φ
E
=
1
d
q
=
I
d
t
ε
0 d
t
ε
0
Przypomnijmy, że
∫
B
d µ
l
= I
0
Podstawiając za I otrzymujemy
∫
B
d
l
=
µ
ε
d
φ
E
0
0
d
t
czyli dodany wyraz do prawa Ampera.
25.3 Prąd przesunięcia
Z poprzedniego równania widać, że wyraz ε 0 dφ E /d t ma wymiar prądu. Mimo, że
nie mamy tu do czynienia z ruchem ładunków, to wyraz ten nazywamy prądem przesu-
nięcia . Mówimy, że pole B może być wytworzone przez prąd przewodzenia I lub przez
prąd przesunięcia I P .
∫
B
d
l
=
µ
0
(
I P
+
I
)
(25.3)
Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na zachowanie ciągłości prądu w przestrzeni
gdzie nie jest przenoszony ładunek (np. między okładkami kondensatora).
Przykład 1
Obliczyć indukowane pole magnetyczne w ładowanym kondensatorze cylindrycznym
w odległości r od osi (rysunek na stronie 2).
Z równania
25-3
4224854.006.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
∫
B
d
l
=
µ
ε
d
φ
E
0
0
d
t
otrzymujemy
d
(
E
π
r
2
)
d
E
B
2
π
r
=
µ
ε
=
µ
ε
π
r
2
0
0
d
t
0
0
d
t
Stąd
B
=
1
0 µ
r
d
E
,
dla
r
<
R
2
0
d
t
dla r = R = 5cm oraz d E /d t = 10 12 V/ms otrzymujemy B = 0.0028 Gs czyli o dwa rzędy
mniej niż pole ziemskie.
Natomiast prąd przesunięcia
I
=
φ
ε =
d
E
ε
π
R
2
d
E
P
0
d
t
0
d
t
ma całkiem sporą wartość I P = 70 mA. Powodem, że B jest tak małe jest to, że ten prąd
(umowny) jest rozłożony na bardzo dużej powierzchni okładki kondensatora podczas
gdy prąd przewodzenia jest "skupiony" w przewodniku.
25.4 Równania Maxwella
Prawo
Równanie
Czego dotyczy
Doświadczenie
1
Gaussa dla
elektryczności
∫
E
d ε
S
=
q
/
0
ładunek i pole
elektryczne
Przyciąganie, odpychanie
ładunków (1/ r 2 ).
Ładunki gromadzą się na
powierzchni metalu
2
Gaussa dla
∫
B
d S
= 0
pole magnetyczne nie stwierdzono istnienia
magnetyzmu
monopola magnetycznego
3
indukcji Fara-
∫
d
φ
B
efekt elektryczny
indukowanie SEM w obwo-
E
d
l
=
−
daya
d
t
zmieniającego się
pola magnetycz-
dzie przez przesuwany ma-
gnes
nego
4
Ampera (roz-
∫
d
φ
efekt m
agnetycz-
prąd w przewodniku w
ytwa-
B
d
l
=
µ
ε
E
szerzone przez
Maxwella)
0
0
d
t
ny zmieniające
się pola elek-
go
rza wokół pole magnet
prędkość świa
yczne
tła można wy-
+
µ
I
1
µ
tryczn
ego
liczyć z pomiarów EM
c
=
ε
0
0
25-4
4224854.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin