03. Ruch na plaszczyznie.pdf

(276 KB) Pobierz
Wyk³ad 3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 3
3. Ruch na płaszczyźnie
Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y .
Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można
traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.
3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.
Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r ; prędkość wektor v ; przyspiesze-
nie wektor a . Wektory r , v , a są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić
(za pomocą wersorów i , j , k czyli wektorów jednostkowych) w postaci
r
=
i
x
+
j
y
v
=
d
r
=
i
d
x
+
j
d
y
=
i
v
+
j
v
d
t
d
t
d
t
x
y
a
=
d
v
=
i
d
v
x
+
j
d
v
y
=
i
a
+
j
a
d
t
d
t
d
t
x
y
Czy trzeba stosować rozkładanie wektorów na składowe?
Przykład 1
Żaglówka płynąca pod wiatr (pod kątem 45° do kierunku wiatru). Siła, którą wiatr dzia-
ła na żagiel, popycha łódkę prostopadle do płaszczyzny żagla. Ze względu na kil (i ster)
łódź może poruszać się wzdłuż osi kila. Składowa siły w tym kierunku ( F x ) ma zwrot
w kierunku ruchu.
wiatr
F x
oś kila
żagiel
Ruch ze stałym przyspieszeniem oznacza, że nie zmienia się kierunek ani wartość przy-
spieszenia tzn. nie zmieniają się również składowe przyspieszenia.
Rozpatrzymy teraz przypadek punkt materialnego poruszającego się wzdłuż krzywej
leżącej na płaszczyźnie.
Rozpoczniemy od napisania równań dla ruchu jednostajnie przyspieszonego
3-1
4224487.007.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
a = const
v = v 0 + a t
r = r 0 + v 0 t + (1/2) a t 2
Prześledźmy teraz dodawanie wektorów na wykresie. Przykładowo punkt porusza się z
przyspieszeniem a = [2,1], prędkość początkowa v 0 = [1,2], a położenie początkowe, r 0
= [1,1]. Szukamy położenia ciała np. po t = 1s i t = 3s dodając odpowiednie wektory tak
jak na rysunku obok.
Powyższe równania wektorowe są równoważne równaniom w postaci skalarnej:
Równania opisujące ruch wzdłuż
osi x
Równania opisujące ruch wzdłuż
osi y
a x = const
v x = v x 0 t + a x t
x = x 0 + v x 0 t + (1/2) a x t 2
a y = const
v y = v y 0 t + a y t
y = y 0 + v y 0 t + (1/2) a y t 2
Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem
jest rzut ukośny.
3.2 Rzut ukośny
Rzut ukośny to ruch ze stałym przyspieszeniem g [0, - g ] skierowanym w dół. Jest
opisywany przez równania podane powyżej w tabeli. Przyjmijmy, że początek układu
współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r 0 = 0.
v 0 sin θ
v 0
θ
v 0 cos θ
Prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v 0 i tworzy z kąt θ z dodatnim kierun-
kiem osi x . Zadaniem naszym jest: znaleźć prędkość i położenie ciała w dowolnej chwi-
3-2
4224487.008.png 4224487.009.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
li, opisać tor, znaleźć zasięg. Składowe prędkości początkowej (zgodnie z rysunkiem)
wynoszą odpowiednio
v x 0 = v 0 cosθ i v y 0 = v 0 sinθ
Prędkość w kierunku x (poziomym)
v x = v x 0 + a x t
ponieważ a x = 0 więc: v x = v 0 cosθ, czyli w kierunku x ruch jest jednostajny (składowa
x prędkości jest stała)
W kierunku y (pionowym)
v y = v y 0 + a y t
ponieważ g y = - g więc
v y = v 0 sinθ – gt
Wartość wektora wypadkowego prędkości w dowolnej chwili wynosi
v +
=
v
2
v
2
x
y
więc
v
=
v
2
0
−
2
v
gt +
sin
θ
g
2
t
2
(3.1)
0
Teraz obliczamy położenie ciała
x = v 0 x t
czyli
x = v 0 cosθ t
(3.2)
y = v 0 y t +(1/2) a y t 2
czyli
y = v 0 sinθ t – (1/2) gt 2
(3.3)
Długość wektora położenia r można teraz obliczyć dla dowolnej chwili t z zależności
r +
=
x
2
y
2
Sprawdźmy po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej
y ( x ). Mamy równania x ( t ) i y ( t ). Równanie y ( x ) obliczymy eliminując t z równań (3.2) i
(3.3). Z równania (3.2)
t = x / v 0 cosθ
więc równanie (3.3) przyjmuje postać
3-3
4224487.010.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
y
=
(tg
θ
x
−
g
x
2
(3.4)
2
v
cos
θ
)
2
0
Otrzymaliśmy równanie paraboli (ramionami w dół).
Z równania paraboli obliczamy zasięg Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania
(3.3) wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekształceniach dwa miejsca ze-
rowe
Z = 0
oraz
Z
=
2
v
2
0
sin
θ
cos
θ
=
v
2
0
sin
θ
(3.5)
g
g
Z równania (3.4) wynika, że zasięg jest maksymalny gdy θ = 45°.
Zauważmy, że omawiany ruch odbywa się po linii krzywej .
W poprzednich wykładach mówiliśmy o przyspieszeniu zmieniającym wartość prędko-
ści, a nie jej kierunek (zwrot). Mówiliśmy o przyspieszeniu stycznym .
Rozpatrzmy teraz sytuacje gdy wartość prędkości się nie zmienia a zmienia się kieru-
nek .
3.3 Ruch jednostajny po okręgu
Rozważmy zamieszczony obok rysunek. Punkt P - położenie punktu materialnego w
chwili t , a P ' - położenie w chwili t + ∆ t . Wektory v , v ' mają jednakowe długości ale
różnią się kierunkiem; są styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P '.
O
∆ v
v'
v'
r
θ
v
θ
P'
v
P
Przerysujmy wektory v i v ' zaznaczając zmianę prędkości ∆ v . Zauważmy, że kąt po-
między tymi wektorami jest taki sam jak kąt na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójką-
ty są podobne więc :
∆
v
v
=
l
, gdzie l jest długością łuku (pod warunkiem, że l jest bar-
r
dzo małe ( l →0)). Stąd
∆ v = v l / r .
a ponieważ
l = v ∆ t
więc
∆ v = v 2 ∆ t / r
Ostatecznie
a = ∆ v /∆ t
3-4
)
2
4224487.001.png 4224487.002.png 4224487.003.png 4224487.004.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
więc
v
2
a
=
(3.6)
r
To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem normalnym (w odróżnieniu od styczne-
go) bo jest prostopadłe do toru. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do
toru jest skierowany do środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy również przy-
spieszeniem dośrodkowym . Przyspieszenie normalne zmienia kierunek prędkości.
Często wyraża się to przyspieszenie przez okres T . Ponieważ
v = 2π r / T
więc
a = 4π 2 r / T 2
Przykład 2
Jakiego
ące na równiku? R Z = 6370 10 3 m, T = 8.64 10 4 sec.
przyspieszenia dośrodkowego, wynikającego z obrotu Ziemi, doznaje ciało
będ
a = 0.0034 m/s 2 .
S
Przy założeniu, że Ziemia jest kulą waga na równiku jest m
rekord w skoku wzwyż).
Prześledźmy teraz prz
acamy do rzutu ukośnego. Przyspieszenie g (jedyne) jest odpowiedzialne za zmianę
zarówno wartości prędkości jak i jej kierunku.
Prezentacja graficzna z zaznaczeniem przysp
składowych g ) jest przedstawiona poniżej.
tanowi to 0.35 % przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s 2 .
niejsza (np. łatwiej pobić
ykład, w którym zmienia się i wartość i kierunek prędkości.
Wr
ieszenia stycznego i normalnego (jako
a s
g
a r
Teraz obliczym
a) Przyspieszenie styczne
y obie składowe przyspieszenia.
a s
=
d
t
P
rzypomnijmy, że zależność v ( t ) w rzucie ukośnym jest dana równaniem (3.1)
(
v
=
v
2
0
−
v
gt +
θ
g
2
t
2
).
0
3-5
d v
sin
2
4224487.005.png 4224487.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin