06. Ciazenie powszechne (grawitacja).pdf

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 6

6. Ciążenie powszechne (grawitacja)

6.1 Prawo powszechnego ciążenia

Newton - 1665 spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym

ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między każdymi dwoma masami m 1 i m 2 . Skoro siła

jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do każdej z mas m 1 i m 2

oddzielnie czyli:

F ∼ m 1 m 2

Newton zastanawiał się również, czy siła działająca na ciała będzie malała wraz ze

wzrostem odległości. Doszedł do wniosku, że gdyby ciało znalazło się w odległości ta-

kiej jak Księżyc to będzie ono miało takie samo przyspieszenie jak Księżyc bowiem

natura siły grawitacyjnej pomiędzy Ziemią i Księżycem jest taka sama jak pomiędzy

Ziemią i każdym ciałem.

Przykład 1

Obliczmy jakie jest przyspieszenie Księżyca i jaki jest stosunek przyspieszenia

Księżyca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi?

Zastosujemy równanie na przyspieszenie dośrodkowe (wykład 3 - ruch jednostajny po

okręgu). Wówczas:

= v

ω =

gdzie R K jest odległością od Ziemi do Księżyca. Ta odległość wynosi 3.86·10 5 km,

a okres obiegu Księżyca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy więc

a = 2.73·10 -3 m/s 2

W pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s 2 . Stąd stosunek przyspie-

szeń wynosi:

a / g = 1/3590 ≅ (1/60) 2

Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między

dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi

(odległość między środkami mas). Sformułował więc prawo powszechnego ciążenia

Z R

Stałą proporcjonalności oznacza się G , więc

6-1

W granicach błędu a / g =

2 /

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

F =

(6.1)

Newton oszacował wartość stałej G zakładając średnią gęstość Ziemi ρ = 5·10 3 kg/m 3

(porównać to z gęstością pierwiastków z układu okresowego np. ρ Si = 2.8·10 3 kg/m 3 ,

ρ Fe = 7.9·10 3 kg/m 3 ).

Punktem wyjścia jest równanie:

F =

Jeżeli weźmiemy r = R Z to otrzymamy:

F =

Zgodnie z II zasadą Newtona F = ma , gdzie a = g .

Stąd

więc

Wiemy, że M Z = ρ V Z więc

4 3

πρ

Uwzględniając R Z = 6.37·10 6 m otrzymamy G = 7.35·10 -11 Nm 2 /kg 2 co jest wartością

tylko o 10% większą niż ogólnie przyjęta wartość 6.67·10 -11 Nm 2 /kg 2 .

Porównując przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Księżyca i na powierzchni Ziemi,

Newton zakładał, że Ziemia zachowuje się tak jakby jej cała masa była skupiona w

środku. Zgadywał, że tak ma być ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20

lat później (wtedy też sformułował rachunek całkowy).

Równanie (6.1) nazywa się prawem powszechnego ciążenia, ponieważ dokładnie to sa-

mo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych . To samo prawo wyjaśnia spada-

nie ciał na Ziemię, tłumaczy ruch planet, pozwala obliczyć ich masy i okresy obiegu.

Przykład 2

Jaki był okres obiegu Księżyca przez moduł statku Apollo?

F = ma

6-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie M K jest masą Księżyca, a R promieniem orbity po jakiej krąży moduł o masie m .

Ponieważ przyspieszenie

więc













2 4π

2π

Podstawiając wartości liczbowe: promień Księżyca R = 1740 km, masę M K = 7.35·10 22

kg i G = 6.67·10 -11 Nm 2 /kg 2 , otrzymamy T = 6.5·10 3 s czyli 108 minut.

6.2 Doświadczenie Cavendisha

Newton obliczył wartość stałej G na podstawie przyjętego założenia o średniej war-

tości gęstości Ziemi. Gdyby Ziemia miała tak jak gwiazdy jądro o super wielkiej gęsto-

ści to wynik uzyskany przez Newtona byłby obarczony dużym błędem. Czy można wy-

znaczyć stałą G w laboratorium niezależnie od masy Ziemi i tym samym uniknąć błędu

związanego z szacowaniem gęstości Ziemi?

W tym celu trzeba zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas m 1 i m 2 umieszczonych

w odległości x (rysunek).

m 1

m 2

Wówczas siła

F = Gm 1 m 2 / x 2

czyli

G =

6-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Zauważmy, że dla mas każda po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm siła F ma wartość

F = 6.67·10 -9 N tj. 10 9 razy mniej niż ciężar 1 kg i jest za mała by ją wykryć (dokładnie)

zwykłymi metodami.

Problem ten rozwiązał Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzystał on fakt, że siła po-

trzebna do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo

mała. Cavendish najpierw wykalibrował włókna, a następnie zawiesił na nich pręt z

dwiema małymi kulkami ołowianymi na końcach (rysunek a). Następnie w pobliżu każ-

dej z kulek umieścił większą kulę ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki obrócił się

pręt (rysunek b). Pomiar wykonane metodą Cavendisha dają wartość G = 6.67·10 -11

Nm 2 /kg 2 .

6.2.1 Ważenie Ziemi

Mając już godną zaufania wartość G , Cavendish wyznaczył M Z z równania:

Wynik pomiaru jest równie dokładny jak wyznaczenia stałej G . Cavendish wyznaczył

też masę Słońca, Jowisza i innych planet, których satelity zostały zaobserwowane. Np.

na rysunku poniżej niech M będzie masą Słońca, a m masą planety krążącej wokół

Słońca np. Ziemi.

6-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wtedy

F = GMm / R 2

Ponieważ przyspieszenie

a = 4π 2 R / T

to z równania F = ma otrzymujemy













czyli

Jeżeli R jest odległością Ziemia - Słońce, T = 1 rok, to M jest masą Słońca. Podobne

obliczenia można przeprowadzić dla innych planet.

6.3 Prawa Keplera ruchu planet

Zanim Newton zapostulował prawo powszechnego ciążenia, Johannes Kepler

stwierdził, że ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocni-

ły hipotezę Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) była wielkim odkryciem i aktem

odwagi zwłaszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolenni-

ka systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, że nawet Galileusz został zmuszony do

publicznego odwołania swoich poglądów (1633 r) mimo, że papież był jego przyjacie-

lem.

Dogmatem wtedy był pogląd, że planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowa-

nych torach, które są złożeniem pewnej liczby okręgów. Np. do opisania orbity Marsa

trzeba było około 12 okręgów różnej wielkości.

Kepler poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, żeby udowodnić że Mars

i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa,

które zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo dużą dokładno-

ścią. Te prawa stosują się też do satelitów okrążających jakąś planetę.

6-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: