Ściąga Z Mechanikiaaaaa.doc

Punkt materialny – punkt geometryczny o pewnej skończonej masie mający na płaszczyźnie dwa,
a w przestrzeni trzy stopnie swobody

Układ punktów materialnych – ciało zawierające dowolną liczbę punktów materialnych

Ciało sztywne – ciało stałe, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem działających na nie sił.

Więzami nazywamy warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni

Rodzaje więzów: Dwustronne i jednostronne.

Stopniem swobody nazywa  się możliwość wykonywania ruchu ciała  niezależnego od innych ruchów, punkt materialny ma na płaszczyźnie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody, ciało sztywne ma na płaszczyźnie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody.

Czas – cechą charakterystyczną czasu jest nieodwracalność jego płynięcia, które ma tylko jeden kierunek, ma tylko jeden wymiar.

Przestrzeń – pod pojęciem tym rozumie się przestrzeń euklidesową, ma trzy wymiary odległości, mierzone w trzech wzajemnie do siebie prostopadłych kierunkach (długość, szerokość, wysokość)

Masa jest jednocześnie miarą ilości materii zawartej w ciele i miarą bezwładności ciała. Jednostką masy jest 1 kg.

Siła jest miarą wzajemnego oddziaływania ciał, przejawiającego się wyprowadzeniem ich ze stanu spoczynku, zmiany ich ruchu lub utrzymaniem ciał w stanie równowagi

Ruchem ciała nazywamy zachodzące w czasie zmianę jego położenia względem innego ciała, które umownie przyjmujemy za nieruchome.

Tarcie, Tarcie statyczne i kinematyczne, Tarcie poślizgowe i tarcie toczne

Tarcie – zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał.

Tarcie statyczne zależy od rodzaju materiału trących się ciał, chropowatości i stanu ich powierzchni (suche, wilgotne, zimne, gorące) tarcie kinematyczne zależy od względnej prędkości ciała.

Stożek tarcia – tarcie nie zależy od kierunku działania siły T, wobec tego reakcja R może leżeć w każdej z płaszczyzn przechodzących przez normalną Or i odchylać się od tej normalnej o kąt tarcia f.

Kinematyka, Pojęcie ruchu, Tor, Sposób opisu ruchu bryły oraz punktu materialnego

Torem lub trajektorią punktu nazywamy miejsce geometryczne kolejnych położeń tego punktu w przestrzeni.

Opis ruch:

- za pomocą wektora promienia wodzącego

za pomocą równań skończonych ruchu x= f1(t), y = f2(t) z = f3(t)

za pomocą współrzędnej naturalnej

za pomocą innych współrzędnych

Równania ruchu punktu, Wyznaczenie prędkości i przyspieszenia przy opisie ruchu za pomocą równania wektorowego we współrzędnych prostokątnych

Współrzędne naturalne, wektor krzywizny, trójścian Freneta, Rozkłąd przyspieszenia na kierunki naturalne

- przyspieszenie całkowite

- przyspieszenie styczne

- przyspieszenie normalne

- promień

Ruch punktu po okręgu

- droga

-prędkość[m/s]

- przyspieszenie styczne

- przyspieszenie normalne

[s-1]   -prędkość kątowa

przyspieszenie kątowe

Klasyfikacja ruchu punktu z uwagi na tor prędkość i  przyspieszenie

-punkt porusza się po linii prostej ; x= x(t)

V i a leżą na tej samej prostej wystarczy podać ich miary Vx i ax  względem tej osi

- stałą dowolna

-punkt porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym ze stałym przyspieszeniem ruch po prostej

-punkt porusza się ruchem krzywoliniowym ze stałym przyspieszeniem

19.Ruch bryły. Proste przypadki ruchu bryły. Ruch postępowy– równania. Wielkości charakteryzujące

Jeżeli bryła porusza się ruchem postępowym to wszystkie punkty bryły poruszają się po torach przystających i w każdej chwili mają te same wektory prędkości przyspieszenie.

gdy ciało sztywne nie jest swobodne, jego liczba stopni swobody jest mniejsza od sześciu; gdy obierzemy sobie dowolny punkt A unieruchomiony, wówczas ciało może się kręcić tylko wokół punktu A i poszczególne punkty tego ciała poruszać się mogą po torach leżących na powierzchniach kul, których wspólnym środkiem jest punkt A

gdy dwa punkty są unieruchomione –prowadzimy przez nie prostą i ciało obraca się względem właśnie tej prostej ruch obrotowy: prosta nieruchoma jest osią obrotu

gdy ciało porusza się w ten sposób że dowolna prosta należąca do tego ciała pozostaje stale równoległa do swego położenia, które zajmowała w dowolnie obranej chwili – ruch postępowy

prędkość

przyspieszenie

przyspieszenie i prędkości wszystkich punktów są takie same

W przypadku gdy torami punktów ciała sztywnego są równoległe do siebie linie proste – prostoliniowy ruch postępowy

Ruch obrotowy bryły wokół osi nieruchomej – równania ruchu, Wielkości charakteryzujące. Zależności pomiędzy prędkością kątową, prędkością liniową, ilością obrotów i średnicą toru (koła)

Jak określamy ruch płaski bryły. Podstawowe własności ruchu płaskiego. Ruch płaski jako ruch złożony. Określenie prędkości i przyspieszeń przez składanie chwilowego ruchu postępowego  i obrotowego

Ruchem płaskim bryły nazywamy ruch, podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą  . Badanie ruchu płaskiego ciała płaskiego ciała sztywnego sprowadza się do badania ruchu figury płaskiej poruszającej się w swej płaszczyźnie. W układzie współrzędnych określamy chwilowe położenie figury za pomocą współrzędnych xi y dowolnego punktu figury. Gdy rozważana figura porusza się w płaszczyźnie  Oxy współrzędne x, y oraz kąt f są pewnymi funkcjami czasu.

Równania ruchu figury płaskiej mają postać:

Dowolne przemieszczenie figury płaskiej w płaszczyźnie może być dokonane za pomocą przesunięcia równoległego, równego przesunięciu dowolnie obranego punktu A tej figury, oraz obrotu wokół tego punktu. Kąt obrotu nie zależy przy tym od wyboru punktu A.

Dowolne przemieszczenie figury płaskiej w jej płaszczyźnie może być dokonane za pomocą obrotu wokół pewnego punktu zwanego środkiem obrotu (obrotowi wspomnianej figury wokół środka C odpowiada obrót ciała wokół osi obrotu przechodzącej przez pkt. C i przechodzącej prze punkt C i prostopadłej do płaszczyzny tej figury).

Ruch płaski jako ruch złożony z ruchu postępowego i obrotowego

Ruch figury płaskiej w płaszczyźnie może być traktowany jako ruch złożony z ruchu postępowego, którego prędkość jest równa prędkości obranego bieguna A oraz ruchu obrotowego figury wokół tego bieguna. Prędkość kątowa ruchu obrotowego figury nie zależy od wyboru bieguna   przyspieszenie kątowe

Prędkość dowolnego punktu B figury płaskiej, poruszającej się w swej płaszczyźnie, równa jest sumie geometrycznej prędkości dowolnie obranego punktu A tej figury, zwanego biegunem oraz prędkości B względem punktu A.

VB = VA + VA/B  VA/B = w x rAB

Wektor przyspieszenia jest skierowany prostopadle do płaszczyzny w której dana figura się porusza.

Co to jest chwilowy środek obrotu. Metody wyznaczania chwilowego środka obrotu

W rozpatrywanej przez nas chwili punkty badanej figury płaskiej mają takie same prędkości, jakie miał gdyby w ruchu obrotowym tej figury wokół punktu C. Punkt ten nazywamy środkiem obrotu chwilowego lub środkiem chwilowym. Chwilowemu ruchowi obrotowemu figury wokół środka chwilowego C odpowiada chwilowy ruch obrotowy ciała sztywnego wokół osi chwilowej przechodzącej przez punkt C i prostopadłej do płaszczyzny, w której wspomniana figura porusza się.

Dla wyznaczenie chwilowego środka obrotu nie jest konieczna znajomość prędkości punktów A i B. Aby móc wykonać konstrukcję geometryczną, musimy znać proste, wzdłuż których skierowane są w rozpatrywanej chwili prędkości VA i VB czyli muszą być styczne do torów  punktów A i B. Gdy wektory VA i VB są do siebie równoległe , wówczas środek chwilowy leży w nieskończoności  w = 0. Gdy prędkości VA i VB są prostopadłe do prostej łączącej punkty A i B, wówczas wartości tych prędkości mogą być dowolne.

Dynamika – dział mechaniki badający ruch ciał materialnych pod wpływem działających tam sił. W zależności od względnych prędkości ciał dzieli się na d. relatywistyczna i klasyczną. W zależności od badanych obiektów; punktu materialnego, układu punktów materialnych, ciała sztywnego, o zmiennej masie itd.

Do podstawowych pojęć: punkt materialny, masa, siła, ciało sztywne, pęd, popęd, energia.

Prawa Newtona:

I – Jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub jeśli działające siły równoważą  się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym

II – Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do przyłożonej siły

III – Każdemu działaniu towarzyszy równe mu lecz przeciwnie skierowane przeciwdziałanie

1)

2)

3)

Dynamiczne równania ruchu nieswobodnego punktu materialnego, Dwa podstawowe zagadnienia mechaniki, związek pomiędzy momentem skręcającym, mocą i prędkością obrotową

Pęd – pęd punktu materialnego o masie m i prędkości V równy jest . Pęd układu mech. jest sumą wektorową pędów poszczególnych punktów układu lub iloczynem całkowitej masy M układu przez prędkość Vc jego środka masy M

Zasada zachowania pędu - pęd zamkniętego układu mech. tj. takiego, na który nie działają siły zewnętrzne pozostaje wielkością stałą. Siły wew. nie mogą zmieniać całkowitego pędu układu, choć pędy ciał mogą ulec zmianie.

Popęd – wielkość fizyczna charakteryzująca działanie wywierane na ciało przez siły F w ciągu pewnego czasu Dt ; jeśli siła działająca zmienia się z czasem, ; popęd siły wywieranej na ciało równa się zmianie pędu ciała.

Kręt (moment pędu)- wielkość charakteryzująca ruch ciała (układu) zwłaszcza ruch obrotowy. Jest określony iloczynem wektorowym   r- wektor wodzący od punktu O do P bryły sztywnej względem osi, wokół której obraca się z prędkością kątową   J- moment bezwładności

praca-wielkość fizyczna określająca wartość energii wydatkowanej na przemieszczenie ciała materialnego z jednego położenia do drugiego

- wektorowy element drogi

jeśli = const, ciało porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym

Moc – wielkość charakteryzująca układ wykonujący pracę lub wysyłający energię; moc średnia jest równa stosunkowi pracy L do czasu Δt, w którym ta praca została wykonana Mśr = L/t

Energia kinetyczna – część energii mechanicznej układu zależna od prędkości jego punktów; w przypadku ciała sztywnego o masie spoczynkowej m0 poruszającego się ruchem postępowym z prędkością v

Energia potencjalna – część energii mechanicznej zależna od wzajemnego rozmieszczenia części układu i od ich położenia w zewnętrznym polu sił. Miarą jest praca, którą muszą wykonać siły działające na układ, aby przeprowadzić go z danego położenia do położenia dla którego energię potencjalną przyjmuje się za równą zeru.

Ep = mgh

Zasada równoważności pracy i energi,Zasada zachowania energii

Całkowita energia dowolnego izolowanego układu ma wartość stałą. W procesach fizycznych jedna forma energii może zmienić się w inną, np. energia mechaniczna w energię cieplną, ale całkowita energia pozostaje zawsze stała.

Zasada równoważności pracy i energii.

Całkowita praca wykonana przez wszystkie siły działające na ciało, równa jest zmianie energii kinetycznej ciała, Ek – Ek0,

W = Ek – Ek0,

W= Fs*s,  gdzie :

s- przesunięcie ciała

Fs – składowa siły wypadkowej w kierunku przesunięcia

Jeżeli całkowitą wykonaną pracę podzieli się na kategorie zgodnie z typami sił wykonujących pracę, ogólna zależność pomiędzy pracą i energią

Wa = (Ek – Ek0) + (U + U0) + Q

Wa – praca wykonana przez siły przyłożone

Q – energia utracona w wyniku sił tarcia

U i U0 – energia potencjalna

W specyficznych warunkach, kiedy nie działają ani siły tarcia, zarówno Wa = 0 i Q = 0 i mówimy o zachowaniu energii mechanicznej układu.

Ek + U = Ek0 + U0

Jeżeli energia mechaniczna jest zachowana E = Ek + U pozostaje stała, chociaż Ek i U mogą się zmieniać.

Dynamika punktu materialnego

Geometria mas, Momenty masowe, Środek masy ciała, Momenty statyczne

x = x1w1 + x2w2 + x3w3 +...

w = w1 + w2 + w3 +...

Jeżeli każdy ciężar wyrazimy w postaci w = mg, g ulegnie uproszczeniu i zależy wtedy nie od ciężaru ale od masy i nazywane jest środkiem masy.

Nie ma różnicy pomiędzy położeniem środka masy i środka ciężkości o ile g ma ten sam kierunek i wartość dla każdego ciężaru.

Moment bezwładności – wielkość fizyczna charakteryzująca rozkład masy ciała; może być określany względem punktu lub osi; masowej moment bezwładności układu punktów materialnych (bryły) względem osi z określa się wzorem;

I = - odległość od osi         m – masa i-tego punktu materialnego

Dla każdego ciała obracającego się wokół stałej osi wypadkowy moment siły równy jest iloczynowi momentu bezwładności tego ciała
i przyspieszenia kątowego.

Krążek;              pręt             

walec;              kula             

Dla ciał nieregularnych tj. kość czy piramidę, konieczne jest doświadczalne wyznaczenie momentu bezwładności.

Także eksperymentalne wyniki są często wyrażane przez podanie masy m i promienia bezwładności

I = mk2  => k =

Tw. Steinera

Momenty bezwładności masy ciała względem osi dowolnej równa się momentowi bezwładności względem osi równoległej do niej i przechodzącej przez środek ciężkości powiększonemu o iloczyn całej masy przez kwadrat odległości między osiami

Układ sztywny (niezmienny) lub zmienny (wzajemne położenie może ulec zmianie)

Zasada D’Alamberta –W czasie ruchu dowolnego układy punktów materialnych siły rzeczywiste działające na punkty tego układu równoważą się z odpowiednimi siłami bezwładności

Ruch postępowy jednostajnie przyspieszony

x = x0 + v0t +

x = x0 + v0t

Ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony

θ = θ 0 + ω0t +

ω = ω0 + αt

ruch postępowy i ruch obrotowy

F = ma =              Γ = Iα =

Ek = ½ mv2              Ek = ½ Iω2

Popęd   FΔt = pc – p0              Γ Δt = lk – l0