09. Zasada zachowania pedu.pdf

(294 KB) Pobierz
Wyk³ad 9
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 9
9. Zasada zachowania pędu
9.1 Środek masy
Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki bez-
wymiarowe (objętość = 0) obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu postę-
powego bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała.
W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np.
• ciało może wirować lub drgać.
• w trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie.
Przykład ciała wirującego jest pokazany na rysunku poniżej.
Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej
ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek
masy . Zajmiemy się ruchem tego punktu.
Zacznijmy od przypomnienia pojęcia średniej ważonej . W tym celu rozważmy prosty
układ, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawierającymi np. jabłka
o różnej masie. W jednej mamy n 1 jabłek, każde o masie m 1 , w drugiej n 2 , każde o ma-
sie m 2 . Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka.
m
=
n
1
m
+
n
2
m
śred.
n
+
n
1
n
+
n
2
1
2
1
2
czyli
m
=
n
1
m
1
+
n
2
m
2
śred.
n
+
n
1
2
To jest średnia ważona (wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy
w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe.
Natomiast środek masy jest po prostu średnim położeniem przy czym masa jest czyn-
nikiem ważącym przy tworzeniu średniej .
Np. dla dwóch różnych mas m 1 i m 2
9-1
4224586.010.png 4224586.011.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
y
x œrm
m 1
m 2
x 1
x
x 2
x śrm
=
m
1
x
+
m
2
x
m
+
m
1
m
+
m
2
1
2
1
2
czyli
x śrm
=
m
1
x
1
+
m
2
x
2
m
+
m
1
2
Dla n mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamy
∑
n
m
x
m
x
+
m
x
+
.....
+
m
x
i
i
x
=
1
1
2
2
n
n
=
i
=
1
śrm
m
+
m
+
.....
+
m
n
∑
1
2
n
m
i
i
=
1
∑ =1
n
ponieważ suma
m
i =
M
jest całkowitą masą układu to możemy zapisać
i
∑ =
n
Mx
śrm
=
m
i
x
i
i
1
Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej to wówczas środek masy znajdziemy postę-
pując dla każdej ze współrzędnych analogicznie jak powyżej.
Otrzymamy więc
∑
n
m
x
m
x
+
m
x
+
.....
+
m
x
i
i
x
=
1
1
2
2
n
n
=
i
=
1
śrm
m
+
m
+
.....
+
m
n
∑
1
2
n
m
i
i
=
1
oraz
∑
n
m
y
m
y
+
m
y
+
.....
+
m
y
i
i
y
=
1
1
2
2
n
n
=
i
=
1
śrm
m
+
m
+
.....
+
m
n
∑
1
2
n
m
i
i
=
1
9-2
4224586.012.png 4224586.013.png 4224586.001.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Zwróćmy uwagę, że układ dwóch równań skalarnych można zastąpić przez jedno zwię-
złe równanie wektorowe
∑ =
n
m
i
r
i
r
=
i
1
(9.1)
śrm
M
Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne.
Zauważmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych
punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia (nie zależy od wyboru układu odniesie-
nia).
Przykład 1
Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masach m 1 = 1kg, m 2 = 2kg i m 3 = 3kg,
umieszczonych w rogach równobocznego trójkąta o boku 1m.
Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia to możemy przyjąć układ tak
jak na rysunku.
3
2
m 3
m 1
½
m 2
x
x śrm = ( m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 )/ M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m
y śrm = ( m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 )/ M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg·
3
2
m)/6kg =
3
4
m
Uwaga: położenie środka masy nie pokrywa się z geometrycznym środkiem.
Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy.
9.2 Ruch środka masy
Rozważmy układ punktów materialnych o masach m 1 , m 2 , m 3 ..., m n i o stałej cał-
kowitej masie M . Na podstawie równania (9.1) możemy napisać
M r śrm = m 1 r 1 + m 2 r 2 +.......+ m n r n
gdzie r śrm jest środkiem masy w określonym układzie odniesienia. Różniczkując (wzglę-
dem czasu) powyższe równanie otrzymamy
M
d
r
śrm
=
m
d
r
+
m
d
r
2
+
......
+
m
d
r
d
t
1
d
t
2
d
t
n
d
t
9-3
1
n
4224586.002.png 4224586.003.png 4224586.004.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
lub
M v śrm = m 1 v 1 + m 2 v 2 +.....+ m n v n
Jeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane powyżej równanie to otrzymamy
M
d
v
śrm
=
m
d
v
1
+
m
d
v
2
+
......
+
m
d
v
n
d
t
1
d
t
2
d
t
n
d
t
lub
M a śrm = m 1 a 1 + m 2 a 2 + .......+ m n a n
czyli
M a śrm = F 1 + F 2 + ...........+ F n
Wobec tego możemy napisać
M a śrm = F zew
(9.2)
Z równania (9.2) wynika, że środek masy układu punktów materialnych porusza się w
taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły
zewnętrzne nań działały .
To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych.
• Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie).
Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem.
• Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu
wewnętrznego.
Uwaga:
Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na środek ciężkości . W roz-
ważanych przypadkach te dwa środki się pokrywają.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Ob-
liczmy E k mierzone w układzie środka masy.
E
=
∑
m
v
2
i
=
∑
m
i
(
v
śrm
+
v
i
,
wzg
)
v
śrm
+
v
i
wzg
)
k
,
calkowita
2
2
gdzie v wzgl jest prędkością mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie
skalarne otrzymamy
E
=
∑
m
i
v
2
+
v
∑
m
v
+
∑
m
i
v
2
,
wzg
k
calkowita
2
śrm
śrm
i
i
,
wzg
2
Ponieważ (jak pokazaliśmy wcześniej) wyraz drugi równa się iloczynowi M razy pręd-
kość środka masy ( M v śrm = m 1 v 1 + m 2 v 2 +.....+ m n v n ). W układzie środka masy, w któ-
rym mierzymy, v śrm = 0 więc drugi wyraz znika.
Zatem
M
v
2
E
=
śrm
+
E
'
kcalkowita
2
k
9-4
i
,
i
,
4224586.005.png 4224586.006.png 4224586.007.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
gdzie E k ' jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Dla ciał sztywnych
to równanie przyjmuje postać
M
v
2
E
=
śrm
+
E
'
kcalkowita
2
rot
gdyż w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obro-
tową).
Przykład 2
Obręcz o masie m toczy się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość v .
v
Jaka jest energia kinetyczna obręczy ?
m
v
2
m
v
2
E
=
+
rot
wzg
kcalkowita
2
2
gdzie v rot,wzg to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator
w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością v więc v rot,wzg = v .
Stąd
m
v
2
m
v
2
E kcalkowita
=
+
=
m
v
2
2
2
Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego
się z tą samą prędkością v (ale nie obracającego się).
9.3 Pęd układu punktów materialnych
Zdefiniowaliśmy już pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i prędkości
v . Pokazaliśmy również, że II zasada dynamiki Newtona ma postać
d p
F =
d
Przypuśćmy jednak, że zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem n
punktów materialnych o masach m 1 , ......, m n . Zakładamy, że masa układu ( M ) pozostaje
stała. Każdy punkt będzie miał pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość będzie
miał całkowity pęd P w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną
pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia
9-5
,
4224586.008.png 4224586.009.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin