wartosci_i_wektory_wlasne.pdf

(208 KB) Pobierz
Wartoœci i wektory w³asne endomorfizmu \(macierzy\)
Wartości i wektory własne endomorfizmu (macierzy).
Diagonalizacja macierzy.
Def. 1
Z: (X, K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa
f: X J X – endomorfizm
λ∈ K nazywamy wartością własną endomorfizmu f : ⇔ istnieje v∈ , v≠
taki, że f(v)=λv
Jeżeli λ jest wartością własną endomorfizmu f to każdy wektor u∈ , taki
że f(u)=λu nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f odpowiadającym
wartości własnej λ .
Λ - zbiór wartości własnych nazywamy widmem endomorfizmu.
X : {v X:f(x)=λv}
Twierdzenie 1
Z: (X, K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa
f: X J X – endomorfizm
λ - wartość własna endomorfizmu
T: (X λ , K,+, ⋅ ) – jest podprzestrzenią przestrzeni X
Def. 2
(X λ , K,+, ⋅ ) – nazywamy przestrzenią własną endomorfizmu f.
Wniosek: dimX λ ≥1
Przykład 1
Z:
+⋅
\ \
+⋅
-zbiór funkcji różniczkowalnych
C ∞ C ∞
D(f) = f’
λ∈ \
f: f(x) = a ⋅ e λ x a – ustalona liczba
(D(f))(x)
f’(x) = λ ae λ x
(D(f))(x) = λ ae λ x = λ⋅ f(x)
Np. Dla λ =3: X 3 ={f: f(x) = a ⋅ e 3x , a ∈ }
\
Twierdzenie 2
Z: (X, K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa
f: X J X – endomorfizm
T: Jeden niezerowy wektor własny endomorfizmu odpowiada dokładnie
jednej wartości własnej.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
λ =∈
(C , , , )
∞
\ \ (C , , , )
∞
D: J
11843051.003.png 11843051.004.png
B=(e , e ,..., e ) - baza
A=M f (B,B)
T: λ∈ K jest wartością własną endomorfizmu ⇔ det(A - λ I)=0
12
n
Def. 3
Z: A n × n =[a ij ] – macierz
λ - nazywamy wartością własną macierzy A : ⇔ det(A - λ I)=0.
λ ⋅ =
nazywamy wektorem własnym macierzy A dopowiadającym wartości
własnej λ macierzy A.
Wniosek:
1. A=M f (B, B) Np. f: K n → K n
λ - jest wartością własną macierzy A ⇔ jest wartością własną
e ndomorfizmu f.
2. x - jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ
macierzy A ⇔ jest wektorem własnym odpowiadającym wartości
własnej λ endomorfizmu.
Uwaga
Ze względu na ścisły związek między λ endomorfizmu, a λ macierzy
wszystkie twierdzenia udowodnione dla endomorfizmu są prawdziwe dla
macierzy.
Def. 4
a
"
a
10
"
0
a λ a
11
−
12
"
a
1n
11
1n
01 0
#
a
a λ
−
#
det(A-λI)=det(
#%#
−
λ
)dt
010
=
21
22
=
#
# %
a
"
a
n1
nn
0
"
0 1
 
a
"
a
a λ
−
n1
nn-1
nn
=
±λ+βλ+βλ+...+βλ+β (λ
n-1
n-2
= ∆
n-1
n-2
1
0
∆ - nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A
(endomorfizmu).
Wartości własne macierzy (endomorfizmu) są pierwiastkami jego
wielomianu charakterystycznego.
(λ
Uwaga
Wartości własne endomorfizmu nie zależą od wyboru bazy przestrzeni (są
niezmiennikami endomorfizmu).
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
Twierdzenie 3
Z: (X, K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa
f: X J X – endomorfizm
dimX=n
Jeśli λ jest wartością własną macierzy A to każdy wektor x: (A- I) x 0
11843051.005.png
Przykład 2
120
A= 0 2 0
-2 -2 -1
f: R (baza kanoniczna)
3 → 3
1-
λ
2
0
∆=
( ) det(A- I)= 0 2-
λ
λ
λ
0
=− −−−
(2 )(1 )( 1 )
λ λ
λ
-2
-2 -1-
λ
∆=⇔=∨=∨=−
() 0
λ λ λ λ
1
2
2
1
3
1
k =1 k =1 k =1
1
2
3
Szukamy przestrzeni własnych.
Dla λ =2
-1 2 0 x 0
000 x 0
-2 -2 -3 x
  ⋅ =
1
 
 
 
 
  
2
  
0
  
3
Zbiór rozwiązań powyższego równania to przestrzeń własna.
-x 2x 0
-2x 2x 3x 0
1
+
2
=
−−=
1
2
3
-x 2x 0
-6x 3x 0
1
+
2
=
−=
2
3
x2
x
x2
1
=
=
=−
α
α
α
2
3
R
Analogiczne rozumowanie należy przeprowadzić dla pozostałych wartości
λ .
Twierdzenie 4
Z: (X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa
f: X → X endomorfizm
λ 1 , λ 2 ,..., λ p : λ i ≠λ j ⇒ i ≠ j λ i – wartości własne endomorfizmu
v , v ,..., v : v ≠ -wektory własne odpowiadające wartościom własnym λ i
12
p i
T:
v , v ,..., v p - są liniowo niezależne
12
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
  
Czyli: X 2 ={(2 α , α ,-2 α )}={ α (2,1,-2) α∈ }
11843051.006.png
Def. 5
(X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa
f: X → X endomorfizm
f – nazywamy endomorfizmem diagonalizowalnym : ⇔ istnieje B – baza
przestrzeni X, względem której macierz tego endomorfizmu jest
diagonalna,
Diagonalizowalność
Twierdzenie 5
Z: (X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa
f: X → X endomorfizm
T: f – jest endomorfizmem diagonalizowalnym ⇔ w przestrzeni X istnieje
baza złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.
Wnioski:
(X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa f: X → X endomorfizm
1. Jeśli endomorfizm f jest diagonalizowalny to w macierzy M f (B,B) na
przekątnej głównej znajdują się (niekoniecznie różne) wartości własne
endomorfizmu, a poza tym elementami macierzy są zera.
2. Warunkiem wystarczającym, ale nie koniecznym diagonalizowalności
endomorfizmu jest, aby miał w przestrzeni n – wymiarowej n –
wartości własnych.
Def. 6
A n × n – o elementach z ciała K nazywamy diagonalizowalną jeżeli jest
podobna do pewnej macierzy diagonalnej ( ∃ P – nieosobliwa ∧ ∃ D –
diagonalna takie, że: D=P -1 ⋅ A ⋅ P)
Wniosek:
A=M f (B,B) f - endomorfizm
1. Z def. 2 wynika, że A jest diagonalizowalna ⇔ f jest endomorfizmem
diagonalizowalnym.
2. Ze względu na ścisły związek macierzy i endomorfizmów twierdzenia
dotyczące twierdzenia dotyczące diagonalizwalności endomorfizmu są
prawdziwe dla macierzy i na odwrót.
Przykład 3
-1 0 -1
A= 3 2 3
-3 0 1
Sprawdzić, czy A – diagonalizowalna.
-1-λ 0-1
1 λ -1
det(A-λI)= 3
2-λ 3(2λ)(-1)
=−
2+2
(2 λ)(λ+2)
-3
1 λ
-3
0 1-λ
λ 1 =2 k 1 =2
λ 2 =-2 k 2 =1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
−−
=−
−
11843051.001.png
λ 2 =-2
-1 0 -1 x 0
323 x 0
-3 0 1
  ⋅ =
1
 
 
 
 
  
2
  
x
0
  
3
x -x 0
3x 4x 3x 0
3x +3x 0
1
3
=
x -x 0
4x 6x 0
0 0
1
3
=
−
++=
+ =
1
2
3
2
3
1
2
=
=
x α
x α
x α
3
=
=−
3
2
2
1
=
X α(1,- ,1), α }
=
3
∈ R
-2
2
dim X -2 =1
λ 1 =2
-3 0 -1 x 0
303 x 0
-3 0 -1 x
  ⋅ =
1
 
 
 
 
  
2
  
0
  
3
-3x -x 0
3x 3x 0
-3x -x 0
1
3
=
x0
x0
x β
3
=
+=
=
1
3
1
1
3
=
2
=
X 2 ={ β (0,1,0), β∈ }
R
dim X 2 =1
Wniosek: Macierz nie jest diagonalizowalna ponieważ w nie istnieje
baza wektorów własnych.
R
3
Twierdzenie 6
Z: (X,K,+, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa dim X=n
f: X → X endomorfizm
∆(λ)=±(λ-λ ) λ-λ ) ... (λ-λ )
k
1
k
2
⋅⋅
k
p
1
2
p
λ i ≠ λ j ⇒ i ≠ j
k 1 +k 2 +...+k p =n
≤
T 2 : (WKW) f – jest diagonalizowalny ⇔ ∀ i=1,2,...,p: dim X λ i =k i
i=1,2,...,p: 1 dim X
≤
i λ i
k
Przykład 4
-1 0 -1
323
-3 0 1
A=
 
∆ ( λ )=det(A- λ I)=-( λ -2) 2 ( λ +4)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
  
  
T 1 : ∀
11843051.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin