funkcja liniowa rozwiązania maturalne.pdf

140

ODPOWIEDZI. WSKAZÓWKI. ROZWIĄZANIA

120.

Rozwiązanie. Wykażemy, że jeśli ia</', to h(a}-h{b)<0.

Ma)-h{b) - a^ + 2ci-3-(t^ + 2fc-3) = a^-b^ + 2a-2b - {ą-b){a^ + ab+b-) + 2ia-b) ^ {a-b)ia- + ab + b- + 2).

a-~b<0 (ho a<b), pokażemy, że dla dowolnych (?, &G R a^+ab + b^ + 2>0.

a-^ah + h^ + 2 = a'+2a-^b + (^h)^ +|^^+2 = {a + -^b)^ +^b -2>0.

Zatem gdy ^i</), :o h(a)-h(b)-(a-b)(.a~ + ah + b- + 2)<0,czy\ih{a)<h(b).

121. li4oraz-li^.

Rozwiązanie. Pokażemy, że istnieją takie różne liczby a, b, dla których zachodzi równość

Przekształcając tę równość.

•+ 4

otizymujemy kolejno a(b- + 4)-b{a-+ 4), ab{b~a)-4{b-a)

= (K {b-a){ab-4) = 0. a^h, więc równość (fo-(i)(«&-4) = O zachodzi wtedy,

gdy ab-4 = 0ia^h,

czyli gdy Z) ^^ i a E R\{0,-2, 2). Zatem dla każdej liczby oe R\(0, -2, 2) liczby a i ^ są różne i/(a) = /(—).

Liczby a i — są całkowite, gdy o jest dzielnikiem iiczby 4 i a7^-2 ia3i2, więc szukane pary. to 114 oraz-1 i -4.

FUNKCJA LINIOWA

123. 2,3,5.7, II-

124. x = -l + S.

Rozwiązanie. (2-3v'3)U-2^3)-A-+ 8 » (2-3^/3)• A-(2-3\'3)-2v'3 - x + 8 o (2-3V3)-A-x-8 + (2-3V3)-2j3

n •,^^

,a A [^

4^/3-10 4^3-10 1 + 3^3 (4^3 -10)(1 + 3v'3) 26 - 26V3

« (l-3v3)-.v^-IO + 4v3 o x^

p-^

—-

• —p^

-—

~ — = -l + V3.

1-3^^3

1-3^3 1 + 3^3

l2-(3,'3)2

"^^

125. a)A-(7;-H»), S = R; b) Anff = (7i 4-=-), BU-(-".;7).

126. a = h = ^(l^.

127. x^{-^; !)u<2;+<»),

128. .^ = -3.

129. ze(0;3).

130. ;cE (-1; 1>.

131. oe(2-V6; 2-V5')U(2+V5; 2 + V6).

Rozwiązanie. I SPOSÓB. Równanie \x-\\-a^-4a-\ ma dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy a^-4(7-1 >0. Rozwiązujemy dane rów

nanie przy założeniu a"-4«-1 >0: x-\^a^-4a~\ lub .T-1 ^-(a'-4a-1), stąd A^(7'-4a lub x = -a^ + 4a + 2. Aby równanie miało dwa

rozwiązaniai oba były dodatnie, musząbyć spełnione warunki: a'-4a-l>0 i a--4a>0 i -«- + 4(J + 2>0- Jeśli c7"-4o-1 >0. to ci--4(j?0,

więc wystarczy znaleźć te wartości a, dla których zachodzą nierówności o" - 4a - I > O i -a^ + 4a + 2 > 0. Rozwiązaniami nierówności

a-~4a-'l>0 są liczby (ie(-«; 2-S)^{2 + 'l5: -H«), a nierówność -a^ + Ąa + 2>0 spełniają liczby ae (2-/6; 2 +V^). zatem szukanymi

wartościami parametru fi są tfE (2-V6; 2 —v5)u(2 + i/5; 2 + i/6).

II SPOSÓB. Rozważmy funkcję f(x) = \x-l \. Korzystając z wykresu funkcji /, stwierdzamy, że równanie U-I hm ma dwa dodatnie rozwią

zania wtedy i tylko wtedy, gdy me (0; 1). Zatem a--4fi- 1 e (0; 1), czyli fi--4a- I >0 i fi^-4fi- 1 < I. Częścią wspólną zbiorów rozwiązań

obu nierówności jest zbiór (2--J6;

132. fiG (-oo;-])u(4;+-).

133. fi-2,fo = 3.

Rozwiązanie. Dane równanis sprowadzamy do postaci x(fi-?ł-f l) = -a-i)-f-5. Równanie liniowe XŁ- = i/, gdzie c^/e R, ma nieskończenie wiele

rozwiązań tylko wtedy, gdy r = O i J = O, Zatem, aby dane równanie spełniała każda hczba rzeczywista, muszą zachodzić równości

a-b+l^O

i -a~b + 5 = 0. Rozwiązaniemotrzymanegoukładurównańjest paraliczb(a, ti)~(2, 3).

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI. ROZWIĄZANIA

141

a+b

134. Gdy |«| ?t 1^1 równanie ma jedno rozwiązanie .c = ^—, gdy a = -h rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista, gdy

a = b\b^O równanie nic ma rozwiązań.

135. Rozwiązaniem układu jest każda para liczb postaci {a. 10a4-5), gdzie (i jest dowolną liczbą rzeczywistą.

136. m-3,7j--2.

Rozwiązanie. Para liczb (-1, 2) jest rozwiązaniem danego układu, więc spełnia ona oba równania układu: \. J,, , //!c ,y, ? -1 _

Otrzymaliśmy zatem układ równań z niewiadomymi m i n. Rozwiązaniem olrzymanego układu jest para liczb (m, ") = {3, -2).

137. a) •

b)(-ff).

y=—2x+2

' '

138. a)j;-2 i >•--!;

b)fl--6, c = -16; rozwiązaniem układu jest każda para liczb postaci (r, |-f-4), gdzie re R.

139. Układ ma jedno rozwiązanie: (7, -10).

Rozwiązanie. Wyznaczając x z drugiego równania układu {x — 0,5-(| y | + 4}) i podstawiając do równania pierwszego, otrzymujemy równanie

'•5'l l>'l +4 I +2y = 1. Dla każdegoyeR mamy \y\ +4>0, więc ] |y | +4 | = |y| +4 i równanie możemy zapisać w postaci ],5-|>' | +2y = —5.

Rozwiązaniem tego równania jest y=-10, zatem rozwiązaniem danego układu równań jest para (x, y)-(7, -10).

140. Rozwiązaniem układu jest każda para liczb postaci (r, -t- I), gdzie !e (-1, 0); Rys. 1/4M.

xl--v = l

będziemy szukać w czterecli zbioracłi:

[-X + I _v| = 1

Z, = {(.i-,y):x>0 i v>0}, Z. = {(x,v):.K<0

i y>0}, Z, = ((x,r):.t<0 i v<0;, Z4={<x,y):x>0 T y<0}.

Szukamy rozwiązań układu • wśród par (.v, y) należących do zbioru Zj. Jeśli (x, y) e Z|. to układ równań # ma postać

x-y = l

-x+v=l

Układ ten jest sprzeczny, więc w zbiorze Z[ układ ^ nie ma rozwiązań.

Szukamy rozwiązań układu # wśród par (x. y) należących do zbioru Zz. Jeśli (x, y) e Z2, to układ równań * ma postać

. -^-y-1

-x+y=l

Układ ten spełnia para (—1, 0)e Z2, więc w zbiorze Zj układ # ma jedno rozwiązanie.

f -X - y — 1

Jeśli (x, y)e Z3, Lo układ równań ^1^ ma postać \

. Układ ten spełnia każda para liczb postaci (x, -x- 1), ale szukamy rozwiązań

[-x-y = l

w zbiorze Z3, więcx<0 i -j;- 1 <0, czyli xe (-1; 0). Zatem w zbiorze Z, układ • ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci

(x, -X- 1), gdzie;i:e (-1; 0).

Postępując jak poprzednio, stwierdzamy, że w zbiorze Z4 układ #• ma rozwiązanie (O, -1).

Rozwiązaniami układu •'If są pary liczb (-1, 0), (O, -1) i pary postaci (x, -x- 1), gdzie xe (-1; 0). Ostatecznie, rozwiązaniami danego układu

równań są wszystkie pary liczb postaci (x, -x- 1), gdzie .sre (-1; 0).

Algebraiczne, ii SPOSÓB. Wyznaczający z pierwszego równania układu Cv = |j:|- I) i podstawiające do równania drugiego, otrzymujemy rów

nanie -.r+ I |x I - 1 I = 1. Zbiorem rozwiązań otrzymanego równania jest przedział (-1, 0). y = ] A-| - 1. więc dla XE(-1, 0) mamy y = -.v- 1.

Zatem rozwiązaniami danego układu równań są wszystkie pary liczb postaci (x,-x~\), gdzie xe (-1; 0).

Graficzne. Równanie | x | - y = 1 zapisujemy w postaci y = | x | - 1. Zatem zbiór punktów, których

współrzędne spełniająrównaniey —|ji:|- i, jest wykresem funkcji /(j;) = |x|- 1.

Równanie - x + \ y \- 1 zapisujemy w postaci | y | - x + 1. Jeśli y > O, (o mamy y ~ x + 1,

a jeśli y<0, to mamy y = -x- I. Zatem zbiór punktów, których współrzędne spełniają równanie

|y |=x+l, jest sumą dwóch półprostych o wspólnym początku, zawartych w prostych o równa-

niachy-x+] i y--v-!.

Część wspólna obu zbiorów jest odcinkiem, co widoczne jest na rysunku. Oznacza to, że układ

równań ma nieskończenie wiele rozwiązań i są nimi wszystkie pary liczb postaci {x, -x - 1),

gdziexE(-l;0).

Rys.l/4M

141. Układ ma dwa rozwiązania: (—,0) i ("4>~^)-

142. a)xe (-it;+™); b) (-Jt, 0); c)y^JU: + 27t.

Rozwiązanie, a) Musimy znaleźć takie argumenty x, aby /(x)>0, czyli ju; + 7t">0. Przenosząc Jt" na prawą stronę nierówności i dzieląc obie

strony otrzymanej nierówności przez 7t, otrzymujemy x>—K.

Rozwiązanie. Algebraiczne, i SPOSÓB. Rozwiązań układu równań ^

142

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI. ROZWIĄZANIA

b) Prosta k ma równanie y-iuc + TT, wykresem funkcji ^ jest prosta / o równaniu y=x + K. Musimy więc znaleźć punkt przecięcia obu prastych,

czyli rozwiązać układ równań •!"

. Rozwiązując ten układ metodą podstawiania otrzymujemy nx + n^ = x + K. Rozwiązując to równa-

nie, otrzymujemy kolejno Tix-x = '!Z-n~, x(n- \) = -n(n-l),

j;--Ji. Podstawiając do jednego z równań .v--71, dostaniemy y = 0. Zatem szuka

ny punkt ma współrzędne (-7t, 0}.

c) Szukana prosta jest równoległa do prostej /:, więc ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta k. Jej równanie ma więc postać y = nx + h.

Punkt K należy do tej prostej, zatem jego współrzędne spełniają równanie y = m: + b: Ji - Ti-(-l) + b. Stąd h = 271, zatem prosta ma równanie

y - TU: + 2?:.

143. a)(0,3); b);(G(0,6; 1,2).

Rozwiązanie, b) Musimy znaleźć takie argumenty x. aby 5x + ?> s (6; 9). Szukamy więc tych x, które spełniają nierówności 5x + 3 > 6

i 5J: + 3 < 9. Rozwiązaniami pierwszej nierówności są liczby .1: > 0.6, a rozwiązaniami drugiej .1: < 1,2. Szukaliśmy tych x. które spełniają

obie nierówności, więc ;i:e (0,6; 1,2).

144. a)x = --j2: b) jest wymierna, fi^'^ J"^]=2-

c) 15°.

Rozwiązanie, c) Wykresami obu funkcji są proste. Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi 0X.

Wykres funkcji / jest nachylony do osi 0X pod kątem, którego tangens jest równy V3, więc kąt ten ma miarę 60°. Wykres funkcji g jest

nachylony do osi 0X pod kątem, którego tangens jest równy 1, więc kąt ten ma miarę 45°. Nietrudno teraz zauważyć, że kąt ostry, jaki tworzą

obie proste, ma miarę 60°-45° = 15''.

145. g(x) = ^x-lb.

146. f(x) = -^x + \.

147. Tak, przccinająsię w punkcie /"-(SO. 44).

Rozwiązanie. Wykresami funkcji są proste o równaniach y = 0,5x +4, y = 0,lj; + 36, y = ->:4-124. Znajdziemy punkt wspólny dwóch prostych,

a następnie sprawdzimy, czy należy on do trzeciej prostej. Aby znaleźć punkt wspólny dwóch prostych, należy rozwiązać układ równań, którego

[V=0,5A-+4

równaniami są równania prostych: <

. Rozwiązaniem tego układu jest para liczb .1: - 80 i >• = 44, wiec punktem wspólnym prostych

148. (0. 3|-).

Rozwiązanie. y = ax-\-b ~ równanie prostej k zawierającej wykres funkcji / Punkty A i B ieżą po przeciwnej stronie osi OY, więc odcinek AB

ma z nią punkt wspólny. Jest to punkt wspólny prostej k i osi OY, więc ma współrzędne (O, b). Punkty A i B należą do prostej k. zatem

5 = -2a + b . ^ ,

. Mnożąc pierwsze równanie przez 3. a drugie przez 2 1 dodając otrzymane równania stronami, otrzymamy b = 3,4.

149. a) f(x) = 3x-4;

b).Te (^"; 2)u(6;+-=);

c)A-(2.2) i S = (6, 14).

150. a)Rys. 2/4M: b)j:-3: c)xe (-8; 7).

Wskazówka. Rozwiązaniami równania /(.v) = 2.r-4 są te liczby .i;< 2, które spełniają równanie

0,5X + 2 = 2J:—4 oraz te liczby ;(>2, które spełniająrównanie 5-.v = 2;i:—4.

151. a)/? = 3; b)xe(-«>:2); c)xe

{S;-lS].

Ry.^. 2/4M

152. a)b = -2,c=l;

b) {-4; 5).

153. a}/7£(—';-13): b)/?e(^«; -10,5).

Rozwiązanie, a) Wartość funkcji / przyjmowana dla argumentu 5 jest równa 3-5 +b. Szukamy tych wartości współczynnika b, dla których

zachodzi nierówność i5+6<2. Zatem^<-13.

b) Miejscem zerowym funkcji / jest rozwiązanie równania 3x + h = 0, czyli x- --^b. Szukamy tych wartości współczynnika b, dla których

zachodzi nierówność -—b>3~. Nierówność tę spełniają liczby ft<-!0—.

[y=-j:+124

jest punkt P = (44, 80). Sprawdzamy, czy punkt P należy do trzeciej prostej: 44 = 0,1-80 + 36 - współrzędne punktu P spehiiają równanie

>'-0,ljr+36, więc punkt ten należy do trzeciej prostej. Zatem wykresy funkcji/, gih przecinają się w jednym punkcie.

l-3a + h

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA

143

154. -5^.

155. -7 (f{x) = -3x + 2).

Rozwiązanie. Funkcja / określona jest wzorem f(x) = ax + b. Wiemy, że /(-2)-8 i /(2)--4, więc S-a-(-2) + b i -4-a-2 + b. Rozwiązaniem

otrzymanego układu równań jest para fl =-3 ib = 2. Zatem/(.v) = -3j:+2. /jest funkcją malejącą, więc najmniejszą wartość w przedziale (-3; 3)

przyjmuje dla największego argumenm z tego przedziału, czyli dla.v-3. wartość ta jest równa/(3) =-7,

156. f{x) = -2x + 2 \uhf(x) = 2x + 6.

157. f(x)=-2x + 6.

Rozwiązanie. Wzór funkcji / ma postać/(.v) = aj:+fc. Na rys. 3/4M pokazano położenie

wykresu funkcji / w układzie współrzędnycli, które wynika z warunków podanych w

treści zadania. Ponieważ funkcja / wartości większe od 8 przyjmuje dla argumentów

mniejszych od -1, więc /{-!) - 8. Analogicznie stwierdzamy, że /(4} = -2. Zatem

8--tj + fe i -2-4(7 + fc. Z otrzymanego układu równań wyznaczamy a=-2 \ b-6,

•wi^c f(x) = -2x + 6.

';6

Rys. 3/4M

158. f(x) = 2x+l.

Wskazówka. Funkcja / określona jest wzorem f{x) = ax + h, więc f(x) +f{x +\) = ax + b+ a(x+l) + b.

160. JeśU ke (-^\ -2), to równanie nie ma rozwiązań. Jeśli /;e (0; +™)u {-2}, to równanie ma dwa rozwiązania. Jeśli i = 0, to równanie ma

trzy rozwiązania. Jeśli k e (-2; 0), to równanie ma cztery rozwiązania.

161 . Dla b e (-2; 1) równanie ma 3 rozwią^^ania, dla b e j-2, 1) równanie ma 2 rozwiązania, dla b e {^>=; -2) u (1; +«) równanie ma 1 rozw,

f;c + 4 dlaxe(->=;-l)

Wskazówka. /{X)=J-3A dla;ce(-l;2) .

[-JC-4 dla;te(2; + °«)

162. a)m€(|;4); b) me (-«; |) u(4;+-).

163. a)s(a)^\a\ + \a-2[;

h) P,^{-7,9\

P2 = {%-7).

[-2(1 + 2 dlańe(^-;0)

Wskazówka. s(a) =2

dla <3 e (0; 2) .

[2a-2

dla as{2: + -°)

164. a)d(t) = \l,5t-4.5\:

b)A = (l, l),B-(-2, 1) lubA - (3, 5),S-(6, 5).

165. a = 66, i7-1919.

Rozwiązanie, p-argument, dlaktórego obie funkcje przyjmująwariość 2010. flp + 8-201() i 3^ + ^1 = 2010. Wyznaczającp z drugiej równo-

2ni0-fo

ści i podstawiając do pierwszej, otrzymujemy ^J • • + 8 = 2010. Sprowadzamy oIrz3'mane równanie do postaci i3(2010-^) = ,3 .2002.

Rozkładamy liczbę 3 • 2002 na czynniki pierwsze; 2 - 3 • 7 • 11 • 13. a jest dzielnikiem liczby 3 • 2002 i a e (50: 75). więc a = 66. Z równości

66(2010"^) = 3-2002 otrzymujemy /.^l^ig.

166. 14 zwycięstw.

Rozwiązanie, z - liczba zwycięstw, r - liczba remisów. Liczba punktów uzyskanych za z zwycięstw wynosi 3z, azar remisów jest równa Ir.

Zatem mamy pierwsze równanie: 3z + r = 48. Drugie równanie: :; + r = 20 (w dwudziestu sześciu meczach zespół poniósł sześć porażek).

|'3^+r=48

Rozwiązując układ równań <

z+r=20

(np. metodą przeciwnych współczynników), otrzymujemy s- 14 i r = 6.

167. 14 zadań.

168. Osiemnastu chłopców.

Rozwiązanie, u — liczba uczniów w klasie przed przybyciem jednej osoby. Wtedy w klasie było 0.25M dziewcząt.

Po przyb}'cfu jednej osoby odsetek dziewcząf wzrósł, więc przybyła dziewczyna. Wted}' b}'ło 0,25« -h 1 dziewczyn i stanowiły one 28% liczby

Q.25u + 1 ^,

uczniów tei klasy. Zatem — = 0,^

•^ w + 1

uczniów, wii;c ictiliczba jest równa 0,75H = 0,75-24- 18.

Rozwiązaniem tego równania jest liczba u - 24. Chłopcy na początku stanowili 75% liczby

144

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWIĄZANIA

169. 16 rzutów.

170. Cena kilograma kiełbasy zwyczajnej: 10,5 zł, kiełbasy podwawelskiej: 14 zł.

171. W2013roku.

172. a) 32 uczniów;

b) 500 zł.

173. a) Do pierwszego banku 600 zł, do drugiego 1400 zł; b) w pierwszym (w drugim banku oprocentowanie efektywne wynosiło 10,25%).

Rozwiązanie, p - kwota ulokowana w pierwszym banku, d - kwota ulokowana w drugim banku.

a) p + d=2000. Odsetki naliczone w pierwszym banku: 0,\2p. Odsetki naliczone w drugim banku; po 6 miesiącach - 0,05c/,

po roku - 0,a5-(Ł? + 0,05Ą, więc w sumie naliczono 0.05rf+0,05-(rf + 0,05i/) = 0,1025rf. Zatem 0,12p + 0,1025J = 215,5. Rozwiązując układ

równań ;; + fl' = 2000 i 0,12p + 0,1025t/=215,5, otrzymamy p = 600 i d= 1400.

b) Odsetki w drugim banku wyniosły 0,1025J, co oznacza, że odsetki stanowiły 10,25% wpłaconej kwoty, więc efektywne oprocentowanie

w tym banku wynosiło 10,25%, czyli było niższe niż w pierwszym banku.

174. Osiemnastu uczniów.

175. W zbiorniku Zi było 525 1, w zbiorniku Z; było 375 1.

176. 120 zadań.

177.

32 chłopców.

178. Pierwsza przejechała 15 km, a druga 20 km.

179. 20 godzin.

Rozwiązanie. Oznaczenia: i'-odległość między miastami A i £, vs - prędkość własna statku, v«-prędkość prądu rzeki.

s = (vs + vii)-2 i s-(vs-vit)-2,5.

Zatem (V.C-I-VR)-2 = (vs-vj()-2,5, stąd vs-9vfl, a5-20vR. Zakładamy, że tratwa będzie płynąć z prędkością Vfl.

(

20v' e

Więc czas, w jakim pokona trasę z; miasta A do miasta S, jest równa -^- =

— =20.

180.

I km.

181. 66 kg-

Rozwiązanie. Oznaczmy: m — masa wody. którą należy dodać.

Masa roztworu po dolaniu w kg wody: 44 + m. Masa kwasu solnego w 44 kg jego 5-procentowego roztworu: 0,05 -44-2,2 (kg). Masa kwasu

solnego w 2-procentowym roztworze również wynosi 2,2 kg, więc 0,02 (44-1-777) = 2,2, stąd m = 66 (kg).

182. 8 kg lO-procent. kwasu i 12 kg 20-procent. kwasu.

183. 1:11:111=1:2:3.

Rozwiązanie, mi, mu, mm - masy roztworów, odpowiednio roztworu I, II, IK, które po zmieszaniu dadzą żądany roztwór.

Wtedy masa NaCI w roztworach I, Ii, III jest równa odpowiednio 0,141mi,0,087mn, 0,015mm- a masa KCl wynosi odpowiednio 0,025m[, 0,082mrr.

r-,^^-,

. X, ^,

. tf» 0,141m,-F 0,087m,T+0,015m,,,

„„^

0,057mni. ro zrmeszanni trzech roztworów mamv otrzymać 6-procentowy roztwór NaCl, więc U

= 0,06,

mj + mii + m„]

m, + mil + mui

wm^-m,-f-^m,,.

9™ , 3„.

, równania —mj +-pinii — -~mi

+^m(| wy-

'^l _ 1

znaczamy — - = ^. W podobny sposób obhczamy np., że — — - ^.

»ii

184. a)A(k)-2.6k

+ 4-; b) taksówkę korporacji A/fa;

c) jeżeli długość trasy jest mniejsza niż 8 km.

1 85. a) Kp(n) = 20n -+ 400, K^in) = 26n + 32; b) przy zakupie co najmniej 62 ryz.

186. a)F--|-C+32; b) 37.8^ C; c) 22,5^ F; d)-40°C.

Wslcazówka. Zależność między temperaturą F wyrażoną w stopniach Fahrenheita, a temperamrą C wyrażoną w stopniach Celsjusza jest zależ

nością liniową więc F=ciC+b oraz C=cF+d, gdzie a, b, c, d sąpewnymi liczbami rzeczywistymi.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: